On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

技术摘要：三模部分相干光模态 Stokes-Gell-Mann 参数的片上测量

问题陈述
在集成光子平台中操纵部分相干光正成为光学信息处理的前沿领域，为密集通信、无散射传输和光学密码学提供了优势。这些应用依赖于“结构化相干性”，即由 $N$ 个模态构成的光学场由一个 $N \times N$ 的相干矩阵 $G$ 表征。虽然通过 Stokes 断层扫描已实现了对 $2 \times 2$（两模）和 $4 \times 4$（四模）相干矩阵的片上重建，但在奇数维矩阵（特别是 $3 \times 3$）方面仍存在显著空白。

传统的 Stokes 参数（SPs）被定义为 $2 \times 2$ 相干矩阵在 Pauli 矩阵下的展开系数。它们无法直接应用于三模场，因为三模场需要一个 $3 \times 3$ 的相干矩阵。尽管已有理论提出，八个 Gell-Mann 矩阵（SU(3) 群的生成元）可以作为这些场的基底，从而产生八个“Stokes-Gell-Mann”（SGM）参数，但这些参数的直接实验测量尚未实现。此外，虽然等熵场（具有相同熵值的场）的空间是定义明确的，但对于三模系统，能够通过酉变换进行相互转换的等熵场与不能相互转换的等熵场之间的区别，尚未得到实验探索。

方法论
作者提出了一种利用光子集成电路（iPrionics Smartlight 处理器）进行片上测量的方案，该电路具有六角形网格的 Mach-Zehnder 干涉仪（MZI）结构。实验方法包括三个主要阶段：

1. 光源制备与熵调控：
   将激光二极管光源分成三个单模光纤（SMFs），分别代表模态 $|1\rangle$、$|2\rangle$ 和 $|3\rangle$。通过插入超过激光相干长度的光纤环，确保这些模态最初是相互不相干的。通过使用配置为非酉衰减器的特定 MZI 独立调节每个模态中的功率，来调节场熵 $S$。这允许生成对角相干矩阵 $G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$，其特征值之和为 1，涵盖了从 $S=0$（相干）到 $S=\log_2 3$（最大不相干）的熵范围。

2. 酉变换：
   为了探索相干矩阵的结构，将对角矩阵 $G_D$ 通过任意 $3 \times 3$ 酉算符 $\hat{U}$ 进行变换。该酉算符是在片上通过作用于模态对（$\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$）的序列以及相位移器构建的，遵循 Reck 或 Clements 风格的分解（具体而言，本研究中使用 $\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$）。这一步生成了非对角相干矩阵 $G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$，同时保持了场熵不变。

3. SGM 参数测量：
   通过在检测前对模态对（$|1\rangle$-$|2\rangle$、$|1\rangle$-$|3\rangle$ 和 $|2\rangle$-$|3\rangle$）施加特定的 $2 \times 2$ 酉变换（类似于 Pauli 矩阵旋转）后测量模态强度，提取出八个 SGM 参数（$s_0$ 至 $s_8$）。

   • 对角参数（$s_0, s_3, s_8$）： 通过在不进行额外混合的情况下直接测量模态权重 $I_1, I_2, I_3$ 获得。
   • 非对角参数（$s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$）： 通过在模态对（$|1\rangle$-$|2\rangle$、$|1\rangle$-$|3\rangle$ 和 $|2\rangle$-$|3\rangle$）上实施特定的 $2 \times 2$ 酉变换（如应用特定的 $\hat{U}_2$ 和 $\hat{U}_3$ 后测量模态 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$）来获得。
     测得的参数随后用于通过展开式 $G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$ 重建完整的 $3 \times 3$ 相干矩阵，其中 $\hat{\Lambda}_j$ 是 Gell-Mann 矩阵。

核心贡献

• 首次直接测量： 本工作报告了首次对部分相干三模光的模态 Stokes-Gell-Mann 参数进行的直接测量，包括自由空间和片上测量。
• 奇数维重建： 实现了首次片上重建奇数维（$3 \times 3$）相干矩阵，扩展了此前仅限于偶数维（$N=2, 4$）的能力。
• 等熵探索： 作者实验性地绘制了等熵场空间。他们展示了两类不同的等熵态：
  1. 可以通过酉变换相互转换的场（共享相同的特征值）。
  2. 具有相同熵值但不能通过酉变换相互转换的场（拥有不同的特征值集合）。
• 高保真度重建： 系统成功重建了跨越三个熵水平（$S = 0.5, 1.0, 1.5$ bits）的 15 个不同的相干矩阵。重建矩阵与理论预测相比表现出高保真度（$F \geq 0.95$，通常约为 $0.98$），估计熵值与目标值的误差在 5% 以内。

结果
实验成功将场熵从相干态（$S=0$）调节到最大不相干态（$S=\log_2 3 \approx 1.585$ bits）。通过应用特定的酉序列，作者合成了各种相干矩阵，并通过 SGM 参数测量验证了它们的结构。数据证实，对于固定的熵 $S > 1$ bit，等熵曲线在特征值空间内形成一个闭合回路，包含秩为 3 的场。在 $S=1$ bit 时，曲线触及特征值三角形的边界（秩为 2 的场）；而对于 $S < 1$ bit，等熵曲线在顶点附近变得不连续。重建矩阵的保真度始终高于 0.95，验证了片上测量协议的有效性。

意义
论文声称，这项工作是将 Stokes 断层扫描推广到任何维度的相干矩阵片上重建的关键一步。通过成功测量 $N=3$ 的 SGM 参数，作者建立了一种可以扩展到更大维度的奇数维相干矩阵分解测量的方案。这种能力对于利用结构化相干性进行先进应用（如光学通信、传感和信息处理）至关重要。作者谦虚地指出，虽然目前的实现使用的是片上波导模态，但尚未解决测量非近轴 3D 部分偏振光（这需要将偏振模态转换到波导模态）的 SGM 参数问题，他们将此确定为未来的研究方向。