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Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

本文通过修改标准域公理以允许除以零，引入了一种被称为“上升域”的新代数结构，并最终构建了一个实数的唯一的“完全 s-扩张”，该扩张在包含无穷大与无穷小数的同时，保持了算术运算的完备性。

原作者： Brendan Santangelo

发布于 2026-07-15

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原作者： Brendan Santangelo

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下你正在玩一套神奇的数字积木。在普通的数学世界里，有一个你永远不能打破的规则：你不能除以零。如果你试图把一个披萨分成零份，数学机器就会崩溃。为什么呢？因为在标准数学中，如果你用零乘以任何数，结果总是零。所以，如果有人声称 $1 \div 0 = x$ ，那就意味着 $0 \times x = 1$ 。但 $0 \times x$ 永远是 0，绝不可能是 1。于是机器报错：“错误！”然后走开了。

但如果我们能稍微调整一下规则呢？如果乘以零并不总是导致零呢？如果它能导致 1、2，甚至 $\pi$ 呢？

这就是这个想法背后的疯狂之处。作者布伦丹·桑塔内洛（Brendmere Santangelo）提出了一个全新的数学游乐场，叫做上升域（Ascended Field）。在这个游乐场里，“零乘以任何数等于零”的规则被打破了。相反，零可以“接触”其他数字并改变它们。这让我们终于能够执行这项被禁止的行为：除以零。

魔力阶梯：数字的层级

为了让这一切在不崩塌的情况下运作，作者使用“元组”（其实就是数字列表）构建了一个新的结构。但这些不是普通的列表；它们有一个特殊的属性，叫做层级（Level）。

把一个数字的**数值（Value）看作它的“面孔”（比如数字 5），而把它的层级（Level）**看作它的“高度”或“缩放层级”。

第 0 层： 这是你日常遇到的普通数字。一个处于第 0 层的 5 就是一个普通的 5。
正层级（1, 2, 3...）： 这些是无穷数字。一个处于第 1 层的 5 是一个“无穷大的 5”。它如此巨大，以至于比你能想到的任何普通数字都要大。
负层级（-1, -2, -3...）： 这些是无穷小数字。一个处于第 -1 层的 5 是一个“微小的 5”。它如此之小，以至于比任何正的普通数字都要小，但它并不是零。

论文证明，如果你取实数（我们用于金钱、距离和时间的数字）并构建这个新结构，你会得到一个完全 S-扩张（Complete S-Extension）。这是一个独特的、有组织的系统，其中：

除以零是可能的。 如果你除以零得到一个普通数字（比如 5），你不会得到一个错误。你会得到一个唯一的无穷数字（具体来说是一个无穷大的 5）。每一个不同的数字除以零都会给你一个不同的无穷数字。
零被“绝对零”取代。 在这个新世界里，旧的零消失了。它被一个被称为绝对零（Absolute Zero）（记作 $0'$ ）的特殊元素所取代。这个新零表现得像旧的零（加上它不会改变任何东西，乘以它会抹去一切），但它允许数学在变得诡异时仍能继续运行。
一切都能相加。 与某些在尝试加减法时会崩溃的数学系统不同，这个系统旨在确保你可以对任意两个数字进行加、减、乘、除运算（只要你不是除以绝对零）。

“像素”与“像素大小”

作者建议了一种有趣的视觉化方式。想象一下数字轴不是一条平滑连续的线，而是由像素组成的数字屏幕。

一个普通数字是一个完整的像素。
一个无穷数字就像是缩放得如此之远，以至于一整座城市都挤在一个像素里。
一个无穷小数字就像是放大得如此之近，以至于单个原子的大小就占据了整个屏幕。

论文表明，如果你将一个无穷数字（向外缩放的视图）与一个同“层级”的无穷小数字（向内缩放的视图）相乘，它们会相互抵消，并变回一个普通的有限数字。这就像是向外缩放，然后立即缩回到完全相同的位置。

关于负阶乘

这是论文发现的一个额外技巧。在普通数学中，你无法计算负数的阶乘（比如 $(-5)!$ ）。它是未定义的。但在这个新系统中，作者证明了一个公式的存在：
$(-n)! = \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \right]$
这意味着你可以计算负整数的阶乘，而且其结果是一个唯一的无穷数字。例如， $(-1)!$ 实际上是 1 的一个无穷版本。

论文排除了什么（以及它没有排除什么）

重要的是要了解这篇论文并没有声称什么：

它并没有说旧的数学规则是错误的。 它说旧规则只是一个更大系统的特定情况（第 0 层）。
它并没有声称已经为所有人解决了“除以零”的问题。 论文明确指出，虽然数学逻辑是通顺的，但作者仍在努力证明这个新系统是否满足标准域的所有规则（特别是关于加法如何分组的规则，即“加法结合律”）。作者暗示它是成立的，但也承认这个具体的证明将在未来的手稿中给出。
它并没有声称这些数字存在于物理世界中。 论文建议，这些数字可以被用来以一种新的方式测量距离（比如屏幕上的“像素”），或者理解函数在断裂边缘的行为，但这些都只是对未来工作的构想。论文并未说我们今天已经制造出了使用这些数字的机器。

核心结论

该论文引入了一种新的、独特的数学结构，称为完全 S-扩张。它成功创造了一个这样的世界：

你可以除以零，并得到一个特定的、唯一的无穷数字。
你可以定义负数的阶乘。
你拥有一个清晰的数字等级制度：有限（普通）、无穷（巨大）和无穷小（微小）。

作者严谨地定义了如何对这些数字进行加、减、乘、除运算。虽然该系统在大多数方面在数学上是一致的，但作者指出，关于一个特定规则（加法结合律）的最终证明仍在完善中。即便如此，这仍然是一个引人入胜的、具有高度结构的“假设”宇宙，它将数字轴扩展到了一个包含无穷大与无穷小的多层景观之中。

技术摘要：通过修改域公理来构建无穷大与无穷小实数

问题陈述
本文探讨了标准域理论中除以零在代数上的不可能实现性。在标准域中，定义 $1/0 = x$ 会导致矛盾 $0 \cdot x = 1$ ，这违反了对于所有 $x$ 均有 $0 \cdot x = 0$ 的公理。作者指出，阻碍除以零的并非除法本身，而是乘零的行为。其目标是构建一种代数结构，使得乘零可以产生非零结果，从而允许为除以零定义唯一的、确定的结果，同时生成一个包含无穷大和无穷小数的系统。

方法论
本文开发了一个从修改公理到复杂商空间的层级化代数结构框架：

上升结构与域（Ascended Structures and Fields）： 作者修改了标准域公理以定义“上升结构”（ $S$ ）。关键修改包括：
- 保留加法的交换群结构。
- 要求在乘法下封闭。
- 允许对于某些 $s \in S$ ，存在 $0 \cdot s \neq 0$ 。
- 用“轮式分配律”（Wheel Distributivity）取代标准的分配律： $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ 。
- 定义“S-结合律”（S-Associativity） 以处理存在非零零乘积情况下的结合律问题。
- “上升域”（Ascended Field） 进一步要求对于子集 $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ 中的非零元素存在标量逆。
简单 S-扩张（Simple S-Extensions）： 为了解决除以零的不确定性，作者在上升域上定义了一个等价关系：若 $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ （或 $s, t$ 为标量且 $s=t$ ），则 $s \equiv t$ 。该关系的商空间记作 $S_0 \cup [S_0]$ ，构成“简单 S-扩张”。
- 在此结构中，除以零被定义为：对于非零 $x$ ， $x/0 = [x]$ ，其中 $[x]$ 是一个区别于 $x$ 的唯一等价类。
- 然而，简单 S-扩张中的算术运算并非全函数（total）；具体而言，减法 $[x] - [x]$ 是不确定的。
元组与对偶（Tuples and Duals）： 为了实现运算的全函数性，本文引入了上升域的“对偶”（ $S^* = S \cup S^{-1}$ ），其中 $S^{-1}$ 是 $S$ 的一个同构副本，其元素被分配了一个“层级”（level）为 $-1 $（逆）而非$ 1$（原值）的属性。
- 元组： 定义了来自 $S^*$ 的有限及可数无穷元组。每个元组具有一个层级（各分量层级的和）和一个值（各分量值的乘积）。
- 无穷元组： 引入了层级趋向于 $+\infty$ 或 $-\infty$ 的元组。将 $(-\infty)$ -元组集合指定为 $0'$ （绝对零）。
全 S-扩张与完全 S-扩张（Full and Complete S-Extensions）：
- 全 S-扩张： 元组 $[n, x]$ （其中 $n$ 为层级， $x$ 为值）的等价类集合构成了全 S-扩张。运算定义为：加法取决于操作数的相对层级（高层级占主导），而乘法则累加层级并相乘数值。
- 完全 S-Extension： 通过引入元素 $0'$ （绝对零，定义为 $[-\infty, 0]$ ）并将其定义为加法单位元，作者创建了完全 S-扩张。该结构解决了 $[n, x] - [n, x]$ 的不确定性，将其定义为 $0'$ 。

核心贡献与结果

唯一扩张： 本文证明了对于任何域 $F$ ，都存在唯一的简单 S-扩张和一个唯一的完全 S-扩张（在同构意义下），这些扩张是由包含 $F$ 作为其标量域的上升域导出的。
除以零： 在完全 S-扩张中，除以零对于所有非零元素都是良定义的。具体而言， $x/0 = [x]$ （一个无穷大数），而 $0/0$ 仍保持不确定，这与标准的代数直觉一致。
无穷大与无穷小数： 实数的完全 S-扩张（ $[Z, \mathbb{R}]^*$ $[Z, R]^{*}$ ）包含：
- 有限实数： 对应于标准实数的元素 $[0, x]$ 。
- 无穷大实数： 元素 $[n, x]$ ，其中 $n > 0$ 。它们大于（或小于）每一个有限实数。
- 无穷小实数： 元素 $[n, x]$ ，其中 $n < 0$ 。它们是非零的，但在量级上小于任何正有限实数。
- 绝对零 ( $0'$ )： 一个独特的零元素，作为加法单位元并吸收乘法，取代了在这些扩张语境下的标准零。
负整数阶乘： 该框架允许定义负整数的阶乘。本文推导出了公式 $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ ，从而为负整数阶乘产生了唯一的无穷大输出。
算术全函数性： 完全 S-扩张保持了基本算术运算（加、减、乘、除）的全函数性，唯一的例外是除以绝对零 ( $0'$ )，它是未定义的。
排序： 为实数的完全 S-扩张建立了一种自然的排序，满足三分律。该层级结构将无穷大数置于所有有限数之上，并将无穷小数置于零与任何正有限数之间。

意义与主张
本文声称构建了一个“被称为实数完全 S-扩张的唯一结构”，该结构在扩展标准实数的同时保持了算术运算的全函数性。其主要意义在于：

解决除以零问题： 为 $x/0$ （当 $x \neq 0$ 时）提供了一个唯一的、非不确定的结果，且不会使域结构坍缩为平凡结构。
统一无穷大与无穷小： 将无穷大和无穷小数整合进一个单一的代数系统，其中它们通过一个非零实值和一个整数层级被唯一识别。
代数一致性： 通过将分配律放宽为“轮式分配律”并修改零的行为，证明可以创建一个包含这些扩展数的连贯代数系统。

作者指出，完全 S-扩张满足所有域的要求，除了加法结合律（作者称将在补充手稿中证明这一点）。论文最后提出将该框架应用于通过度量函数测量距离，以及将几何线段解释为具有无穷小长度的“像素”，但这些仅作为未来工作的研究方向，而非已建立的结果。

魔力阶梯：数字的层级

“像素”与“像素大小”

关于负阶乘

论文排除了什么（以及它没有排除什么）

核心结论

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