On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

Technische Samenvatting: On-chip meting van modale Stokes-Gell-Mann-parameters voor gedeeltelijk coherente driemodus-lichtgolven

Probleemstelling
De manipulatie van gedeeltelijk coherente lichtgolven in geïntegreerde fotonische platforms vormt een opkomende grens voor optische informatieverwerking, wat voordelen biedt voor dichte communicatie, verstrooiingsvrije transmissie en optische cryptografie. Deze toepassingen vertrouwen op "gestructureerde coherentie", waarbij optische velden die worden gespannen door $N$ modi worden gekarakteriseerd door een $N \times N$ coherentiematrix $G$. Hoewel de reconstructie van $2 \times 2$ (tweemodus) en $4 \times 4$ (viermodus) coherentiematrices reeds via Stokes-tomografie op een chip is gerealiseerd, blijft er een aanzienlijke kloof bestaan voor oneven-dimensionale matrices, specifiek $3 \times 3$.

Conventionele Stokes-parameters (SP's) zijn gedefinieerd als expansiecoëfficiënten van een $2 \times 2$ coherentiematrix in termen van Pauli-matrices. Ze kunnen niet direct worden toegepast op driemodus-velden, die een $3 \times 3$ coherentiematrix vereisen. Hoewel er theoretisch is voorgesteld dat de acht Gell-Mann-matrices (generatoren van de SU(3)-groep) als basis voor deze velden kunnen dienen, wat acht "Stokes-Gell-Mann" (SGM) parameters oplevert, is directe experimentele meting van deze parameters nog niet gerealiseerd. Bovendien, hoewel de ruimte van iso-entropie velden (velden die dezelfde entropiewaarde delen) goed gedefinieerd is, is het onderscheid tussen iso-entropie velden die unitair kunnen worden omgezet en die dat niet kunnen, voor driemodus-systemen nog niet experimenteel onderzocht.

Methodologie
De auteurs presenteren een on-chip meetmethode gebruikmakend van een fotonische geïntegreerde schakeling (iPronics Smartlight Processor) die een hexagonale mesh van Mach-Zehnder interferometers (MZI's) bevat. De experimentele aanpak omvat drie primaire fasen:

1. Bronvoorbereiding en Entropie-instelling:
   Een laserdiodebron wordt gesplitst in drie single-mode vezels (SMF's) die modi $|1\rangle$, $|2\rangle$ en $|3\rangle$ vertegenwoordigen. Vezellussen die de coherentielengte van de laser overschrijden, worden ingevoegd om ervoor te zorgen dat de modi aanvankelijk onderling incoherent zijn. De veldentropie $S$ wordt ingesteld door de kracht in elke modus onafhankelijk aan te passen met behulp van specifieke MZI's die zijn geconfigureerd als niet-unitaire attenuatoren. Dit maakt de generatie van diagonale coherentiematrices $G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$ mogelijk met eigenwaarden die samen één vormen, reikend over het entropiebereik van $S=0$ (coherent) tot $S=\log_2 3$ (maximaal incoherent).

2. Unitaire Transformatie:
   Om de structuur van de coherentiematrix te verkennen, wordt de diagonale matrix $G_D$ getransformeerd door een willekeurige $3 \times 3$ unitaire operator $\hat{U}$. Deze unitaire operator wordt on-chip geconstrueerd met behulp van een sequentie van $2 \times 2$ unitaire operatoren werkend op paren modi ($\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$) en faseverschuivers, volgens de deconstructie getoond in de Reck- of Clements-stijl (specifiek $\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$ in dit werk). Deze stap genereert niet-diagonale coherentiematrices $G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$ terwijl de veldentropie behouden blijft.

3. SGM-parameter meting:
   De acht SGM-parameters ($s_0$ tot en met $s_8$) worden geëxtraheerd door de modale intensiteiten te meten na het toepassen van specifieke unitaire transformaties.

   • Diagonale parameters ($s_0, s_3, s_8$): Verkregen door de modale gewichten $I_1, I_2, I_3$ direct te meten zonder extra menging.
   • Off-diagonale parameters ($s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$): Verkregen door specifieke $2 \times 2$ unitaire operaties (analoog aan Pauli-matrix rotaties) toe te passen op paren modi ($|1\rangle$-$|2\rangle$, $|1\rangle$-$|3\rangle$, en $|2\rangle$-$|3\rangle$) vóór detectie. Bijvoorbeeld, $s_1$ en $s_2$ worden afgeleid van metingen op modi $|1\rangle$ en $|2\rangle$ na het toepassen van specifieke unitaire operatoren $\hat{U}_2$ en $\hat{U}_3$.
     De gemeten parameters worden vervolgens gebruikt om de volledige $3 \times 3$ coherentiematrix te reconstrueren via de expansie $G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$, waarbij $\hat{\Lambda}_j$ de Gell-Mann-matrices zijn.

Belangrijkste Bijdragen

• Eerste Directe Meting: Dit werk rapporteert de eerste directe meting van modale Stokes-Gell-Mann (SGM) parameters voor gedeeltelijk coherent driemodus-licht, zowel in de vrije ruimte als on-chip.
• Oneven-dimensionale Reconstructie: Het biedt de eerste on-chip reconstructie van een oneven-dimensionale ($3 \times 3$) coherentiematrix, waarmee de eerdere mogelijkheden die beperkt waren tot even dimensies ($N=2, 4$) worden uitgebreid.
• Exploratie van Iso-entropie: De auteurs brengen de ruimte van iso-entropie velden experimenteel in kaart. Ze demonstreren twee verschillende categorieën iso-entropie toestanden:
  1. Velden die via unitaire transformaties naar elkaar kunnen worden omgezet (het delen van dezelfde eigenwaarden).
  2. Velden die dezelfde entropiewaarde delen maar niet unitair kunnen worden omgezet (het bezitten van verschillende eigenwaardensets).
• Hoge-getrouwheid Reconstructie: Het systeem heeft succesvol 15 verschillende coherentiematrices gereconstrueerd over drie entropieniveaus ($S = 0.5, 1.0, 1.5$ bits). De gereconstrueerde matrices vertoonden een hoge getrouwheid ($F \geq 0.95$, typisch $\approx 0.98$) vergeleken met de theoretische voorspellingen, met geschatte entropiewaarden binnen 5% van de doelwaarde.

Resultaten
Het experiment slaagde erin de veldentropie af te stemmen van coherente toestanden ($S=0$) naar maximaal incoherente toestanden ($S=\log_2 3 \approx 1.585$ bits). Door specifieke unitaire sequenties toe te passen, hebben de auteurs diverse coherentiematrices gesynthetiseerd en hun structuur geverifieerd via SGM-parametermetingen. De gegevens bevestigden dat voor een vaste entropie $S > 1$ bit, de iso-entropiecurve een gesloten lus vormt binnen de eigenwaarderuimte, die rang-3 velden bevat. Bij $S=1$ bit raakt de curve de grenzen van de eigenwaardetriangel (rang-2 velden), en voor $S < 1$ bit worden de iso-entropie curves los van elkaar nabij de hoekpunten. De getrouwheid van de gereconstrueerde matrices overtrof consequent 0.95, wat het on-chip meetprotocol valideert.

Betekenis
Het artikel stelt dat dit werk een cruciale stap vertegenwoordigt naar het generaliseren van Stokes-tomografie naar on-chip reconstructie van coherentiematrices van elke dimensie. Door succesvol SGM-parameters voor $N=3$ te meten, vestigen de auteurs een methodologie die kan worden geschaald om metingen te factoriseren voor grotere oneven-dimensionale coherentiematrices. Deze capaciteit is essentieel voor het benutten van gestructureerde coherentie in geavanceerde toepassingen zoals optische communicatie, sensing en informatieverwerking. De auteurs merken bescheiden op dat, hoewel de huidige implementatie gebruikmaakt van on-chip golfgeleidingsmodi, zij nog niet het probleem hebben opgelost voor het meten van SGM-parameters voor niet-paraxiale 3D gedeeltelijk gepolariseerd licht (wat het transduceren van polarisatiemodi naar golfgeleidingsmodi vereist), een taak die zij identificeren als een richting voor toekomstig werk.