Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

기술 요약: 무한 및 무한소 실수를 생성하기 위한 체(Field) 공리 수정

문제 정의
본 논문은 표준 체 이론 내에서 0에 의한 나눗셈이 대수적으로 불가능함을 다룬다. 표준 체에서는 $1/0 = x$로 정의하는 것이 $0 \cdot x = 1$이라는 모순을 초래하며, 이는 모든 $x$에 대해 $0 \cdot x = 0$이라는 공리를 위반한다. 저자는 0에 의한 나눗셈의 장애물이 나눗셈 그 자체가 아니라, 0에 의한 곱셈의 거동이라고 상정한다. 목표는 0에 의한 곱셈이 비제로(non-zero) 결과를 낼 수 있는 대수적 구조를 구축함으로써, 0에 의한 나눗셈에 대해 정의된 고유한 결과를 허용하는 동시에, 무한 및 무한소 숫자를 포함하는 체계를 생성하는 것이다.

방법론
본 논문은 수정된 공리로부터 복잡한 몫 공간(quotient spaces)으로 진행되는 계층적 대수 구조를 개발한다:

1. 상승 구조(Ascended Structures) 및 체: 저자는 "상승 구조"($S$)를 정의하기 위해 표준 체 공리를 수정한다. 주요 수정 사항은 다음과 같다:

   • 덧셈에 대한 가환 군(commutative group) 구조를 유지한다.
   • 곱셈에 대한 폐쇄성을 요구한다.
   • 어떤 $s \in S$에 대해 $0 \cdot s \neq 0$인 것을 허용한다.
   • 표준 분배 법칙을 "휠 분배 법칙(Wheel Distributivity)"인 $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$로 대체한다.
   • 비제로 제로-곱(non-zero zero-products)이 존재하는 상황에서의 결합 법칙을 처리하기 위해 "S-결합 법칙(S-Associativity)"을 정의한다.
   • "상승 체(Ascended Field)"는 $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ 부분집합 내의 비제로 원소들에 대한 스칼라 역원의 존재를 추가로 요구한다.

2. 단순 S-확장(Simple S-Extensions): 0에 의한 나눗셈의 부정정성(indeterminacy)을 해결하기 위해, 저자는 $s \equiv t$를 $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$인 경우(또는 $s, t$가 스칼라이고 $s=t$인 경우)로 정의하는 상승 체 위의 동치 관계를 정의한다. 이 관계의 몫 공간인 $S_0 \cup [S_0]$는 "단순 S-확장"을 형성한다.

   • 이 구조에서 0에 의한 나눗셈은 다음과 같이 정의된다: 비제로 $x$에 대해, $x/0 = [x]$이며, 여기서 $[x]$는 $x$와 구별되는 고유한 동치류이다.
   • 그러나 단순 S-확장의 산술 연산은 전역적(total)이지 않다. 구체적으로, $[x] - [x]$와 같은 뺄셈은 부정정하다.

3. 튜플(Tuples) 및 쌍대(Duals): 연산의 전역성을 달성하기 위해, 본 논문은 상승 체의 "쌍대"( $S^* = S \cup S^{-1}$)를 도입한다 (여기서 $S^{-1}$은 원소에 레벨 $-1$(역수) 또는$1$(원래)을 할당한$S$의 동형 복사본이다).

   • 튜플: $S^*$의 원소들로 이루어진 유한 및 가산 무한 튜플이 정의된다. 각 튜플은 레벨(구성 요소 레벨의 합)과 값(구성 요소 값의 곱)을 갖는다.
   • 무한 튜플: 레벨이 $+\infty$ 또는 $-\infty$로 발산하는 튜플이 도입된다. $(-\infty)$-튜플의 집합은 $0'$ (절대 영도, Absolute Zero)로 지정된다.

4. 전체 및 완전 S-확장(Full and Complete S-Extensions):

   • 전체 S-확장: 튜플 $[n, x]$ (여기서 $n$은 레벨, $x$는 값)의 동치류 집합은 전체 S-확장을 형성한다. 연산은 피연산자의 상대적 레벨에 따라 결정되며(높은 레벨이 지배함), 곱셈은 레벨을 더하고 값을 곱한다.
   • 완전 S-확장: $0'$ (절대 영도, $[-\infty, 0]$로 정의됨)을 도입하고 이를 덧셈 항등원으로 정의함으로써, 저자는 "완전 S-확장"을 구축한다. 이 구조는 결과가 $0'$가 되도록 정의함으로써 $[n, x] - [n, x]$의 부정정성을 해결한다.

주요 기여 및 결과

• 고유한 확장: 본 논문은 임의의 체 $F$에 대하여, $F$를 스칼라 체로 포함하는 상승 체로부터 유도되는 고유한 단순 S-확장과 고유한 완전 S-확장이 존재함을 증명한다.
• 0에 의한 나눗셈: 완전 S-확장에서 0에 의한 나눗셈은 모든 비제로 원소에 대해 잘 정의된다. 구체적으로, $x/0 = [x]$ (무한수)이며, $0/0$은 표준적인 대수적 직관과 일치하게 여전히 부정정하다.
• 무한 및 무한소 숫자: 실수에 대한 완전 S-확장($[Z, \mathbb{R}]^*$)은 다음을 포함한다:
  • 유한 실수: 표준 실수에 대응하는 $[0, x]$ 원소들.
  • 무한 실수: $[n, x]$ (여기서 $n > 0$)인 원소들. 이들은 모든 유한 실수보다 크거나 작다.
  • 무한소 실수: $[n, x]$ (여기 where $n < 0$)인 원소들. 이들은 0이 아니지만 양의 유한한 실수보다 크기가 작다.
  • 절대 영도 ($0'$): 덧셈 항등식 역할을 하며 곱셈을 흡수하는 별개의 영(zero) 원소.
• 음의 정수의 계승(Factorials): 이 프레임워크는 음의 정수에 대한 계승 정의를 허용한다. 본 논문은 $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ 공식을 유도하여, 음의 정수 계승에 대해 고유한 무한 출력을 산출한다.
• 산술의 전역성: 완전 S-확장은 절대 영도($0'$)에 의한 나눗셈을 제외한 모든 원소에 대해 기본 산술 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)의 전역성을 유지한다.
• 순서: 완전 S-확장의 실수에 대해 삼분법(trichotomy)을 만족하는 자연스러운 순서가 확립된다. 이 계층 구조는 무한수를 모든 유한수 위에, 무한소를 0과 임의의 양의 유한수 사이에 배치한다.

의의 및 주장
본 논문은 표준 실수를 확장하면서 산술 연산의 전역성을 보존하는 "완전한 실수의 S-확장이라 불리는 고유한 구조"를 구축했다고 주장한다. 주요 의의는 다음과 같다:

1. 0에 의한 나눗셈 해결: 체 구조를 사소하게 붕괴시키지 않으면서, $x/0$ (여기서 $x \neq 0$)에 대해 고유하고 부정정하지 않은 결과를 제공한다.
2. 무한과 무한소의 통합: 무한과 무한소를 하나의 대수 체계 내에 통합하여, 이들이 비제로 실수 값과 정수 레벨에 의해 고유하게 식별되도록 한다.
3. 대수적 일관성: "휠 분배 법칙"으로 분배 법칙을 완화하고 0의 거동을 수정함으로써, 이러한 확장된 숫자들을 포함하는 일관된 대수 체계를 만들 수 있음을 입증한다.

저자는 완전 S-확장이 덧셈 결합 법칙을 제외한 모든 체의 요구 사항을 충족한다고 언급한다 (저자는 이 부분이 보충 원고에서 증명될 것이라고 명시함). 논문은 마지막으로 거리 측정을 위한 메트릭 함수와 무한한 길이의 "픽셀"로서의 기하학적 선분을 해석하는 방안을 제시하며 마무리하지만, 이는 확립된 결과라기보다 향로 과제로 제시되었다.