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Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

Ce document introduit une nouvelle structure algébrique appelée « corps ascendant » en modifiant les axiomes des corps standards pour permettre la division par zéro, construisant ainsi une « extension-s complète » unique des nombres réels qui préserve la totalité des opérations arithmétiques tout en incorporant des nombres infinis et infinitésimaux.

Auteurs originaux : Brendan Santangelo

Publié 2026-07-15

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Brendan Santangelo

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous jouez avec un ensemble de blocs numériques magiques. Dans le monde normal des mathématiques, il existe une règle que l'on ne peut jamais transgresser : on ne peut pas diviser par zéro. Si vous essayez de diviser une pizza en zéro part, la machine mathématique plante simplement. Pourquoi ? Parce que dans les mathématiques standards, si vous multipliez zéro par n'importe quoi, vous obtenez toujours zéro. Ainsi, si quelqu'un affirmait que $1 \div 0 = x$ , cela signifierait que $0 \times x = 1$ . Or, $0 \times x$ est toujours 0, jamais 1. La machine affiche « Erreur ! » et s'en va.

Mais et si nous pouvions ajuster les règles juste un tout petit peu ? Et si multiplier par zéro ne résultait pas toujours en zéro ? Et si cela pouvait donner 1, ou 2, ou même $\pi$ ?

C'est l'idée folle derrière ce document. L'auteur, Brendan Santangelo, propose un nouveau type de terrain de jeu mathématique appelé Champ Ascendant (Ascended Field). Dans ce terrain de jeu, la règle « zéro fois n'importe quoi égale zéro » est brisée. Au lieu de cela, le zéro peut « toucher » d'autres nombres et les transformer. Cela nous permet enfin de réaliser l'acte interdit : la division par zéro.

L'échelle magique : Les niveaux de nombres

Pour faire fonctionner cela sans que tout ne s'effondre, l'auteur construit une nouvelle structure en utilisant des « tuples » (qui sont simplement des listes de nombres). Mais ce ne sont pas des listes ordinaires ; elles possèdent une propriété spéciale appelée Niveau.

Considérez la Valeur d'un nombre comme son visage (comme le nombre 5) et son Niveau comme son altitude ou son « niveau de zoom ».

Niveau 0 : C'est votre nombre quotidien habituel. Un 5 au Niveau 0 est un 5 régulier.
Niveaux Positifs (1, 2, 3...) : Ce sont des Nombres Infinis. Un 5 au Niveau 1 est un « 5 infini ». Il est si grand qu'il est plus grand que n'importe quel nombre normal auquel vous pourriez penser.
Niveaux Négatifs (-1, -2, -3...) : Ce sont des Nombres Infinitésimaux. Un 5 au Niveau -1 est un « petit 5 ». Il est si petit qu'il est plus petit que n'importe quel nombre positif normal, mais il n'est pas zéro.

Le document prouve que si vous prenez les nombres réels (ceux que nous utilisons pour l'argent, la distance et le temps) et que vous construisez cette nouvelle structure, vous obtenez une Extension-S Complète. C'est un système organisé et unique où :

La division par zéro est possible. Si vous divisez un nombre normal (comme 5) par zéro, vous n'obtenez pas une erreur. Vous obtenez un Nombre Infini unique (spécifiquement, un 5 infini). Chaque nombre différent divisé par zéro vous donne un nombre infini différent.
Le zéro est remplacé par un « Zéro Absolu ». Dans ce nouveau monde, l'ancien zéro a disparu. Il est remplacé par un élément spécial appelé Zéro Absolu (noté $0'$ ). Ce nouveau zéro agit comme l'ancien zéro (lui ajouter quelque chose ne change rien, le multiplier par n'importe quoi efface tout), mais il permet à la mathématique de continuer à fonctionner même quand les choses deviennent étranges.
Tout s'additionne. Contrairement à d'autres systèmes mathématiques qui se brisent lorsqu'on tente d'additionner ou de soustraire, ce système est conçu pour que vous puissiez additionner, soustraire, multiplier et diviser n'importe quels deux nombres (tant que vous ne divisez pas par le Zéro Absolu).

Le « Pixel » et la « Taille du Pixel »

L'auteur suggère une façon amusante de visualiser cela. Imaginez que la droite numérique ne soit pas une ligne lisse et continue, mais un écran numérique composé de pixels.

Un nombre normal est un pixel entier.
Un Nombre Infini est comme si vous dézoomiez tellement loin qu'une ville entière tient dans un seul pixel.
Un Nombre Infinitésimal est comme si vous zoomiez tellement près qu'un seul atome a la taille de tout l'écran.

Le document montre que si vous multipliez un Nombre Infini (une vue dézoomée) par un Nombre Infinitésimal (une vue zoomée) du même « niveau », ils s'annulent et vous redonnent un nombre normal et fini. C'est comme dézoomer et ensuite immédiatement zoomer exactement au même endroit.

Qu'en est-il des factorielles négatives ?

Voici un tour de magie supplémentaire que le document découvre. En mathématiques normales, vous ne pouvez pas calculer la factorielle d'un nombre négatif (comme $(-5)!$ ). Elle est indéfinie. Mais dans ce nouveau système, l'auteur prouve qu'une formule existe :
$(-n)! = \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \right]$
Cela signifie que vous pouvez calculer des factorielles pour des entiers négatifs, et que le résultat est un Nombre Infini unique. Par exemple, $(-1)!$ s'avère être une version infinie de 1.

Ce que le document exclut (et ce qu'il ne fait pas)

Il est important de savoir ce que ce document ne prétend pas :

Il ne dit pas que les anciennes règles des mathématiques sont fausses. Il dit que les anciennes règles sont juste un cas spécifique (Niveau 0) d'un système plus vaste.
Il ne prétend pas avoir résolu le problème de la « Division par Zéro » pour tout le monde pour l'instant. Le document stipule explicitement que, bien que les mathématiques fonctionnent, l'auteur travaille encore à prouver que ce nouveau système satisfait chaque règle d'un corps standard (spécifiquement, la règle sur la façon dont l'addition groupe les éléments, appelée « associativité de l'addition »). L'auteur suggère que cela fonctionne mais admet que cette preuve spécifique viendra dans un futur manuscrit.
Il ne prétend pas que ces nombres existent dans le monde physique pour le moment. Le document suggère que ces nombres pourraient être utilisés pour mesurer des distances d'une nouvelle manière (comme un « pixel » sur un écran) ou pour comprendre comment les fonctions se comportent juste au bord d'une rupture, mais ce ne sont que des idées pour des travaux futurs. Le document ne dit pas que nous avons construit une machine utilisant ces nombres aujourd'hui.

L'essentiel

Le document introduit une nouvelle structure mathématique unique appelée Extension-S Complète. Il crée avec succès un monde où :

Vous pouvez diviser par zéro et obtenir un nombre infini spécifique et unique.
Vous pouvez définir des factorielles pour les nombres négatifs.
Vous avez une hiérarchie claire de nombres : Finis (normaux), Infinis (immenses) et Infinitésimaux (minuscules).

L'auteur a rigoureusement défini comment additionner, soustraire, multiplier et diviser ces nombres. Bien que le système soit mathématiquement cohérent de la plupart des manières, l'auteur note qu'une preuve finale pour une règle spécifique (l'associativité de l'addition) est encore en cours de finalisation. D'ici là, c'est un « et si » hautement structuré et fascinant qui étend la droite numérique en un paysage multi-niveaux d'infini et d'infiniment petit.

Résumé technique : Modification des axiomes de corps pour la création de nombres réels infinis et infinitésimaux

Énoncé du problème
Le document traite de l'impossibilité algébrique de la division par zéro au sein de la théorie des corps standard. Dans un corps standard, définir $1/0 = x$ conduit à la contradiction $0 \cdot x = 1$ , ce qui viole l'axiome stipulant que $0 \cdot x = 0$ pour tout $x$ . L'auteur postule que l'obstacle à la division par zéro n'est pas la division elle-même, mais le comportement de la multiplication par zéro. L'objectif est de construire une structure algébrique où la multiplication par zéro peut produire des résultats non nuls, permettant ainsi de définir un résultat unique pour la division par zéro, tout en générant simultanément un système contenant des nombres infinis et infinitésimaux.

Méthodologie
Le document développe un cadre hiérarchique de structures algébriques, progressant des axiomes modifiés vers des espaces quotients complexes :

Structures ascendantes et corps : L'auteur modifie les axiomes standards des corps pour définir une « Structure Ascendante » ( $S$ ). Les modifications clés incluent :
- Le maintien de la structure de groupe commutatif pour l'addition.
- L'exigence de la clôture sous la multiplication.
- La permission de $0 \cdot s \neq 0$ pour certains $s \in S$ .
- Le remplacement de la loi de distributivité standard par la « Distributivité de Roue » (Wheel Distributivity) : $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ .
- La définition de la « S-Associativité » pour gérer l'associativité en présence de produits par zéro non nuls.
- Un « Corps Ascendant » exige en outre l'existence d'inverses scalaires pour les éléments non nuls dans le sous-ensemble $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ .
Extensions S simples : Pour résoudre l'indétermination de la division par zéro, l'auteur définit une relation d'équivalence sur un corps ascendant où $s \equiv t$ si $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (ou si $s, t$ sont des scalaires et $s=t$ ). L'espace quotient de cette relation, noté $S_0 \cup [S_0]$ , forme l'« Extension S simple ».
- Dans cette structure, la division par zéro est définie : pour un $x$ non nul, $x/0 = [x]$ , où $[x]$ est une classe d'équivalence unique distincte de $x$ .
- Cependant, les opérations arithmétiques dans l'Extension S simple ne sont pas totales ; spécifiquement, la soustraction $[x] - [x]$ est indéterminée.
Tuples et Duaux : Pour parvenir à la totalité des opérations, le document introduit le « Dual » d'un corps ascendant ( $S^* = S \cup S^{-1}$ ) où $S^{-1}$ est une copie isomorphe de $S$ dont les éléments sont assignés un « niveau » de $-1$ (inverse) versus $1$ (original).
- Tuples : Des tuples finis et dénombrables de éléments de $S^*$ sont définis. Chaque tuple possède un Niveau (somme des niveaux des composantes) et une Valeur (produit des valeurs des composantes).
- Tuples infinis : Des tuples dont les niveaux divergent vers $+\infty$ ou $-\infty$ sont introduits. L'ensemble des tuples de niveau $(-\infty)$ est désigné comme $0'$ (Zéro Absolu).
Extensions S complètes et totales :
- Extension S Totale : L'ensemble des classes d'équivalence de tuples $[n, x]$ (où $n$ est le niveau et $x$ la valeur) forme l'Extension S Totale. Les opérations sont définies de sorte que l'addition dépend des niveaux relatifs des opérandes (le niveau supérieur domine) et que la multiplication additionne les niveaux et multiplie les valeurs.
- Extension S Complète : En introduisant l'élément $0'$ (Zéro Absolu, défini comme $[-\infty, 0]$ ) et en le définissant comme l'identité additive, l'auteur crée l'Extension S Complète. Cette structure résout l'indétermination de $[n, x] - [n, x]$ en définissant le résultat comme $0'$ .

Contributions clés et résultats

Extension Unique : Le document prouve que pour tout corps $F$ , il existe une Extension S simple unique et une Extension S complète unique (à un isomorphisme près) dérivées d'un corps ascendant contenant $F$ comme corps scalaire.
Division par Zéro : Dans l'Extension S Complète, la division par zéro est bien définie pour tous les éléments non nuls. Spécifiquement, $x/0 = [x]$ (un nombre infini), et $0/0$ reste indéterminé, conformément à l'intuition algébrique standard.
Nombres Infinis et Infinitésimaux : L'Extension S Complète des réels ( $[Z, \mathbb{R}]^*$ $[Z, R]^{*}$ ) contient :
- Nombres Réels Finis : Éléments $[0, x]$ correspondant aux réels standards.
- Nombres Réels Infinis : Éléments $[n, x]$ où $n > 0$ . Ils sont supérieurs (ou inférieurs) à tout nombre réel fini.
- Nombres Réels Infinitésimaux : Éléments $[n, x]$ où $n < 0$ . Ils sont non nuls mais plus petits en magnitude que tout nombre réel positif fini.
- Zéro Absolu ( $0'$ ) : Un élément zéro distinct qui agit comme identité additive et absorbe la multiplication, remplaçant le zéro standard dans le contexte de ces extensions.
Factorielles de Entiers Négatifs : Le cadre permet de définir les factorielles pour les entiers négatifs. Le document dérive la formule $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ , produisant des sorties infinies uniques pour les factorielles d'entiers négatifs.
Totalité Arithmétique : L'Extension S Complète maintient la totalité des opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication et division) pour tous les éléments, avec la seule exception de la division par le Zéro Absolu ( $0'$ ), qui est indéfinie.
Ordre : Un ordre naturel est établi pour l'Extension S Complète des réels, satisfaisant la trichotomie. La hiérarchie place les nombres infinis au-dessus de tous les nombres finis et les nombres infinitésimaux entre zéro et tout nombre positif fini.

Signification et Revendications
Le document affirme avoir construit « une structure unique appelée extension s complète des réels » qui étend les nombres réels standards tout en préservant la totalité des opérations arithmétiques. La principale signification réside dans :

Résolution de la Division par Zéro : Fournir un résultat unique et non indéterminé pour $x/0$ (où $x \neq 0$ ) sans faire s'effondrer la structure du corps dans la trivialité.
Unification de l'Infini et de l'Infinitésimal : Intégrer les nombres infinis et infinitésimaux dans un système algébrique unique où ils sont identifiés de manière unique par une valeur réelle non nulle et un niveau entier.
Cohérence Algébrique : Démontrer qu'en assouplissant la propriété de distributivité vers la « Distributivité de Roue » et en modifiant le comportement de zéro, on peut créer un système algébrique cohérent comprenant ces nombres étendus.

L'auteur note que l'Extension S Complète satisfait toutes les exigences de corps sauf l'associativité additive (une affirmation que l'auteur déclare être prouvée dans un manuscrit supplémentaire). Le document conclut en proposant des applications potentielles pour mesurer la distance via une fonction métrique et interpréter les segments de ligne géométriques comme des « pixels » de longueur infinitésimale, bien que ceux-ci soient présentés comme des travaux futurs plutôt que comme des résultats établis.

L'échelle magique : Les niveaux de nombres

Le « Pixel » et la « Taille du Pixel »

Qu'en est-il des factorielles négatives ?

Ce que le document exclut (et ce qu'il ne fait pas)

L'essentiel

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