🔢 mathematics

Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

Dit artikel introduceert een nieuwe algebraïsche structuur genaamd een "ascended field" door de standaard veldaxioma's te modificeren om deling door nul toe te staan, waarmee uiteindelijk een unieke "complete s-extensie" van de reële getallen wordt geconstrueerd die de totaliteit van rekenkundige operaties behoudt terwijl het oneindige en infinitesimale getallen incorporeert.

Oorspronkelijke auteurs: Brendan Santangelo

Gepubliceerd 2026-07-15

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Brendan Santangelo

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je speelt met een set magische getalblokken. In de normale wereld van de wiskunde is er één regel die je nooit mag breken: je kunt niet delen door nul. Als je probeert een pizza in nul stukken te verdelen, crasht de wiskundemachine. Waarom? Omdat in de standaardwiskunde als je nul met iets vermenigvuldigt, je altijd nul krijgt. Dus, als iemand zou beweren dat $1 \div 0 = x$ , zou dat betekenen dat $0 \times x = 1$ . Maar $0 \times x$ is altijd 0, nooit 1. De machine zegt "Error!" en loopt weg.

Maar wat als we de regels een klein beetje konden aanpassen? Wat als vermenigvuldigen met nul niet altijd tot nul leidde? Wat als het 1, 2, of zelfs $\pi$ kon opleveren?

Dat is het wilde idee achter dit artikel. De auteur, Brendan Santangelo, stelt een nieuw soort wiskundige speeltuin voor: een Ascended Field (een Geascendeerd Veld). In deze speeltuin is de regel "nul keer iets is nul" doorbroken. In plaats daarvan kan nul andere getallen "aanraken" en ze veranderen. Dit maakt het eindelijk mogelijk om de verboden daad uit te voeren: delen door nul.

De Magische Ladder: Niveaus van Getallen

Om dit werkbaar te maken zonder dat alles in elkaar stort, bouwt de auteur een nieuwe structuur op met behulp van "tuples" (wat simpelweg lijsten van getallen zijn). Maar dit zijn geen gewone lijsten; ze hebben een speciale eigenschap genaamd een Level (Niveau).

Beschouw de Value (Waarde) van een getal als zijn gezicht (zoals het getal 5) en zijn Level als zijn hoogte of "zoomniveau".

Level 0: Dit is je normale, alledaagse getal. Een 5 op Level 0 is gewoon een gewone 5.
Positieve Levels (1, 2, 3...): Dit zijn Oneindige Getallen. Een 5 op Level 1 is een "oneindige 5". Hij is zo groot dat hij groter is dan elk normaal getal dat je je kunt voorstellen.
Negatieve Levels (-1, -2, -3...): Dit zijn Infinitesimale Getallen. Een 5 op Level -1 is een "piekleine 5". Hij is zo klein dat hij kleiner is dan elk normaal positief getal, maar hij is niet nul.

Het artikel bewijst dat als je de reële getallen (de getallen die we gebruiken voor geld, afstand en tijd) neemt en deze nieuwe structuur bouクト, je een Complete S-Extension krijgt. Dit is een uniek, georganiseerd systeem waarin:

Delen door nul is mogelijk. Als je een normaal getal (zoals 5) door nul deelt, krijg je geen foutmelding. Je krijgt een uniek Oneindig Getal (specifiek, een oneindige 5). Elk verschillend getal gedeeld door nul geeft je een ander oneindig getal.
Nul wordt vervangen door "Absolute Nul". In deze nieuwe wereld is de oude nul verdwenen. Het is vervangen door een speciaal element genaamd Absolute Nul (aangeduid als $0'$ ). Deze nieuwe nul werkt als de oude nul (het toevoegen ervan verandert niets, vermenigvuldigen ermee wist alles uit), maar het stelt de wiskunde in staat om door te gaan, zelfs wanneer de zaken vreemd worden.
Alles komt samen. In tegenstelling tot sommige andere wiskundige systemen die kapot gaan als je probeert op te tellen of af te trekken, is dit systeem zo ontworpen dat je elk twee getallen kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (zolang je niet deelt door de Absolute Nul).

De "Pixel" en de "Pixel-grootte"

De auteur stelt een leuke manier voor om dit te visualiseren. Stel je voor dat de getallenlijn niet een gladde, continue lijn is, maar een digitaal scherm gemaakt van pixels.

Een normaal getal is een hele pixel.
Een Oneindig Getal is alsof je zo ver uitzoomt dat een hele stad binnen één pixel past.
Een Infinitesimaal Getal is alsof je zo ver inzoomt dat een enkele atoom de grootte van het hele scherm heeft.

Het artikel laat zien dat als je een Oneindig Getal (een uitgezomen beeld) vermenigvuldigt met een Infinitesimaal Getal (een ingezoomd beeld) van hetzelfde "niveau", ze elkaar opheffen en je weer een normaal, eindig getal terugkrijgt. Het is alsof je uitzoomt en dan direct weer inzoomt naar exact dezelfde plek.

Wat betreft Negatieve Faculteiten?

Hier is een bonus-truc die het artikel ontdekt. In de normale wiskunde kun je de faculteit van een negatief getal (zoals $(-5)!$ ) niet berekenen. Het is ongedefinieerd. Maar in dit nieuwe systeem bewijst de auteur dat er een formule bestaat:
$(-n)! = \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \right]$
Dit betekent dat je wel de faculteiten voor negatieve gehele getallen kunt berekenen, en het resultaat is een uniek Oneindig Getal. Bijvoorbeeld, $(-1)!$ blijkt een oneindige versie van 1 te zijn.

Wat het Artikel Uitsluit (en Wat Niet)

Het is belangrijk om te weten wat dit artikel niet beweert:

Het zegt niet dat de oude regels van de wiskunde fout zijn. Het zegt dat de oude regels slechts een specifiek geval (Level 0) zijn van een groter systeem.
Het beweert niet dat het de "Delen door Nul"-problematiek voor iedereen al heeft opgelost. Het artikel stelt expliciet dat hoewel de wiskunde werkt, de auteur nog steeds bezig is met het bewijzen dat dit nieuwe systeem elke regel van een standaard veld voldoet (specifiek de regel over hoe optellen dingen groepeert, de zogenaamde "additieve associativiteit"). De auteur suggereert dat het werkt, maar geeft toe dat dit specifieke bewijs in een toekomstig manuscript volgt.
Het beweert niet dat deze getallen al in de fysieke wereld bestaan. Het artikel suggereert dat deze getallen gebruikt kunnen worden om afstanden op een nieuwe manier te meten (zoals een "pixel" op een scherm) of om te begrijpen hoe functies zich gedragen precies op de rand van een breuk, maar dit zijn slechts ideeën voor toekomstig werk. Het artikel zegt niet dat we vandaag de dag een machine hebben gebouwd die deze getallen gebruikt.

De Kernboodschap

Het artikel introduceert een nieuwe, unieke wiskundige structuur genaamd de Complete S-Extension. Het slaagt erin een wereld te creëren waarin:

Je door nul kunt delen en een specifiek, uniek oneindig getal krijgt.
Je faculteiten voor negatieve getallen kunt definiëren.
Je een duidelijke hiërarchie van getallen hebt: Eindig (normaal), Oneindig (enorm) en Infinitesimaal (minuscuul).

De auteur heeft rigoureus gedefinieerd hoe je deze getallen optelt, aftrekt, vermenigvuldigt en deelt. Hoewel het systeem op de meeste manieren wiskundig consistent is, merkt de auteur op dat een definitief bewijs voor één specifieke regel (de associativiteit van de optelling) nog wordt afgerond. Tot die tijd is dit een fascinerende, hooggestructureerde "wat als"-wereld die de getallenlijn uitbreidt naar een meerlagig landschap van oneindigheid en het oneindig kleine.

Technische Samenvatting: Het modificeren van de veldaxioma's om oneindige en infinitesimale reële getallen te creëren

Probleemstelling
Het artikel behandelt de algebraïsche onmogelijkheid van deling door nul binnen de standaard veldentheorie. In een standaard veld leidt het definiëren van $1/0 = x$ tot de tegenstrijdigheid $0 \cdot x = 1$ , wat het axioma schendt dat $0 \cdot x = 0$ geldt voor alle $x$ . De auteur stelt dat de obstructie voor deling door nul niet de deling zelf is, maar het gedrag van vermenigvuldiging met nul. Het doel is om een algebraïsche structuur te construeren waarin vermenigvuldiging met nul niet-nul resultaten kan opleveren, waardoor een gedefinieerde, unieke uitkomst voor deling door nul mogelijk wordt, terwijl tegelijkertijd een systeem wordt gegenereerd dat oneindige en infinitesimale getallen bevat.

Methodologie
Het artikel ontwikkelt een hiërarchisch kader van algebraïsche structuren, voortbouwend van gemodificeerde axioma's naar complexe breukenruimtes:

Geascendeerde Structuren en Velden: De auteur modificeert de standaard veldaxioma's om een "Geascendeerde Structuur" ( $S$ ) te definiëren. Belangrijke modificaties zijn onder meer:
- Het behouden van de commutatieve groepstructuur voor optelling.
- Het vereisen van afsluiting onder vermenigvuldiging.
- Het toestaan dat $0 \cdot s \neq 0$ voor sommige $s \in S$ .
- Het vervangen van de standaard distributieve wet door "Wiel-distributiviteit": $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ .
- Het definiëren van "S-associativiteit" om associativiteit te behandelen in de aanwezigheid van niet-nul nulproducten.
- Een "Geascendeerd Veld" vereist verder de existentie van scalaire inversen voor niet-nul elementen in de deelverzameling $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ .
Eenvoudige S-Extensies: Om de onbepaaldheid van deling door nul op te lossen, definieert de auteur een equivalentierelatie op een geascendeerd veld waarbij $s \equiv t$ als $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (of als $s, t$ scalairen zijn en $s=t$ ). De breukenruimte van deze relatie, aangeduid als $S_0 \cup [S_0]$ , vormt de "Eenvoudige S-Extensie".
- In deze structuur is deling door nul gedefinieerd: voor niet-nul $x$ is $x/0 = [x]$ , waarbij $[x]$ een unieke equivalentieklasse is die verschillend is van $x$ .
- Echter, de rekenkundige operaties in de Eenvoudige S-Extensie zijn niet totaal; specifiek is aftrekken $[x] - [x]$ onbepaald.
Tuples en Dualen: Om de totaliteit van operaties te bereiken, introduceert het artikel de "Duaal" van een geascendeerd veld ( $S^* = S \cup S^{-1}$ ), waarbij $S^{-1}$ een isomorfe kopie van $S$ is met elementen die een "niveau" van $-1$ (inverse) versus $1$ (origineel) toegewezen krijgen.
- Tuples: Eindige en telbaar oneindige tuples van elementen uit $S^*$ zijn gedefinieerd. Elke tuple heeft een Niveau (som van componentniveaus) en een Waarde (product van componentwaarden).
- Oneindige Tuples: Tuples met niveaus die divergeren naar $+\infty$ of $-\infty$ worden geïntroduceerd. De verzameling $(-\infty)$ -tuples wordt aangeduid als $0'$ (Absolute Nul).
Volledige en Compleet S-Extensies:
- Volledige S-Extensie: De verzameling equivalentieklassen van tuples $[n, x]$ (waarbij $n$ het niveau is en $x$ de waarde) vormt de Volledige S-Extensie. Operaties zijn gedefinieerd zodanig dat optelling afhangt van de relatieve niveaus van operanden (hoger niveau domineert) en vermenigvuldiging niveaus optelt en waarden vermenigvuldigt.
- Compleet S-Extensie: Door het element $0'$ (Absolute Nul, gedefinieerd als $[-\infty, 0]$ ) te introduceren en dit te definiëren als het additieve identiteitselement, creëert de auteur de Compleet S-Extensie. Deze structuur lost de onbepaaldheid van $[n, x] - [n, x]$ op door het resultaat als $0'$ te definiëren.

Kernbijdragen en Resultaten

Unieke Extensie: Het artikel bewijst dat er voor elk veld $F$ een unieke Eenvoudige S-Extensie en een unieke Compleet S-Extensie (op isomorfisme na) bestaat, afgeleid van een geascendeerd veld dat $F$ als zijn scalaire veld bevat.
Deling door Nul: In de Compleet S-Extensie is deling door nul goed gedefinieerd voor alle niet-nul elementen. Specifiek is $x/0 = [x]$ (een oneindig getal), en $0/0$ blijft onbepaald, consistent met de standaard algebraïsche intuïtie.
Oneindige en Infinitesimale Getallen: De Compleet S-Extensie van de reële getallen ( $[Z, \mathbb{R}]^*$ $[Z, R]^{*}$ ) bevat:
- Eindige Reële Getallen: Elementen $[0, x]$ die overeenkomen met standaard reële getallen.
- Oneindige Reële Getallen: Elementen $[n, x]$ waar $n > 0$ . Deze zijn groter dan (of kleiner dan) elk eindig reëel getal.
- Infinitesimale Reële Getallen: Elementen $[n, x]$ waar $n < 0$ . Deze zijn niet-nul maar kleiner in grootte dan elk positief eindig reëel getal.
- Absolute Nul ( $0'$ ): Een verschillend nul-element dat fungeert als het additieve identiteitselement en vermenigvuldiging absorbeert, de standaard nul vervangend in de context van deze extensies.
Factorialen van Negatieve Integers: Het kader staat de definitie van factorialen voor negatieve gehele getallen toe. Het artikel leidt de formule $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ af, wat unieke oneindige outputs oplevert voor negatieve gehele factorialen.
Rekenkundige Totaliteit: De Compleet S-Extensie handhaaft de totaliteit van de basisrekenkundige operaties (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) voor alle elementen, met de enige uitzondering van deling door Absolute Nul ( $0'$ ), die ongedefinieerd is.
Ordening: Een natuurlijke ordening is vastgesteld voor de Compleet S-Extensie van de reële getallen, die de trichotomie bevredigt. De hiërarchie plaatst oneindige getallen boven alle eindige getallen en infinitesimale getallen tussen nul en elk positief eindig getal.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert dat het een "unieke structuur genaamd een complete s-extensie van de reële getallen" heeft geconstrueerd die de standaard reële getallen uitbreidt terwijl de totaliteit van de rekenkundige operaties behouden blijft. De primaire betekenis ligt in:

Het Oplossen van Deling door Nul: Het bieden van een uniek, niet-onbepaard resultaat voor $x/0$ (waar $x \neq 0$ ) zonder de veldstructuur tot trivialiteit te laten instorten.
Het Verenigen van Oneindigheid en Infinitesimalen: Het integreren van oneindige en infinitesimale getallen in één enkel algebraïsch systeem waar zij uniek worden geïdentificeerd door een niet-nul reële waarde en een integer niveau.
Algebraïsche Consistentie: Aantonen dat het versoepelen van de distributieve eigenschap naar "Wiel-distributiviteit" en het wijzigen van het gedrag van nul, een consistente algebraïsche structuur kan creëren die ook deze uitgebreide getallen bevat.

De auteur merkt op dat de Compleet S-Extensie aan alle veldeisen voldoet, met uitzondering van de additieve associativiteit (een claim die de auteur stelt dat bewezen zal worden in een aanvullend manuscript). Het artikel concludeert door een mogelijke toepassing voor te stellen bij het meten van afstand via een metriek functie en het interpreteren van geometrische lijnsegmenten als "pixels" van infinitesimale lengte, hoewel deze eerder als toekomstig werk worden gepresenteerd dan als gevestigde resultaten.

De Magische Ladder: Niveaus van Getallen

De "Pixel" en de "Pixel-grootte"

Wat betreft Negatieve Faculteiten?

Wat het Artikel Uitsluit (en Wat Niet)

De Kernboodschap

Meer zoals dit