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Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

Dieses Papier führt eine neue algebraische Struktur namens „aufgestiegenes Körper“ (ascended field) ein, indem die Standardaxiome eines Körpers modifiziert werden, um die Division durch Null zu ermöglichen, wodurch letztlich eine eindeutige „vollständige s-Erweiterung“ der reellen Zahlen konstruiert wird, welche die Totalität der arithmetischen Operationen bewahrt und gleichzeitig unendliche sowie infinitesimale Zahlen integriert.

Ursprüngliche Autoren: Brendan Santangelo

Veröffentlicht 2026-07-15

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Brendan Santangelo

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie spielen mit einem Set magischer Zahlenblöcke. In der normalen Welt der Mathematik gibt es eine Regel, die man niemals brechen darf: Man darf nicht durch Null teilen. Wenn man versucht, eine Pizza in null Stücke zu teilen, stürzt die Rechenmaschine einfach ab. Warum? Weil in der Standardmathematik, wenn man Null mit irgendetwas multipliziert, man immer Null erhält. Wenn also jemand behaupten würde, $1 \div 0 = x$ , würde das bedeuten, dass $0 \times x = 1$ . Aber $0 \times x$ ist immer 0, niemals 1. Die Maschine sagt „Error!“ und geht weg.

Aber was wäre, wenn wir die Regeln ein klein wenig anpassen könnten? Was wäre, wenn das Multiplizieren mit Null nicht immer zu Null führen würde? Was wäre, wenn es 1, oder 2, oder sogar $\pi$ ergeben könnte?

Das ist die wilde Idee hinter dieser Arbeit. Der Autor, Brendan Santangelo, schlägt einen neuen mathematischen Spielplatz vor, ein Ascended Field (aufgestiegenes Körperfeld). In diesem Spielplatz wird die Regel „Null mal irgendetwas ist Null“ gebrochen. Stattdessen kann die Null andere Zahlen „berühren“ und verändern. Dies ermöglicht es uns, die verbotene Tat auszuführen: die Division durch Null.

Die magische Leiter: Ebenen der Zahlen

Um dies zum Laufen zu bringen, ohne dass alles in sich zusammenbricht, baut der Autor eine neue Struktur unter Verwendung von „Tupeln“ (das sind einfach Listen von Zahlen) auf. Aber dies sind keine gewöhnlichen Listen; sie haben eine besondere Eigenschaft namens Level (Ebene).

Stellen Sie sich den Wert einer Zahl als ihr Gesicht vor (wie die Zahl 5) und ihr Level als ihre Höhe oder „Zoomstufe“.

Level 0: Dies ist Ihre normale, alltägliche Zahl. Eine 5 auf Level 0 ist einfach eine ganz normale 5.
Positive Levels (1, 2, 3...): Dies sind unendliche Zahlen. Eine 5 auf Level 1 ist eine „unendliche 5“. Sie ist so groß, dass sie größer ist als jede normale Zahl, die man sich vorstellen kann.
Negative Levels (-1, -2, -3...): Dies sind infinitesimale Zahlen. Eine 5 auf Level -1 ist eine „winzige 5“. Sie ist so klein, dass sie kleiner ist als jede normale positive Zahl, aber sie ist nicht Null.

Das Papier beweist, dass man, wenn man die reellen Zahlen (die, die wir für Geld, Distanz und Zeit verwenden) nimmt und diese neue Struktur aufbaut, ein Complete S-Extension (vollständige S-Erweiterung) erhält. Dies ist ein einzigartiges, organisiertes System, in dem:

Die Division durch Null möglich ist. Wenn man eine normale Zahl (wie 5) durch Null teilt, erhält man keinen Fehler. Man erhält eine eindeutige unendliche Zahl (speziell eine unendliche 5). Jede unterschiedliche Zahl, die durch Null geteilt wird, ergibt eine andere unendliche Zahl.
Null durch „Absolutes Null“ ersetzt wird. In dieser neuen Welt ist das alte Null verschwunden. Es wird durch ein spezielles Element namens Absolutes Null (bezeichnet als $0'$ ) ersetzt. Dieses neue Null verhält sich wie das alte Null – das Addieren verändert nichts, das Multiplizieren löscht alles aus –, aber es erlaubt der Mathematik, auch dann weiterzuarbeiten, wenn die Dinge seltsam werden.
Alles aufgeht. Im Gegensatz zu einigen anderen mathematischen Systemen, die zusammenbrechen, wenn man versucht zu addieren oder zu subtrahieren, ist dieses System so konzipiert, dass man jede zwei Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann (solange man nicht durch Absolutes Null teilt).

Das „Pixel“ und die „Pixelgröße“

Der Autor schlägt eine unterhaltsame Art vor, dies zu visualisieren. Stellen Sie sich vor, die Zahlengerade ist nicht eine glatte, kontinuierliche Linie, sondern ein digitaler Bildschirm, der aus Pixeln besteht.

Eine normale Zahl ist ein ganzer Pixel.
Eine unendliche Zahl ist wie ein extrem weit herausgezoomtes Bild, bei dem eine ganze Stadt in einen einzigen Pixel passt.
Eine infinitesimale Zahl ist wie ein extrem weit hineingezoomtes Bild, bei dem ein einzelnes Atom so groß wie der ganze Bildschirm ist.

Das Papier zeigt, dass, wenn man eine unendliche Zahl (eine weit herausgezoomte Ansicht) mit einer infinitesimalen Zahl (einer weit hineingezoomten Ansicht) derselben „Ebene“ multipliziert, sie sich gegenseitig aufheben und wieder eine normale, endliche Zahl ergeben. Es ist, als würde man herauszoomen und dann sofort wieder an exakt dieselbe Stelle hineinzoomen.

Was ist mit negativen Fakultäten?

Hier ist ein Bonus-Trick, den das Papier entdeckt. In der normalen Mathematik kann man die Fakultät einer negativen Zahl (wie $(-5)!$ ) nicht berechnen. Sie ist undefiniert. Aber in diesem neuen System beweist der Autor, dass eine Formel existiert:
$(-n)! = \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \right]$
Das bedeutet, dass man Fakultäten für negative ganze Zahlen berechnen kann, und das Ergebnis ist eine eindeutige unendliche Zahl. Zum Beispiel ist $(-1)!$ eine unendliche Version von 1.

Was das Papier ausschließt (und was nicht)

Es ist wichtig zu wissen, was dieses Papier nicht behauptet:

Es sagt nicht, dass die alten Regeln der Mathematik falsch sind. Es sagt, dass die alten Regeln nur ein spezieller Fall (Level 0) eines größeren Systems sind.
Es behauptet nicht, das Problem der „Division durch Null“ bereits für alle gelöst zu haben. Das Papier stellt ausdrücklich fest, dass, obwohl die Mathematik funktioniert, der Autor noch daran arbeitet zu beweisen, dass dieses neue System jede einzelne Regel eines Standardkörpers erfüllt (speziell die Regel, wie die Addition Dinge gruppiert, die sogenannte „additive Assoziativität“). Der Autor deutet an, dass es funktioniert, gibt aber zu, dass dieser spezifische Beweis in einer zukünftigen Publikation folgt.
Es behauptet nicht, dass diese Zahlen bereits in der physischen Welt existieren. Das Papier legt nahe, dass diese Zahlen dazu verwendet werden könnten, Entfernungen auf eine neue Weise zu messen (wie ein „Pixel“ auf einem Bildschirm) oder um zu verstehen, wie Funktionen genau am Rande eines Bruchs funktionieren, aber dies sind nur Ideen für zukünftige Arbeiten. Das Papier sagt nicht, dass wir heute bereits eine Maschine gebaut haben, die diese Zahlen verwendet.

Das Fazit

Das Papier führt eine neue, einzigartige mathematische Struktur namens Complete S-Extension ein. Es erschafft erfolgreich eine Welt, in der:

Man durch Null teilen und eine spezifische, eindeutige unendliche Zahl erhalten kann.
Man Fakultäten für negative Zahlen definieren kann.
Man eine klare Hierarchie von Zahlen hat: Endlich (normal), Unendlich (riesig) und Infinitesimal (winzig).

Der Autor hat rigoros definiert, wie man diese Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Während das System in den meisten Punkten mathematisch konsistent ist, merkt der Autor an, dass ein endgültiger Beweis für eine spezifische Regel (die Assoziativität der Addition) noch finalisiert wird. Bis dahin ist dies ein faszinierendes, hochstrukturiertes „Was-wäre-wenn“-Universum, das die Zahlengerade in eine mehrstufige Landschaft der Unendlichkeit und des Unendlich-Kleinen erweitert.

Technische Zusammenfassung: Modifikation der Körperaxiome zur Erzeugung unendlicher und infinitesimaler reeller Zahlen

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der algebraischen Unmöglichkeit der Division durch Null innerhalb der Standard-Körpertheorie. In einem Standardkörper führt die Definition von $1/0 = x$ zur Kontradiktion $0 \cdot x = 1$ , was das Axiom verletzt, dass $0 \cdot x = 0$ für alle $x$ gilt. Der Autor postuliert, dass das Hindernis für die Division durch Null nicht die Division selbst ist, sondern das Verhalten der Multiplikation mit Null. Das Ziel besteht darin, eine algebraische Struktur zu konstruieren, in der die Multiplikation mit Null nicht-zero Ergebnisse liefern kann, um dadurch ein definiertes, eindeutiges Resultat für die Division durch Null zu ermöglichen, während gleichzeitig ein System erzeugt wird, das unendliche und infinitesimale Zahlen enthält.

Methodik
Die Arbeit entwickelt ein hierarchisches Framework algebraischer Strukturen, das von modifizierten Axiomen zu komplexen Quotientenräumen fortschreitet:

Aufgestiegene Strukturen und Körper: Der Autor modifiziert die Standard-Körperaxiome, um eine „Aufgestiegene Struktur“ ( $S$ ) zu definieren. Wesentliche Modifikationen umfassen:
- Beibehaltung der kommutativen Gruppenstruktur für die Addition.
- Anforderung der Abgeschlossenheit unter der Multiplikation.
- Zulassen, dass $0 \cdot s \neq 0$ für einige $s \in S$ .
- Ersetzung des Standard-Distributivgesetzes durch „Rad-Distributivität“ (Wheel Distributivity): $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ .
- Definition von „S-Assoziativität“, um Assoziativität in Gegenwart von Nicht-Null-Null-Produkten zu handhaben.
- Ein „Aufgestiegener Körper“ erfordert zusätzlich die Existenz von Skalarinversen für Nicht-Null-Elemente in der Teilmenge $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ .
Einfache S-Erweiterungen: Um die Unbestimmtheit der Division durch Null aufzulösen, definiert der Autor eine Äquivalenzrelation auf einem aufgestiegenen Körper, wobei $s \equiv t$ , falls $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (oder falls $s, t$ Skalare sind und $s=t$ ). Der Quotientenspace dieser Relation, bezeichnet als $S_0 \cup [S_0]$ , bildet die „Einfache S-Erweiterung“.
- In dieser Struktur ist die Division durch Null definiert: Für ein Nicht-Null-Element $x$ gilt $x/0 = [x]$ , wobei $[x]$ eine eindeutige Äquivalenzklasse ist, die sich von $x$ unterscheidet.
- Jedoch sind die arithmetischen Operationen in der Einfachen S-Erweiterung nicht total; insbesondere ist die Subtraktion $[x] - [x]$ unbestimmt.
Tupel und Duale: Um die Totalität der Operationen zu erreichen, führt die Arbeit das „Duale“ eines aufgestiegenen Körpers ( $S^* = S \cup S^{-1}$ ) ein, wobei $S^{-1}$ eine isomorphe Kopie von $S$ ist, deren Elemente einem „Level“ von $-1$ (Invers) gegenüber einem Level von $1$ (Original) zugewiesen sind.
- Tupel: Endliche und abzählbar unendliche Tupel von Elementen aus $S^*$ werden definiert. Jedes Tupel besitzt ein Level (Summe der Komponenten-Levels) und einen Wert (Produkt der Komponenten-Werte).
- Unendliche Tupel: Es werden Tupel eingeführt, deren Levels gegen $+\infty$ oder $-\infty$ divergieren. Die Menge der $(-\infty)$ -Tupel wird als $0'$ (Absolutes Null) bezeichnet.
Volle und Vollständige S-Erweiterungen:
- Volle S-Erweiterung: Die Menge der Äquivalenzklassen von Tupeln $[n, x]$ (wobei $n$ das Level und $x$ der Wert ist) bildet die Volle S-Erweiterung. Operationen sind so definiert, dass die Addition von den relativen Levels der Operanden abhängt (höheres Level dominiert) und die Multiplikation die Levels addiert und die Werte multipliziert.
- Vollständige S-Erweiterung: Durch die Einführung des Elements $0'$ (Absolutes Null, definiert als $[-\infty, 0]$ ) und dessen Definition als additives Identitätselement, erschafft der Autor die Vollständige S-Erweiterung. Diese Struktur löst die Unbestimmtheit von $[n, x] - [n, x]$ , indem sie das Resultat als $0'$ definiert.

Zentrale Beiträge und Ergebnisse

Eindeutige Erweiterung: Die Arbeit beweist, dass für jeden Körper $F$ eine eindeutige Einfache S-Erweiterung und eine eindeutige Vollständige S-Erweiterung (bis auf Isomorphie) existiert, die aus einem aufgestiegenen Körper abgeleitet werden, der $F$ als seinen Skalakörper enthält.
Division durch Null: In der Vollständigen S-Erweiterung ist die Division durch Null für alle Nicht-Null-Elemente wohldefiniert. Speziell gilt $x/0 = [x]$ (eine unendliche Zahl) für $x \neq 0$ , während $0/0$ unbestimmt bleibt, was konsistent mit der Standard-algebraischen Intuition ist.
Unendliche und infinitesimale Zahlen: Die Vollständige S-Erweiterung der Reellen ( $[Z, \mathbb{R}]^*$ $[Z, R]^{*}$ ) enthält:
- Endliche reelle Zahlen: Elemente $[0, x]$ , die den Standard-Reellen entsprechen.
- Unendliche reelle Zahlen: Elemente $[n, x]$ mit $n > 0$ . Diese sind größer (oder kleiner) als jede endliche reelle Zahl.
- Infinitesimale reelle Zahlen: Elemente $[n, x]$ mit $n < 0$ . Diese sind Nicht-Null, aber in ihrer Magnitude kleiner als jede positive endliche reelle Zahl.
- Absolutes Null ( $0'$ ): Ein distinktes Null-Element, das als additives Identitätselement fungiert und die Multiplikation absorbiert, wodurch das Standard-Null im Kontext dieser Erweiterungen ersetzt wird.
Fakultäten negativer Ganzer Zahlen: Das Framework ermöglicht die Definition von Fakultäten für negative ganze Zahlen. Die Arbeit leitet die Formel $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ ab, was eindeutige unendliche Ausgaben für Fakultäten negativer ganzer Zahlen liefert.
Arithmetische Totalität: Die Vollständige S-Erweiterung bewahrt die Totalität der grundlegenden arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) für alle Elemente, mit der einzigen Ausnahme der Division durch das Absolute Null ( $0'$ ), welche undefiniert ist.
Ordnung: Eine natürliche Ordnung wird für die Vollständige S-Erweiterung der Reellen etabliert, welche die Trichotomie erfüllt. Die Hierarchie ordnet unendliche Zahlen über allen endlichen Zahlen und infinitesimale Zahlen zwischen Null und jeder positiven endlichen Zahl ein.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit behauptet, eine „eindeutige Struktur namens vollständige S-Erweiterung der reellen Zahlen“ konstruiert zu haben, welche die Standard-reellen Zahlen erweitert und gleichzeitig die Totalität der arithmetischen Operationen bewahrt. Die primäre Bedeutung liegt in:

Lösung der Division durch Null: Bereitstellung eines eindeutigen, nicht unbestimmten Resultats für $x/0$ (wobei $x \neq 0$ ), ohne die Körperstruktur in Trivialität kollabieren zu lassen.
Vereinigung von Unendlichkeit und Infinitesimalen: Integration unendlicher und infinitesimaler Zahlen in ein einziges algebraisches System, in dem sie durch einen Nicht-Null-reellen Wert und ein ganzzahliges Level eindeutig identifiziert werden.
Algebraische Konsistenz: Nachweis, dass man durch die Lockerung des Distributivgesetzes hin zur „Rad-Distributivität“ und die Modifikation des Verhaltens von Null ein konsistentes algebraisches System schaffen kann, das auch diese erweiterten Zahlen enthält.

Der Autor stellt fest, dass die Vollständige S-Erweiterung alle Körperanforderungen erfüllt, mit Ausnahme der additiven Assoziativität (eine Behauptung, die laut Autor in einem ergänzenden Manuskript bewiesen wird). Die Arbeit schließt mit dem Vorschlag potenzieller Anwendungen bei der Messung von Distanzen mittels einer Metrikfunktion und der Interpretation geometrischer Liniensegmente als „Pixel“ infinitesimaler Länge, wobei diese eher als zukünftige Arbeiten denn als etablierte Ergebnisse präsentiert werden.

Die magische Leiter: Ebenen der Zahlen

Das „Pixel“ und die „Pixelgröße“

Was ist mit negativen Fakultäten?

Was das Papier ausschließt (und was nicht)

Das Fazit

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