Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

Resumo Técnico: Modificando os Axiomas de Campo para Criar Números Reais Infinitos e Infinitesimais

Enunciado do Problema
O artigo aborda a impossibilidade algébrica da divisão por zero dentro da teoria de campos padrão. Em um campo padrão, definir $1/0 = x$ leva à contradição $0 \cdot x = 1$, o que viola o axioma de que $0 \cdot x = 0$ para todo $x$. O autor postula que o obstáculo à divisão por zero não é a divisão em si, mas o comportamento da multiplicação por zero. O objetivo é construir uma estrutura algébrica onde a multiplicação por zero possa produzir resultados não nulos, permitindo assim um resultado definido e único para a divisão por zero, enquanto gera simultaneamente um sistema contendo números infinitos e infinitesimais.

Metodologia
O artigo desenvolve uma estrutura hierárquica de estruturas algébricas, progredindo de axiomas modificados para espaços quocientes complexos:

1. Estruturas Ascendentes e Campos: O autor modifica os axiomas de campo padrão para definir uma "Estrutura Ascendente" ($S$). As modificações principais incluem:

   • Manter a estrutura de grupo comutativo para a adição.
   • Exigir o fechamento sob a multiplicação.
   • Permitir que $0 \cdot s \neq 0$ para algum $s \in S$.
   • Substituir a lei distributiva padrão pela "Distributividade de Roda" (Wheel Distributivity): $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$.
   • Definir a "S-Associatividade" para lidar com a associatividade na presença de produtos por zero não nulos.
   • Um "Campo Ascendente" exige adicionalmente a existência de inversos escalares para elementos não nulos no subconjunto $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$.

2. Extensões S Simples: Para resolver a indeterminação na divisão por zero, o autor define uma relação de equivalência em um campo ascendente onde $s \equiv t$ se $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (ou se $s, t$ são escalares e $s=t$). O espaço quociente desta relação, denotado como $S_0 \cup [S_0]$, forma a "Extensão S Simples".

   • Nesta estrutura, a divisão por zero é definida: para $x$ não nulo, $x/0 = [x]$, onde $[x]$ é uma classe de equivalência única distinta de $x$.
   • No entanto, as operações aritméticas na Extensão S Simples não são totais; especificamente, a subtração $[x] - [x]$ é indeterminada.

3. Tuplas e Duais: Para alcançar a totalidade das operações, o artigo introduz o "Dual" de um campo ascendente ($S^* = S \cup S^{-1}$), onde $S^{-1}$ é uma cópia isomórfica de $S$ com elementos atribuídos a um "nível" de $-1$ (inverso) versus $1$ (original).

   • Tuplas: São definidas tuplas finitas e enumeravelmente infinitas de elementos de $S^*$. Cada tupla possui um Nível (soma dos níveis dos componentes) e um Valor (produto dos valores dos componentes).
   • Tuplas Infinitas: São introduzidas tuplas com níveis divergindo para $+\infty$ ou $-\infty$. O conjunto de tuplas $(-\infty)$ é designado como $0'$ (Zero Absoluto).

4. Extensões S Completas e Totais:

   • Extensão S Total: O conjunto de classes de equivalência de tuplas $[n, x]$ (onde $n$ é o nível e $x$ o valor) forma a Extensão S Total. As operações são definidas de modo que a adição dependa dos níveis relativos dos operandos (o nível mais alto domina) e a multiplicação soma os níveis e multiplica os valores.
   • Extensão S Completa: Ao introduzir o elemento $0'$ (Zero Absoluto, definido como $[-\infty, 0]$) e defini-lo como o elemento neutro aditivo, o autor cria a Extensão S Completa. Esta estrutura resolve a indeterminação de $[n, x] - [n, x]$ definindo o resultado como $0'$.

Principais Contribuições e Resultados

• Extensão Única: O artigo prova que, para qualquer campo $F$, existe uma Extensão S Simples única e uma Extensão S Completa única (até o isomorfismo) derivada de um campo ascendente que contém $F$ como seu campo escalar.
• Divisão por Zero: Na Extensão S Completa, a divisão por zero é bem definida para todos os elementos não nulos. Especificamente, $x/0 = [x]$ (um número infinito), e $0/0$ permanece indeterminado, consistente com a intuição algébrica padrão.
• Números Infinitos e Infinitesimais: A Extensão S Completa dos reais ($[Z, \mathbb{R}]^*$) contém:
  • Números Reais Finitos: Elementos $[0, x]$ correspondentes aos reais padrão.
  • Números Reais Infinitos: Elementos $[n, x]$ onde $n > 0$. Eles são maiores (ou menores) que todo número real finito.
  • Números Reais Infinitesimais: Elementos $[n, x]$ onde $n < 0$. Eles são não nulos, mas menores em magnitude do que qualquer número real positivo finito.
  • Zero Absoluto ($0'$): Um elemento zero distinto que atua como o elemento neutro aditivo e absorve a multiplicação, substituindo o zero padrão no contexto destas extensões.
• Fatoriais de Inteiros Negativos: O framework permite a definição de fatoriais para inteiros negativos. O artigo deriva a fórmula $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$, gerando saídas infinitas únicas para fatoriais de inteiros negativos.
• Totalidade Aritmética: A Extensão S Completa mantém a totalidade das operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) para todos os elementos, com a única exceção da divisão por o Zero Absoluto ($0'$), que é indefinida.
• Ordenação: Uma ordenação natural é estabelecida para a Extensão S Completa dos reais, satisfazendo a tricotomia. A hierarquia coloca números infinitos acima de todos os números finitos e números infinitesimais entre o zero e qualquer número positivo finito.

Significância e Alegações
O artigo afirma ter construído uma "estrutura única chamada extensão s completa dos reais" que estende os números reais padrão enquanto preserva a totalidade das operações aritméticas. A principal significância reside em:

1. Resolver a Divisão por Zero: Fornecer um resultado único e não indeterminado para $x/0$ (onde $x \neq 0$) sem colapsar a estrutura de campo em trivialidade.
2. Unificar Infinito e Infinitesimais: Integrar números infinitos e infinitesimais em um único sistema algébrico onde eles são unicamente identificados por um valor real não nulo e um nível inteiro.
3. Consistência Algébrica: Demonstrar que, ao relaxar a propriedade distributiva para a "Distributividade de Roda" e modificar o comportamento do zero, é possível criar um sistema algébrico consistente que inclua estes números estendidos.

O autor observa que a Extensão S Completa satisfaz todos os requisitos de campo, exceto pela associatividade aditiva (uma alegação que o autor afirma que será provada em um manuscrito suplementar). O artigo conclui propondo potenciais aplicações para medir distância via uma função métrica e interpretar segmentos de reta geométricos como "pixels" de comprimento infinitesimal, embora estas sejam apresentadas como trabalho futuro e não como resultados estabelecidos.