Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

技術要約：無限および無限小の実数を生成するための体公理の修正

問題提起
本論文は、標準的な体論におけるゼロ除算の代数的な不可能性に対処するものである。標準的な体において、$1/0 = x$ と定義すると、$0 \cdot x = 1$ という矛盾が生じる。これは、すべての $x$ に対して $0 \cdot x = 0$ であるという公理に抵触する。著者は、ゼロ除算の障害は除算そのものではなく、ゼロによる乗算の振る舞いにあると仮定している。目標は、ゼロによる乗算が非ゼロの結果を生み出すことを可能にする代数構造を構築することで、ゼロ除算に対して定義された一意の結果を可能にし、同時に無限および無限小の数を含むシステムを生成することである。

方法論
本論文は、修正された公理から複雑な商空間へと進展する、階層的な代数構造の開発を行っている。

1. 昇天構造（Ascended Structures）と体: 著者は、標準的な体公理を修正して「昇天構造」（$S$）を定義する。主な修正点は以下の通りである：

   • 加法の可換群構造を保持する。
   • 乗法に関する閉包を要求する。
   • ある $s \in S$ に対して $0 \cdot s \neq 0$ であることを許容する。
   • 標準的な分配法則を「ホイール分配律（Wheel Distributivity）」：$s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ に置き換える。
   • 非ゼロのゼロ積が存在する場合の結合性を扱うために「S-結合性（S-Associativity）」を定義する。
   • 「昇天体（Ascended Field）」は、さらに $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ という部分集合内の非ゼロ要素に対するスカラー逆元の存在を要求する。

2. 単純S拡張（Simple S-Extensions）: ゼロ除算における未決定性を解決するために、著者は、昇天体における同値関係（$0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ であるか、または $s, t$ がスカラーであり $s=t$ である場合に $s \equiv t$ とする）を定義する。この関係の商空間を $[S_0 \cup [S_0]]$ と表記し、「単純S拡張」を形成する。

   • この構造において、ゼロ除算は定義される。すなわち、非ゼロの $x$ に対して $x/0 = [x]$ であり、ここで $[x]$ は $x$ とは異なる一意の同値類である。
   • しかし、単純S拡張における算術演算は全域的（total）ではない。具体的には、減算 $[x] - [x]$ は未定である。

3. タプルと双対（Tuples and Duals）: 演算の全域性を達成するために、本論文は昇天体の「双対」（$S^* = S \cup S^{-1}$）を導入する。ここで $S^{-1}$ は、$S$ の要素にレベル $1$（オリジナル）ではなくレベル$-1$（逆）を割り当てた$S$ の同型なコピーである。

   • タプル: $S^*$ の要素からなる有限および可算無限のタプルを定義する。各タプルは、レベル（成分レベルの和）と値（成分値の積）を持つ。
   • 無限タプル: レベルが $+\infty$ または $-\infty$ に発散するタプルを導入する。$(-\infty)$-タプルの集合を $0'$（絶対零）と指定する。

4. 完全S拡張（Full and Complete S-Extensions）:

   • 完全S拡張（Full S-Extension）: 同値類 $[n, x]$（ここで $n$ はレベル、$x$ は値）の集合は、完全S拡張を形成する。演算は、オペランドの相対的なレベルに依存する加算や、レベルを足し合わせ値を乗じる乗算として定義される。
   • 完備S拡張（Complete S-Extension）: $0'$（絶対零、$[-\infty, 0]$ と定義される）を導入し、それを加法の単位元として定義することで、著者は完備S拡張を作成する。この構造は、$[n, x] - [n, x]$ を $0'$ と定義することで、$[n, x] - [n, x]$ の未定性を解決する。

主要な貢献と結果

• 一意な拡張: 本論文は、任意の体 $F$ に対して、そのスカラー体として $F$ を含む昇天体から導出される一意な単純S拡張および一意な完備S拡張（同型を除いて）が存在することを証明している。
• ゼロ除算: 完備S拡張において、ゼロ除算はすべての非ゼロ要素に対してウェルディファインド（well-defined）である。具体的には、$x/0 = [x]$ （無限数）であるが、$0/0$ は標準的な代数的直感と一致して未定のままである。
• 無限および無限小の数: 実数の完備S拡張（$[Z, \mathbb{R}]^*$）には以下が含まれる：
  • 有限の実数: 標準的な実数に対応する $[0, x]$。
  • 無限の実数: $n > 0$ である $[n, x]$。これらはすべての有限の実数よりも大きい（または小さい）。
  • 無限小の実数: $n < 0$ である $[n, x]$。これらは非ゼロであるが、任意の正の有限数よりも絶対値が小さい。
  • 絶対零 ($0'$): 標準的なゼロに代わり、加法の単位元として機能し、乗算を吸収する、区別されたゼロ要素。
• 負の整数の階乗: この枠組みは、負の整数の階乗の定義を可能にする。本論文は、階乗の公式 $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ を導出し、負の整数階乗に対して一意な無限出力を与える。
• 算術の全域性: 完備S拡張は、絶対零 ($0'$) による除算を除いて、すべての要素に対して基本的な算術演算（加算、減算、乗算、除算）の全域性を維持する。
• 順序: 完備S拡張の実数に対して、三一律を満たす自然な順序が確立されている。階層構造は、無限数をすべての有限数の上に、無限小数をゼロと任意の正の有限数の間に配置する。

意義と主張
本論文は、標準的な実数を拡張しつつ算術演算の全域性を保持する「完備S拡張と呼ばれる一意な構造」を構築したと主張している。その主要な意義は以下の点にある：

1. ゼロ除算の解決: 体の構造を自明なものに崩壊させることなく、非ゼロの $x$ に対して $x/0$（無限数）という一意かつ未定ではない結果を提供すること。
2. 無限と無限小の統一: 無限および無限小の数を、非ゼロの実数値と整数レベルによって一意に識別される単一の代数系の中に統合すること。
3. 代数的整合性: 分配法則を「ホイール分配律」へと緩和し、ゼロの振る舞いを修正することで、これらの拡張された数を含む一貫した代数系を作成できることを示すこと。

著者は、完備S拡張が加法の結合性を満たすすべての体要件を満たしているが、加法の結合性については（著者が補足原稿で証明すると述べている）例外があることを注記している。論文は最後に、距離を測るための計量関数への応用や、幾何学的な線分を無限小の長さを持つ「ピクセル」として解釈することへの潜在的な応用を提案しているが、これらは確立された結果ではなく、将来の課題として提示されている。