On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

Technische Zusammenfassung: On-Chip-Messung von modalen Stokes-Gell-Mann-Parametern für teilkohärentes Drei-Moden-Licht

Problemstellung
Die Manipulation von teilkohärentem Licht in integrierten photonischen Plattformen stellt eine aufstrebende Grenze für die optische Informationsverarbeitung dar und bietet Vorteile für die dichte Kommunikation, die streufreie Übertragung und die optische Kryptographie. Diese Anwendungen beruhen auf „strukturierter Kohärenz“, bei der optische Felder, die von $N$ Moden aufgespannt werden, durch eine $N \times N$ Kohärenzmatrix $G$ charakterisiert sind. Während die Rekonstruktion von $2 \times 2$- (Zwei-Moden-) und $4 \times 4$- (Vier-Moden-) Kohärenzmatrizen mittels Stokes-Tomographie bereits auf dem Chip realisiert wurde, besteht eine signifikante Lücke für ungeradimensionaler Matrizen, spezifisch für $3 \times 3$.

Konventionelle Stokes-Parameter (SPs) sind definiert als Expansionskoeffizienten einer $2 \times 2$ Kohärenzmatrix in Abhängigkeit von Pauli-Matrizen. Sie lassen sich nicht direkt auf Drei-Moden-Felder anwenden, welche eine $3 \times 3$ Kohärenzmatrix erfordern. Obwohl theoretisch vorgeschlagen wurde, dass die acht Gell-Mann-Matrizen (Generatoren der SU(3)-Gruppe) als Basis für diese Felder dienen könnten, was zu acht „Stokes-Gell-Mann“-Parametern (SGM) führt, wurde eine direkte experimentelle Messung dieser Parameter bisher nicht realisiert. Darüber hinaus wurde die Unterscheidung zwischen Iso-Entropie-Feldern (Felder, die denselben Entropiewert teilen), die unitär ineinander umgewandelt werden können, und solchen, die dies nicht können, für Drei-Moden-Systeme experimentell noch nicht untersucht.

Methodik
Die Autoren präsentieren ein On-Chip-Messschema unter Verwendung eines integrierten photonischen Schaltkreises (iPronics Smartlight Processor), der ein hexagonales Netz aus Mach-Zehnder-Interferometern (MZIs) aufweist. Der experimentelle Ansatz umfasst drei primäre Stufen:

1. Quellenpräparation und Entropie-Tuning:
   Eine Laserdiode-Quelle wird in drei Singlemode-Fasern (SMFs) aufgeteilt, welche die Moden $|1\rangle$, $|2\rangle$ und $|3\rangle$ repräsentieren. Es werden Faserschleifen eingesetzt, die die Kohärenzlänge des Lasers überschreiten, um sicherzustellen, dass die Moden initial untereinander inkohärent sind. Die Feldentropie $S$ wird durch die unabhängige Anpassung der Leistung in jeder Mode über spezifische MZIs, die als nicht-unitäre Attenuatoren konfiguriert sind, gesteuert. Dies ermöglicht die Erzeugung diagonaler Kohärenzmatrizen $G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$ mit Eigenwerten, deren Summe eins ergibt, wodurch der Entropiebereich von $S=0$ (kohärent) bis $S=\log_2 3$ (maximal inkohärent) abgedeckt wird.

2. Unitäre Transformation:
   Um die Struktur der Kohärenzmatrix zu untersuchen, wird die diagonale Matrix $G_D$ durch einen beliebigen $3 \times 3$ unitären Operator $\hat{U}$ transformiert. Dieser unitäre Operator wird auf dem Chip unter Verwendung einer Sequenz von $2 \times 2$ Unitaries, die auf Modenpaaren wirken ($\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$), sowie Phasenverschiebern konstruiert (speziell folgt die Dekomposition dem Reck- oder Clements-Stil, hier $\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$). Dieser Schritt erzeugt nicht-diagonale Kohärenzmatrizen $G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$, während die Feldentropie erhalten bleibt.

3. Messung der SGM-Parameter:
   Die acht SGM-Parameter ($s_0$ bis $s_8$) werden durch die Messung modaler Intensitäten nach Anwendung spezifischer unitärer Transformationen extrahiert.

• Diagonale Parameter ($s_0, s_3, s_8$): Werden durch die direkte Messung der modalen Gewichte $I_1, I_2, I_3$ ohne zusätzliche Mischung gewonnen.
• Off-Diagonale Parameter ($s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$): Werden durch Implementierung spezifischer $2 \times 2$ Unitaries (analog zu Pauli-Matrix-Rotationen) auf Modenpaare ($|1\rangle$-$|2\rangle$, $|1\rangle$-$|3\rangle$ und $|2\rangle$-$|3\rangle$) vor der Detektion gewonnen. Beispielsweise werden $s_1$ und $s_2$ aus Messungen an den Moden $|1\rangle$ und $|2\rangle$ nach Anwendung spezifischer Unitaries $\hat{U}_2$ und $\hat{U}_3$ abgeleitet.
  Die gemessenen Parameter werden anschließend zur Rekonstruktion der vollständigen $3 \times 3$ Kohärenzmatrix mittels der Expansion $G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$ verwendet, wobei $\hat{\Lambda}_j$ die Gell-Mann-Matrizen sind.

Zentrale Beiträge

• Erste direkte Messung: Diese Arbeit berichtet über die erste direkte Messung der modalen Stokes-Gell-Mann-Parameter für teilkohärentes Drei-Moden-Licht, sowohl im freien Raum als auch auf dem Chip.
• Rekonstruktion ungerader Dimensionen: Sie liefert die erste On-Chip-Rekonstruktion einer ungeraden ($3 \times 3$) Kohärenzmatrix und erweitert damit die bisherigen Fähigkeiten, die auf gerade Dimensionen ($N=2, 4$) beschränkt waren.
• Exploration der Iso-Entropie: Die Autoren kartieren experimentell den Raum der Iso-Entropie-Felder. Sie demonstrieren zwei distinkte Kategorien von Iso-Entropie-Zuständen:
  1. Felder, die mittels unitärer Transformationen ineinander umgewandelt werden können (gleiche Eigenwerte teilend).
  2. Felder, die denselben Entropiewert teilen, aber nicht unitär ineinander umgewandelt werden können (unterschiedliche Eigenwert-Sets besitzend).
• Hochpräzise Rekonstruktion: Das System rekonstruierte erfolgreich 15 verschiedene Kohärenzmatrizen über drei Entropiestufen hinweg ($S = 0,5, 1,0, 1,5$ Bits). Die rekonstruierten Matrizen zeigten eine hohe Fidelität ($F \geq 0,95$, typischerweise $\approx 0,98$) im Vergleich zu den theoretischen Vorhersagen, wobei die geschätzten Entropiewerte innerhalb von 5 % des Zielwerts lagen.

Ergebnisse
Das Experiment konnte die Feldentropie erfolgreich von kohärenten Zuständen ($S=0$) bis zu maximal inkohärenten Zuständen ($S=\log_2 3 \approx 1,585$ Bits) abstimmen. Durch Anwendung spezifischer unitärer Sequenzen synthetisierten die Autoren verschiedene Kohärenzmatrizen und verifizierten deren Struktur durch SGM-Parameter-Messungen. Die Daten bestätigten, dass für eine feste Entropie $S > 1$ Bit die Iso-Entropie-Kurve eine geschlossene Schleife innerhalb des Eigenwertraums bildet, die Rank-3-Felder enthält. Bei $S=1$ Bit berührt die Kurve die Grenzen des Eigenwert-Dreiecks (Rank-2-Felder), und für $S < 1$ Bit werden die Iso-Entropie-Kurven nahe der Eckpunkte diskontinuierlich. Die Fidelität der rekonstruierten Matrizen lag konsistent über 0,95, was das On-Chip-Messprotokoll validiert.

Bedeutung
Das Paper behauptet, dass diese Arbeit einen entscheidenden Schritt zur Verallgemeinerung der Stokes-Tomographie auf die On-Chip-Rekonstruktion von Kohärenzmatrizen beliebiger Dimension darstellt. Durch die erfolgreiche Messung der SGM-Parameter für $N=3$ etablieren die Autoren eine Methodik, die auf die Faktorisierung von Messungen für größere ungeradimensionale Kohärenzmatrizen skalierbar ist. Diese Fähigkeit ist essenziell für die Nutzung strukturierter Kohärenz in fortgeschrittenen Anwendungen wie der optischen Kommunikation, Sensorik und Informationsverarbeitung. Die Autoren merken bescheiden an, dass die aktuelle Implementierung zwar On-Chip-Wellenleiter-Moden nutzt, aber noch nicht das Problem der Messung von SGM-Parametern für nicht-paraxiales 3D-teilpolarisiertes Licht gelöst hat (was die Transduktion von Polarisationsmoden in Wellenleitermoden erfordert) – eine Aufgabe, die sie als zukünftige Forschungsrichtung identifizieren.