Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

तकनीकी सारांश: अनंत और सूक्ष्म वास्तविक संख्याओं को बनाने के लिए क्षेत्र अभिधारणाओं (Field Axioms) में संशोधन

समस्या विवरण
यह शोध पत्र मानक क्षेत्र सिद्धांत (standard field theory) के भीतर शून्य से विभाजन की बीजगणितीय असंभवता को संबोधित करता है। एक मानक क्षेत्र में, $1/0 = x$ को परिभाषित करने से विरोधाभास $0 \cdot x = 1$ उत्पन्न होता है, जो इस अभिधारणा का उल्लंघन करता है कि सभी $x$ के लिए $0 \cdot x = 0$ होता है। लेखक का तर्क है कि शून्य से विभाजन में बाधा विभाजन स्वयं नहीं है, बल्कि शून्य द्वारा गुणा करने का व्यवहार है। लक्ष्य एक ऐसी बीजगणितीय संरचना का निर्माण करना है जहाँ शून्य द्वारा गुणा गैर-शून्य परिणाम दे सके, जिससे शून्य से विभाजन के लिए एक परिभाषित, अद्वितीय परिणाम प्राप्त किया जा सके, और साथ ही एक ऐसी प्रणाली विकसित की जा सके जिसमें अनंत और सूक्ष्म संख्याएँ शामिल हों।

कार्यप्रणाली
शोध पत्र बीजगणितीय संरचनाओं के एक पदानुक्रमित ढांचे को विकसित करता है, जो संशोधित अभिधारणाओं से जटिल भागफल स्थानों (quotient spaces) तक बढ़ता है:

1. आरोपित संरचनाएं और क्षेत्र (Ascended Structures and Fields): लेखक एक "आरोपित संरचना" ($S$) को परिभाषित करने के लिए मानक क्षेत्र अभिधारणाओं को संशोधित करते हैं। मुख्य संशोधन शामिल हैं:

   • योग (addition) के लिए क्रमविनिमेय समूह (commutative group) संरचना को बनाए रखना।
   • गुणन के अंतर्गत संवर्तकता (closure) की आवश्यकता।
   • $0 \cdot s \neq 0$ के लिए कुछ $s \in S$ में $s \cdot 0 \neq 0$ की अनुमति देना।
   • मानक वितरकता (distributive law) को "व्हील वितरकता" (Wheel Distributivity) से बदलना: $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$।
   • गैर-शून्य शून्य-उत्पादों की उपस्थिति में साहचर्य (associativity) को संभालने के लिए "S-साहचर्य" (S-Associativity) को परिभाषित करना।
   • एक "आरोपित क्षेत्र" (Ascended Field) में गैर-शून्य तत्वों के लिए स्केलर प्रतिलोम (scalar inverses) का अस्तित्व भी आवश्यक है, जहाँ $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$।

2. सरल S-विस्तार (Simple S-Extensions): शून्य से विभाजन की अनिश्चितता को हल करने के लिए, लेखक एक आरोपित क्षेत्र पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) को परिभाषित करते हैं जहाँ $s \equiv t$ यदि $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (या यदि $s, t$ स्केलर हैं और $s=t$)। इस संबंध का भागफल स्थान, जिसे $S_0 \cup [S_0]$ के रूप में चिन्हित किया गया है, "सरल S-विस्तार" बनाता है।

   • इस संरचना में, शून्य से विभाजन परिभाषित है: गैर-शून्य $x$ के लिए, $x/0 = [x]$, जहाँ $[x]$ एक अद्वितीय तुल्यता वर्ग है जो $x$ से भिन्न है।
   • हालाँकि, सरल S-विस्तार में अंकगणितीय संचालन पूर्ण (total) नहीं हैं; विशेष रूप से, घटाव $[x] - [x]$ अनिश्चित है।

3. टुपल्स और ड्यूल्स (Tuples and Duals): संचालन की पूर्णता प्राप्त करने के लिए, शोध पत्र एक आरोपित क्षेत्र का "ड्यूल" ($S^* = S \cup S^{-1}$) पेश करता है, जहाँ $S^{-1}$, $S$ की एक समरूप प्रतिलिपि है जिसमें तत्वों को "स्तर" (level) $1$(मूल) बनाम$-1$ (प्रतिलोम) दिया गया है।

   • टुपल्स: $S^*$ के तत्वों के परिमित और गणनीय अनंत टुपल्स को परिभाषित किया गया है। प्रत्येक टुपल का एक स्तर (घटकों के स्तरों का योग) और एक मान (घटकों के मानों का गुणनफल) होता है।
   • अनंत टुपल्स: वे टुपल्स जिनके स्तर $+\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर होते हैं, उन्हें पेश किया गया है। $(-\infty)$-टुपल्स के सेट को $0'$ (परम शून्य/Absolute Zero) नामित किया गया है।

4. पूर्ण और संपूर्ण S-विस्तार (Full and Complete S-Extensions):

   • पूर्ण S-विस्तार (Full S-Extension): टुपल्स $[n, x]$ (जहाँ $n$ स्तर है और $x$ मान है) के तुल्यता वर्गों का सेट पूर्ण S-विस्तार बनाता है। संचालन इस प्रकार परिभाषित हैं कि योग ऑपरेंड के सापेक्ष स्तरों पर निर्भर करता है (उच्च स्तर प्रभावी होता है), और गुणन स्तरों को जोड़ता है और मानों को गुणा करता है।
   • संपूर्ण S-विस्तार (Complete S-Extension): तत्व $0'$ (परम शून्य, जिसे $[-\infty, 0]$ के रूप में परिभाषित किया गया है) को पेश करके और इसे योगात्मक तत्समक (additive identity) के रूप में परिभाषित करके, लेखक एक संपूर्ण S-विस्तार का निर्माण करते हैं। यह संरचना $[n, x] - [n, x]$ की अनिश्चितता को $0'$ के रूप में परिणाम को परिभाषित करके हल करती है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• अद्वितीय विस्तार: शोध पत्र सिद्ध करता है कि किसी भी क्षेत्र $F$ के लिए, एक अद्वितीय सरल S-विस्तार और एक अद्वितीय संपूर्ण S-विस्तार (समरूपता तक) मौजूद है, जो $F$ को अपने स्केलर क्षेत्र के रूप में रखने वाले एक आरोपित क्षेत्र से व्युत्पन्न है।
• शून्य से विभाजन: संपूर्ण S-विस्तार में, सभी गैर-शून्य तत्वों के लिए शून्य से विभाजन सुव्यवस्थित है। विशेष रूप से, $x/0 = [x]$ (एक अनंत संख्या), और $0/0$ अभी भी अनिश्चित रहता है, जो मानक बीजगणितीय अंतर्ज्ञान के अनुरूप है।
• अनंत और सूक्ष्म संख्याएँ: वास्तविकों का संपूर्ण S-विस्तार ($[Z, \mathbb{R}]^*$) निम्नलिखित को समाहित करता है:
  • परिमित वास्तविक संख्याएँ: $[0, x]$ तत्व जो मानक वास्तविकों के अनुरूप हैं।
  • अनंत वास्तविक संख्याएँ: $[n, x]$ तत्व जहाँ $n > 0$ है। ये प्रत्येक परिमित वास्तविक संख्या से बड़े (या छोटे) हैं।
  • सूक्ष्म वास्तविक संख्याएँ: $[n, x]$ तत्व जहाँ $n < 0$ है। ये गैर-शून्य हैं लेकिन किसी भी धनात्मक परिमित संख्या की तुलना में परिमाण में छोटी हैं।
  • परम शून्य ($0'$): एक अलग शून्य तत्व जो एक योगात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है और गुणन को अवशोषित करता है, इन विस्तारों के संदर्भ में मानक शून्य का स्थान लेता है।
• ऋणात्मक पूर्णांकों के फैक्टोरियल: यह ढांचा ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए फैक्टोरियल को परिभाषित करने की अनुमति देता है। शोध पत्र सूत्र $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ को व्युत्पन्न करता है, जिससे ऋणात्मक पूर्णांक फैक्टोरियल के लिए अद्वितीय अनंत आउटपुट प्राप्त होते हैं।
• अंकगणितीय पूर्णता: संपूर्ण S-विस्तार बुनियादी अंकगणितीय संचालन (योग, घटाव, गुणा और विभाजन) की पूर्णता बनाए रखता है, केवल परम शून्य ($0'$) द्वारा विभाजन को छोड़कर, जो अपरिभाषित है।
• क्रम (Ordering): वास्तविकों के संपूर्ण S-विस्तार के लिए एक प्राकृतिक क्रम स्थापित किया गया है, जो त्रिकता (trichotomy) की संतुष्टि करता है। पदानुक्रम अनंत संख्याओं को सभी परिमित संख्याओं के ऊपर और सूक्ष्म संख्याओं को शून्य और किसी भी धनात्मक परिमित संख्या के बीच रखता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि उन्होंने एक "वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण S-विस्तार कहा जाने वाला अद्वितीय संरचना" बनाया है जो मानक वास्तविक संख्याओं का विस्तार करता है और अंकगणित के संचालन की पूर्णता को बनाए रखता है। इसकी प्राथमिक महत्ता है:

1. शून्य से विभाजन का समाधान: बिना क्षेत्र संरचना को तुच्छता में ढहाए, एक अद्वितीय, गैर-अनिश्चित परिणाम ($x \neq 0$ के लिए $x/0$) प्रदान करना।
2. अनंत और सूक्ष्म संख्याओं का एकीकरण: अनंत और सूक्ष्म संख्याओं को एक एकल बीजगणितीय प्रणाली में एकीकृत करना जहाँ उन्हें एक गैर-शून्य वास्तविक मान और एक पूर्णांक स्तर द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है।
3. बीजगणितीय निरंतरता: यह प्रदर्शित करना कि "व्हील वितरकता" को बदलकर और शून्य के व्यवहार को संशोधित करके, एक सुसंगत बीजगणितीय प्रणाली बनाई जा सकती है जिसमें ये विस्तारित संख्याएँ शामिल हैं।

लेखक नोट करते हैं कि संपूर्ण S-विस्तार सभी क्षेत्र आवश्यकताओं को पूरा करता है, सिवाय योगात्मक साहचर्य (एक दावा जिसे लेखक एक पूरक पांडुलिपि में सिद्ध करने का उल्लेख करते हैं) के। शोध पत्र का निष्कर्ष एक मीट्रिक फलन (metric function) के माध्यम से दूरी मापने और ज्यामितीय रेखा खंडों को सूक्ष्म लंबाई के "पिक्सेल" के रूप में व्याख्या करने के संभावित अनुप्रयोगों का प्रस्ताव करने के साथ होता है, हालांकि ये स्थापित परिणामों के बजाय भविष्य के कार्य के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं।