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Modifying the Field Axioms to Create Infinite and Infinitesimal Real Numbers

Questo articolo introduce una nuova struttura algebrica chiamata "campo ascendente" modificando gli assiomi standard dei campi per consentire la divisione per zero, costruendo infine una "estensione s-completa" unica dei numeri reali che preserva la totalità delle operazioni aritmetiche incorporando al contempo numeri infiniti e infinitesimali.

Autori originali: Brendan Santangelo

Pubblicato 2026-07-15

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CC BY 4.0

Autori originali: Brendan Santangelo

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

Immagina di giocare con un set di blocchi numerici magici. Nel mondo normale della matematica, c'è una regola che non puoi mai infrangere: non puoi dividere per zero. Se provi a dividere una pizza in zero fette, la macchina matematica va in crash. Perché? Perché nella matematica standard, se moltiplichi lo zero per qualsiasi cosa, ottieni sempre zero. Quindi, se qualcuno affermasse che $1 \div 0 = x$ , significherebbe che $0 \times x = 1$ . Ma $0 \times x$ è sempre 0, mai 1. La macchina dice "Errore!" e se ne va.

Ma cosa succederebbe se potessimo modificare le regole solo un pochino? E se la moltiplicazione per zero non risultasse sempre zero? E se potesse dare come risultato 1, o 2, o anche $\pi$ ?

Questa è l'idea folle alla base di questo articolo. L'autore, Brendan Santangelo, propone un nuovo tipo di parco giochi matematico chiamato Campo Asceso (Ascended Field). In questo parco giochi, la regola "zero per qualsiasi cosa è zero" viene infranta. Inveve, lo zero può "toccare" altri numeri e cambiarli. Questo ci permette finalmente di compiere l'atto proibito: la divisione per zero.

La Scala Magica: Livelli di Numeri

Per far sì che ciò funzioni senza che tutto vada in pezzi, l'autore costruisce una nuova struttura usando le "tuple" (che sono solo elenchi di numeri). Ma questi non sono elenchi ordinari; hanno una proprietà speciale chiamata Livello.

Pensa al Valore di un numero come al suo volto (come il numero 5) e al suo Livello come alla sua altitudine o "livello di zoom".

Livello 0: Questo è il tuo numero quotidiano e normale. Un 5 al Livello 0 è un semplice 5 regolare.
Livelli Positivi (1, 2, 3...): Questi sono Numeri Infiniti. Un 5 al Livello 1 è un "5 infinito". È così grande che è più grande di qualsiasi numero normale tu possa pensare.
Livelli Negativi (-1, -2, -3...): Questi sono Numeri Infinitesimali. Un 5 al Livello -1 è un "5 minuscolo". È così piccolo che è più piccolo di qualsiasi numero positivo normale, ma non è zero.

L'articolo dimostra che se prendi i numeri reali (quelli che usiamo per soldi, distanza e tempo) e costruisci questa nuova struttura, ottieni una Estensione S-Completa. Questo è un sistema unico e organizzato dove:

La divisione per zero è possibile. Se dividi un numero normale (come 5) per zero, non ottieni un errore. Ottieni un Numero Infinito unico (specificamente, un 5 infinito). Ogni diverso numero diviso per zero ti dà un diverso numero infinito.
Lo zero è sostituito dallo "Zero Assoluto". In questo nuovo mondo, il vecchio zero è sparito. È sostituito da un elemento speciale chiamato Zero Assoluto (denotato come $0'$ ). Questo nuovo zero agisce come il vecchio zero (aggiungerlo non cambia nulla, moltiplicarlo cancella tutto), ma permette alla matematica di continuare a funzionare anche quando le cose si fanno strane.
Tutto si somma. A differenza di altri sistemi matematici che si rompono quando provi ad aggiungere o sottrarre, questo sistema è progettato in modo che tu possa aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere qualsiasi due numeri (purché tu non stia dividendo per lo Zero Assoluto).

Il "Pixel" e la "Dimensione del Pixel"

L'autore suggerisce un modo divertente per visualizzare questo concetto. Immagina che la linea dei numeri non sia una linea continua e liscia, ma uno schermo digitale fatto di pixel.

Un numero normale è un pixel intero.
Un Numero Infinito è come zoomare così tanto verso l'esterno che un'intera città entra in un singolo pixel.
Un Numero Infinitesimale è come zoomare così tanto verso l'interno che un singolo atomo ha la dimensione dell'intero schermo.

L'articolo mostra che se moltiplichi un Numero Infinito (una vista con lo zoom verso l'esterno) per un Numero Infinitesimale (una vista con lo zoom verso l'interno) dello stesso "livello", essi si annullano a vicenda e ti restituiscono un numero normale e finito. È come zoomare verso l'esterno e poi immediatamente zoomare verso l'interno per tornare esattamente nello stesso punto.

E i Fattoriali Negativi?

Ecco un trucco bonus che l'articolo scopre. Nella matematica normale, non puoi calcolare il fattoriale di un numero negativo (come $(-5)!$ ). È indefinito. Ma in questo nuovo sistema, l'autore dimostra che esiste una formula:
$(-n)! = \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \right]$
Questo significa che puoi calcolare i fattoriali per i numeri interi negativi, e il risultato è un Numero Infinito unico. Ad esempio, $(-1)!$ si rivela essere una versione infinita di 1.

Cosa l'Articolo Esclude (e Cosa Non Esclude)

È importante sapere cosa questo articolo non afferma:

Non dice che le vecchie regole della matematica siano sbagliate. Dice che le vecchie regole sono solo un caso specifico (Livello 0) di un sistema più grande.
Non afferma di aver risolto il problema della "Divisione per Zero" per tutti. L'articolo dichiara esplicitamente che, sebbene la matematica funzioni, l'autore sta ancora lavorando per dimostrare che questo nuovo sistema soddisfi ogni singola regola di un campo standard (specificamente, la regola su come l'addizione raggruppa le cose, chiamata "associatività dell'addizione"). L'autore suggerisce che funzioni, ma ammette che questa prova specifica arriverà in un futuro manoscritto.
Non afferma che questi numeri esistano nel mondo fisico. L'articolo suggerisce che questi numeri potrebbero essere usati per misurare le distanze in un nuovo modo (come un "pixel" su uno schermo) o per capire come si comportano le funzioni proprio al limite di una rottura, ma queste sono solo idee per lavori futuri. L'articolo non dice che abbiamo costruito una macchina che usa questi numeri oggi.

Il Punto Fondamentale

L'articolo introduce una nuova, unica struttura matematica chiamata Estensione S-Completa. Esso crea con successo un mondo in cui:

Puoi dividere per zero e ottenere un numero infinito specifico e unico.
Puoi definire i fattoriali per i numeri negativi.
Hai una chiara gerarchia di numeri: Finiti (normali), Infiniti (enormi) e Infinitesimali (minuscoli).

L'autore ha definito rigorosamente come sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere questi numeri. Sebbene il sistema sia matematicamente coerente in molti modi, l'autore nota che una prova finale per una regola specifica (l'associatività dell'addizione) è ancora in fase di finalizzazione. Fino ad allora, questo è un universo "e se" affascinante e altamente strutturato che espande la linea dei numeri in un paesaggio multi-livello di infinito e di infinitesimo.

Sintesi Tecnica: Modifica degli Assiomi di Campo per Creare Numeri Reali Infiniti e Infinitesimali

Problema
Il documento affronta l'impossibilità algebrica della divisione per zero all'interno della teoria dei campi standard. In un campo standard, definire $1/0 = x$ conduce alla contraddizione $0 \cdot x = 1$ , il che viola l'assioma secondo cui $0 \cdot x = 0$ per ogni $x$ . L'autore postula che l'ostacolo alla divisione per zero non sia la divisione stessa, ma il comportamento della moltiplicazione per zero. L'obiettivo è costruire una struttura algebrica in cui la moltiplicazione per zero possa produrre risultati non nulli, consentendo così una definizione di risultato unico per la divisione per zero, generando simultaneamente un sistema contenente numeri infiniti e infinitesimali.

Metodologia
Il documento sviluppa un quadro gerarchico di strutture algebriche, progredendo da assiomi modificati verso complessi spazi quoziente:

Strutture Ascese e Campi: L'autore modifica gli assiomi standard dei campi per definire una "Struttura Ascesa" ( $S$ ). Le principali modifiche includono:
- Mantenimento della struttura di gruppo commutativo per l'addizione.
- Richiesta di chiusura sotto la moltiplicazione.
- Permettere che $0 \cdot s \neq 0$ per alcuni $s \in S$ .
- Sostituzione della legge distributiva standard con la "Distributività di Ruota" (Wheel Distributivity): $s \cdot (t + r) + (s \cdot 0) = (s \cdot t) + (s \cdot r)$ .
- Definizione di " $S$ -Associatività" per gestire l'associatività in presenza di prodotti per zero non nulli.
- Un "Campo Asceso" richiede inoltre l'esistenza di inversi scalari per gli elementi non nulli nel sottoinsieme $S_0 = \{x \in S \mid 0 \cdot x = 0\}$ .
Estensioni S-Semplici: Per risolvere l'indeterminazione nella divisione per zero, l'autore definisce una relazione di equivalenza su un campo asceso dove $s \equiv t$ se $0 \cdot s = 0 \cdot t \neq 0$ (o se $s, t$ sono scalari e $s=t$ ). Lo spazio quoziente di questa relazione, denotato come $S_0 \cup [S_0]$ , forma l'"Estensione S-Semplice".
- In questa struttura, la divisione per zero è definita: per $x \neq 0$ , $x/0 = [x]$ , dove $[x]$ è una classe di equivalenza unica distinta da $x$ .
- Tuttavia, le operazioni aritmetiche nell'Estensione S-Semplice non sono totali; specificamente, la sottrazione $[x] - [x]$ è indeterminata.
Tuple e Duali: Per ottenere la totalità delle operazioni, il documento introduce il "Duale" di un campo asceso ( $S^* = S \cup S^{-1}$ ), dove $S^{-1}$ è una copia isomorfa di $S$ con elementi assegnati un "livello" di $-1$ (inverso) rispetto a $1$ (originale).
- Tuple: Sono definite tuple finite e numerabili di elementi di $S^*$ . Ogni tupla ha un Livello (somma dei livelli delle componenti) e un Valore (prodotto dei valori delle componenti).
- Tuple Infinite: Vengono introdotte tuple i cui livelli divergono a $+\infty$ o $-\infty$ . L'insieme delle tuple $(-\infty)$ è designato come $0'$ (Zero Assoluto).
Estensioni S-Complete e Piene:
- Estensione S-Piena: L'insieme delle classi di equivalenza delle tuple $[n, x]$ (dove $n$ è il livello e $x$ è il valore) forma l'Estensione S-Piena. Le operazioni sono definite in modo che l'addizione dipenda dai livelli relativi degli operandi (il livello superiore domina), e la moltiplicazione sommi i livelli e moltiplichi i valori.
- Estensione S-Completa: Introducendo l'elemento $0'$ (Zero Assoluto, definito come $[-\infty, 0]$ ) e definendolo come l'identità additiva, l'autore crea l'Estensione S-Completa. Questa struttura risolve l'indeterminazione di $[n, x] - [n, x]$ definendo il risultato come $0'$ .

Contributi Chiave e Risultati

Estensione Unica: Il documento dimostra che per ogni campo $F$ , esiste un'unica Estensione S-Semplice e un'unica Estensione S-Completa (a meno di isomorfismo) derivata da un campo asceso contenente $F$ come suo campo scalare.
Divisione per Zero: Nell'Estensione S-Completa, la divisione per zero è ben definita per tutti gli elementi non nulli. Nello specifico, $x/0 = [x]$ (un numero infinito), e $0/0$ rimane indeterminata, in linea con l'intuizione algebrica standard.
Numeri Infiniti e Infinitesimali: L'Estensione S-Completa dei reali ( $[Z, \mathbb{R}]^*$ $[Z, R]^{*}$ ) contiene:
- Numeri Reali Finiti: Elementi $[0, x]$ corrispondenti ai reali standard.
- Numeri Reali Infiniti: Elementi $[n, x]$ dove $n > 0$ . Questi sono maggiori (o minori) di ogni numero reale finito.
- Numeri Reali Infinitesimali: Elementi $[n, x]$ dove $n < 0$ . Questi sono non nulli ma di magnitudo inferiore a qualsiasi numero reale positivo finito.
- Zero Assoluto ( $0'$ ): Un elemento zero distinto che funge da identità additiva e assorbe la moltiplicazione, sostituendo lo zero standard nel contesto di queste estensioni.
Fatoriali di Interi Negativi: Il quadro permette la definizione dei fattoriali per gli interi negativi. Il documento deriva la formula $(-n)! = [(-1)^{n-1} / (n-1)!]$ , producendo output infiniti unici per i fattoriali degli interi negativi.
Totalità Aritmetica: L'Estensione S-Completa mantiene la totalità delle operazioni aritmetiche di base (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) per tutti gli elementi, con l'unica eccezione della divisione per lo Zero Assoluto ( $0'$ ), che è indefinita.
Ordinamento: È stabilito un ordinamento naturale per l'Estensione S-Completa dei reali, che soddisfa la terzietà. La gerarchia pone i numeri infiniti sopra tutti i numeri reali finiti e i numeri infinitesimali tra lo zero e qualsiasi numero positivo finito.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene di aver costruito "una struttura unica chiamata estensione s-completa dei reali" che estende i numeri reali standard preservando la totalità delle operazioni aritmetiche. La portata primaria risiede nel:

Risolvere la Divisione per Zero: Fornire un risultato unico e non indeterminato per $x/0$ (dove $x \neq 0$ ) senza far collassare la struttura del campo nella trivialità.
Unificare Infiniti e Infinitesimali: Integrare numeri infiniti e infinitesimali in un unico sistema algebrico dove sono unicamente identificati da un valore reale non nullo e un livello intero.
Consistenza Algebrica: Dimostrare che, rilassando la proprietà distributiva verso la "Distributività di Ruota" e modificando il comportamento dello zero, è possibile creare un sistema algebrico coerente che includa questi numeri estesi.

L'autore osserva che l'Estensione S-Completa soddisfa tutti i requisiti di campo tranne l'associatività additiva (una rivendicazione che l'autore afferma sarà provata in un manoscritto supplementare). Il documento si conclude proponendo potenziali applicazioni nella misurazione della distanza tramite una funzione metrica e nell'interpretare i segmenti di linea geometrici come "pixel" di lunghezza infinitesimale, sebbene queste siano presentate come lavori futuri piuttosto che risultati stabiliti.

La Scala Magica: Livelli di Numeri

Il "Pixel" e la "Dimensione del Pixel"

E i Fattoriali Negativi?

Cosa l'Articolo Esclude (e Cosa Non Esclude)

Il Punto Fondamentale

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