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Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

Este artículo introduce una nueva estructura algebraica llamada "campo ascendido" mediante la modificación de los axiomas de campo estándar para permitir la división por cero, construyendo finalmente una "extensión s completa" única de los números reales que preserva la totalidad de las operaciones aritméticas mientras incorpora números infinitos e infinitesimales.

Autores originales: Brendan Santangelo

Publicado 2026-07-15

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CC BY 4.0

Autores originales: Brendan Santangelo

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás jugando con un conjunto de bloques numéricos mágicos. En el mundo normal de las matemáticas, hay una regla que nunca puedes romper: no puedes dividir por cero. Si intentas repartir una pizza en cero porciones, la máquina matemática simplemente colapsa. ¿Por qué? Porque en la matemática estándar, si multiplicas cero por cualquier cosa, siempre obtienes cero. Así que, si alguien afirmara que $1 \div 0 = x$ , significaría que $0 \times x = 1$ . Pero $0 \times x$ es siempre 0, nunca 1. La máquina dice "¡Error!" y se marcha.

Pero, ¿qué pasaría si pudiéramos retocar las reglas solo un poquito? ¿Qué pasaría si multiplicar por cero no siempre resultara en cero? ¿Qué pasaría si pudiera resultar en 1, o 2, o incluso $\pi$ ?

Esa es la idea salvaje detrás de este artículo. El autor, Brendan Santangelo, propone un nuevo tipo de patio de juegos matemático llamado Campo Ascendido (Ascended Field). En este patio de juegos, la regla "cero por cualquier cosa es cero" se rompe. En su lugar, el cero puede "tocar" otros números y cambiarlos. Esto nos permite realizar finalmente el acto prohibido: la división por cero.

La Escalera Mágica: Niveles de Números

Para que esto funcione sin que todo se desmorone, el autor construye una nueva estructura utilizando "tuplas" (que son simplemente listas de números). Pero estas no son listas ordinarias; tienen una propiedad especial llamada Nivel.

Piensa en el Valor de un número como su cara (como el número 5) y su Nivel como su altitud o "nivel de zoom".

Nivel 0: Este es tu número cotidiano y normal. Un 5 en el Nivel 0 es simplemente un 5 regular.
Niveles Positivos (1, 2, 3...): Estos son Números Infinitos. Un 5 en el Nivel 1 es un "5 infinito". Es tan grande que es mayor que cualquier número normal que puedas imaginar.
Niveles Negativos (-1, -2, -3...): Estos son Números Infinitesimales. Un 5 en el Nivel -1 es un "5 diminuto". Es tan pequeño que es menor que cualquier número positivo normal, pero no es cero.

El artículo demuestra que si tomas los números reales (los que usamos para el dinero, la distancia y el tiempo) y construyes esta nueva estructura, obtienes una Extensión-S Completa. Es un sistema único y organizado donde:

La división por cero es posible. Si divides un número normal (como 5) por cero, no obtienes un error. Obtienes un Número Infinito único (específicamente, un 5 infinito). Cada número diferente dividido por cero te da un número infinito diferente.
El cero es reemplazado por el "Cero Absoluto". En este nuevo mundo, el viejo cero ha desaparecido. Es reemplazado por un elemento especial llamado Cero Absoluto (denotado como $0'$ ). Este nuevo cero actúa como el viejo cero (sumarlo no cambia nada, multiplicarlo por él anula todo), pero permite que la matemática siga funcionando incluso cuando las cosas se ponen extrañas.
Todo suma. A diferencia de otros sistemas matemáticos que se rompen cuando intentas sumar o restar, este sistema está diseñado para que puedas sumar, restar, multiplicar y dividir cualquieres dos números (siempre que no estés dividiendo por el Cero Absoluto).

El "Píxel" y el "Tamaño del Píxel"

El autor sugiere una forma divertida de visualizarlo. Imagina que la recta numérica no es una línea suave y continua, sino una pantalla digital hecha de píxeles.

Un número normal es un píxel entero.
Un Número Infinito es como alejar el zoom tanto que una ciudad entera cabe dentro de un solo píxel.
Un Número Infinitesimal es como acercar el zoom tanto que un solo átomo tiene el tamaño de toda la pantalla.

El artículo muestra que si multiplicas un Número Infinito (una vista de alejamiento) por un Número Infinitesimal (una vista de acercamiento) del mismo "nivel", se cancelan entre sí y te devuelven un número normal y finito. Es como alejar el zoom y luego volver a acercarlo inmediatamente al mismo punto exacto.

¿Qué pasa con los factoriales negativos?

Aquí hay un truco adicional que el artículo descubre. En la matemática normal, no puedes calcular el factorial de un número negativo (como $(-5)!$ ). No está definido. Pero en este nuevo sistema, el autor demuestra que existe una fórmula:
$(-n)! = \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \right]$
Esto significa que sí puedes calcular factoriales para números enteros negativos, y el resultado es un Número Infinito único. Por ejemplo, $(-1)!$ resulta ser una versión infinita de 1.

Lo que el artículo descarta (y lo que no)

Es importante saber qué es lo que este artículo no afirma:

No dice que las viejas reglas de la matemática sean erróneas. Dice que las viejas reglas son solo un caso específico (Nivel 0) de un sistema más grande.
No afirma haber resuelto el problema de la "División por Cero" para todo el mundo todavía. El artículo establece explícitamente que, aunque la matemática funciona, el autor todavía está trabajando en demostrar que este nuevo sistema satisface todas y cada una de las reglas de un campo estándar (específicamente, la regla sobre cómo la suma agrupa las cosas, llamada "asociatividad aditiva"). El autor sugiere que funciona, pero admite que esta prueba específica vendrá en un futuro manuscrito.
No afirma que estos números existan en el mundo físico todavía. El artículo sugiere que estos números podrían usarse para medir distancias de una manera nueva (como un "píxel" en una pantalla) o para entender cómo se comportan las funciones justo en el borde de una ruptura, pero estas son solo ideas para trabajos futuros. El artículo no dice que hayamos construido una máquina que use estos números hoy en día.

Conclusión

El artículo introduce una nueva y única estructura matemática llamada Extensión-S Completa. Crea con éxito un mundo donde:

Puedes dividir por cero y obtener un número infinito específico y único.
Puedes definir factoriales para números negativos.
Tienes una jerarquía clara de números: Finitos (normales), Infinitos (enormes) e Infinitesimales (diminutos).

El autor ha definido rigurosamente cómo sumar, restar, multiplicar y dividir estos números. Si bien el sistema es matemáticamente consistente en la mayoría de los aspectos, el autor señala que una prueba final para una regla específica (la asociatividad de la suma) aún se está finalizando. Hasta entonces, esto es un universo fascinante, altamente estructurado de "qué pasaría si" que expande la recta numérica hacia un paisaje multinivel de infinito y de lo infinitamente pequeño.

Resumen Técnico: Modificación de los Axiomas de Campo para la Creación de Números Reales Infinitos e Infinitesimales

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la imposibilidad algebraica de la división por cero dentro de la teoría de campos estándar. En un campo estándar, definir $1/0 = x$ conduce a la contradicción $0 \cdot x = 1$ , lo que viola el axioma de que $0 \cdot x = 0$ para todo $x$ . El autor postula que la obstrucción a la división por cero no es la división en sí, sino el comportamiento de la multiplicación por cero. El objetivo es construir una estructura algebraica donde la multiplicación por cero pueda producir resultados no nulos, permitiendo así una definición de resultado único para la división por cero, mientras se genera simultáneamente un sistema que contenga números infinitos e infinitesimales.

Metodología
El artículo desarrolla un marco jerárquico de estructuras algebraicas, progresando desde la modificación de axiomas hasta espacios cocientes complejos:

Estructuras Ascendidas y Campos: El autor modifica los axiomas de campo estándar para definir una "Estructura Ascendida" ( $S$ ). Las modificaciones clave incluyen:
- Mantener la estructura de grupo conmutativo para la adición.
- Requerir la clausura bajo la multiplicación.
- Permitir que $0 \cdot s \neq 0$ para algunos $s \in S$ .
- Reemplazar la ley distributiva estándar por la "Distributividad de Rueda" (Wheel Distributivity): $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ .
- Definir la "S-Asociatividad" para manejar la asociatividad en presencia de productos por cero no nulos.
- Un "Campo Ascendido" requiere además la existencia de inversos escalares para elementos no nulos en el subconjunto $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ .
Extensiones S Simples: Para resolver la indeterminación en la división por cero, el autor define una relación de equivalencia en un campo ascendido donde $s \equiv t$ si $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (o si $s, t$ son escalares y $s=t$ ). El espacio cociente de esta relación, denotado como $S_0 \cup [S_0]$ , forma la "Extensión S Simple".
- En esta estructura, la división por cero está definida: para un $x$ no nulo, $x/0 = [x]$ , donde $[x]$ es una clase de equivalencia única distinta de $x$ .
- Sin embargo, las operaciones aritméticas en la Extensión S Simple no son totales; específicamente, la sustracción $[x] - [x]$ es indeterminada.
Tuplas y Duales: Para lograr la totalidad de las operaciones, el artículo introduce el "Dual" de un campo ascendido ( $S^* = S \cup S^{-1}$ ), donde $S^{-1}$ es una copia isomórfica de $S$ con elementos asignados un "Nivel" de $-1$ (inverso) frente a $1$ (original).
- Tuplas: Se definen tuplas finitas y contablemente infinitas de elementos de $S^*$ . Cada tupla tiene un Nivel (suma de los niveles de sus componentes) y un Valor (producto de los valores de sus componentes).
- Tuplas Infinitas: Se introducen tuplas con niveles que divergen hacia $+\infty$ o $-\infty$ . El conjunto de tuplas $(-\infty)$ se designa como $0'$ (Cero Absoluto).
Extensiones S Completas y Totales:
- Extensión S Total: El conjunto de clases de equivalencia de tuplas $[n, x]$ (donde $n$ es el nivel y $x$ es el valor) forma la Extensión S Total. Las operaciones se definen de tal manera que la adición depende de los niveles relativos de los operandos (el nivel superior domina), y la multiplicación suma los niveles y multiplica los valores.
- Extensión S Completa: Al introducir el elemento $0'$ (Cero Absoluto, definido como $[-\infty, 0]$ ) y definirlo como el elemento identidad aditivo, el autor crea la Extensión S Completa. Esta estructura resuelve la indeterminación de $[n, x] - [n, x]$ al definir el resultado como $0'$ .

Contribuciones Clave y Resultados

Extensión Única: El artículo demuestra que para cualquier campo $F$ , existe una Extensión S Simple única y una Extensión S Completa única (salvo isomorfismo) derivada de un campo ascendido que contiene a $F$ como su campo escalar.
División por Cero: En la Extensión S Completa, la división por cero está bien definida para todos los elementos no nulos. Específicamente, $x/0 = [x]$ (un número infinito), y $0/0$ permanece indeterminado, de acuerdo con la intuición algebraica estándar.
Números Infinitos e Infinitesimales: La Extensión S Completa de los reales ( $[Z, \mathbb{R}]^*$ $[Z, R]^{*}$ ) contiene:
- Números Reales Finitos: Elementos $[0, x]$ correspondientes a los reales estándar.
- Números Reales Infinitos: Elementos $[n, x]$ donde $n > 0$ . Estos son mayores que (o menores que) todo número real finito.
- Números Reales Infinitesimales: Elementos $[n, x]$ donde $n < 0$ . Estos son no nulos pero de menor magnitud que cualquier número real positivo finito.
- Cero Absoluto ( $0'$ ): Un elemento cero distinto que actúa como la identidad aditiva y absorbe la multiplicación, reemplazando al cero estándar en el contexto de estas extensiones.
Factoriales de Enteros Negativos: El marco permite la definición de factoriales para enteros negativos. El artículo deriva la fórmula $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ , produciendo resultados infinitos únicos para los factoriales de enteros negativos.
Totalidad Aritmética: La Extensión S Completa mantiene la totalidad de las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) para todos los elementos, con la única excepción de la división por el Cero Absoluto ( $0'$ ), la cual no está definida.
Orden: Se establece un orden natural para la Extensión S Completa de los reales, que satisface la tricotomía. La jerarquía sitúa a los números infinitos por encima de todos los números finitos y a los números infinitesimales entre el cero y cualquier número positivo finito.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma haber construido una "estructura única llamada extensión s completa de los reales" que extiende los números reales estándar mientras preserva la totalidad de las operaciones aritméticas. La significancia principal radica en:

Resolver la División por Cero: Proporcionar un resultado único y no indeterminado para $x/0$ (donde $x \neq 0$ ) sin colapsar la estructura de campo hacia la trivialidad.
Unificar el Infinito y los Infinitesimales: Integrar números infinitos e infinitesimales en un único sistema algebraico donde están identificados de forma única por un valor real no nulo y un nivel entero.
Consistencia Algebraica: Demostrar que, al relajar la propiedad distributiva hacia la "Distributividad de Rueda" y modificar el comportamiento del cero, se puede crear un sistema algebraico consistente que incluya estos números extendidos.

El autor señala que la Extensión S Completa satisface todos los requisitos de campo excepto la asociatividad aditiva (una afirmación que el autor indica que será probada en un manuscrito suplementario). El artículo concluye proponiendo posibles aplicaciones para medir la distancia mediante una función métrica e interpretar segmentos de línea geométrica como "píxeles" de longitud infinitesimal, aunque estos se presentan como trabajo futuro más que como resultados establecidos.

La Escalera Mágica: Niveles de Números

El "Píxel" y el "Tamaño del Píxel"

¿Qué pasa con los factoriales negativos?

Lo que el artículo descarta (y lo que no)

Conclusión

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