🔢 mathematics

On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

Dieser Artikel liefert einen affirmativen Beweis dafür, dass die Binärkette „11" in der Basis-2-Entwicklung der Erdős-Borwein-Konstante unendlich oft vorkommt, und löst damit ein 2012 von Crandall gestelltes offenes Problem durch eine neuartige Kombination von Erdős-artigen Kongruenzkonstruktionen und Primzahlzählabschätzungen, wobei die wesentliche Weiterentwicklung durch KI unterstützt wurde.

Ursprüngliche Autoren: John M. Campbell

Veröffentlicht 2026-05-26

📖 4 Min. Lesezeit🧠 Tiefgang

CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: John M. Campbell

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich eine magische Zahl vor, nennen wir sie E. Diese Zahl ist besonders, weil Mathematiker seit langem wissen, dass sie „irrational" ist, was bedeutet, dass ihre Dezimaldarstellung (oder in diesem Fall ihre Binärdarstellung) unendlich weitergeht, ohne jemals ein Muster zu wiederholen.

Die Zahl E wird durch die Addition einer spezifischen Liste von Brüchen aufgebaut:
$E = \frac{1}{2^1-1} + \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \dots$

Wenn Sie E in Binärschreibweise (unter Verwendung nur von 0en und 1en) ausschreiben, sieht sie so aus:
1.1001101101010000010111111...

Die große Frage

Im Jahr 2012 stellte ein Mathematiker namens Richard Crandall eine einfache, aber knifflige Frage: Taucht das Muster „11" (zwei Einsen hintereinander) unendlich oft in dieser endlosen Kette von Binärziffern auf?

Es ist, als würde man fragen: Wenn Sie eine Münze unendlich oft werfen, werden Sie dann schließlich „Kopf-Kopf" unendlich oft sehen? Für diese spezifische Zahl E wusste niemand über ein Jahrzehnt hinweg die Antwort.

Die Lösung

Der Autor dieses Papiers, John Campbell, sagt: „Ja, tut es."

Er hat nicht nur geraten; er hat einen mathematischen Beweis konstruiert, um zu zeigen, dass Sie, egal wie weit Sie in die Zahl E vordringen, immer weitere „11"-Muster vor sich finden werden.

Wie hat er das geschafft? (Die Analogie)

Um dies zu beweisen, verwendete der Autor eine clevere Konstruktion, ähnlich dem Bau eines maßgeschneiderten Schloss-und-Schlüssel-Systems.

Das „Teiler"-Zählspiel:
Die Zahl E ist geheimnisvoll mit der Anzahl der „Teiler" (Faktoren) von Zahlen verbunden. Zum Beispiel hat die Zahl 6 vier Teiler (1, 2, 3, 6). Der Autor musste spezifische Zahlen finden, bei denen die Anzahl der Teiler sich auf eine sehr bestimmte Weise verhält.
Das „Chinesische Restsatz"-Schloss:
Stellen Sie sich einen riesigen Safe mit vielen verschiedenen Schlössern vor. Jedes Schloss öffnet sich nur, wenn Sie das Zifferblatt auf eine bestimmte Zahl drehen. Der Autor verwendete ein berühmtes mathematisches Werkzeug namens Chinesischer Restsatz. Denken Sie daran wie an einen Hauptschlüssel, der eine einzelne Zahl finden kann, die alle diese verschiedenen Schlösser gleichzeitig erfüllt.

Er entwarf ein System von Schlössern so, dass, wenn er die „Schlüssel"-Zahl fand (nennen wir sie $n$ ), die Zahl $n+2$ genau 6 Teiler hätte, und andere nahegelegene Zahlen eine riesige Anzahl von Teilern hätten.
Die „Primzahl"-Jagd:
Um sicherzustellen, dass diese „Schlüssel"-Zahl tatsächlich existiert und groß genug ist, musste er viele spezielle Primzahlen finden (Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind). Er benutzte eine Karte der Primzahlen (basierend auf Arbeiten von Alford, Granville und Pomerance), um zu garantieren, dass genügend „Primzahl-Zutaten" vorhanden waren, um sein Schlosssystem zu bauen.
Das „Schweif"-Problem:
Bei der Berechnung des Wertes von E musste sich der Autor um den „Schweif" kümmern – die unendliche Summe winziger Brüche am ganz Ende. Er musste beweisen, dass dieser Schweif so klein war, dass er das Muster, nach dem er suchte, nicht verfälschen würde. Er zeigte, dass das „Rauschen" am Ende der Berechnung zu leise war, um das „11"-Muster zu verbergen.

Das Ergebnis

Durch die Kombination dieser Werkzeuge bewies der Autor, dass er einen Startpunkt $n$ finden konnte, bei dem:

Die $n$ -te Ziffer von E eine 1 ist.
Die $(n+1)$ -te Ziffer von E ebenfalls eine 1 ist.

Da er diesen Startpunkt $n$ beliebig groß machen konnte (indem er seine „Schlösser" größer machte und größere Primzahlen fand), bewies er, dass das „11"-Muster nicht nur einmal oder zweimal passiert; es passiert unendlich oft.

Ein Hinweis zu KI

Das Papier enthält eine einzigartige Eingeständnis: Der Autor entwickelte diesen komplexen Beweis durch eine umfangreiche Zusammenarbeit mit einer KI namens GPT-5.5 Pro. Der Autor betont jedoch, dass die KI nur Vorschläge machte, die er dann stark überarbeitete, korrigierte und verifizierte. Er übernimmt die volle Verantwortung für die finale Mathematik.

Zusammenfassung

Kurz gesagt: Das Papier löst ein 12 Jahre altes Rätsel über eine berühmte Zahl. Es beweist, dass, wenn Sie tief genug in den Binärcode der Erdős–Borwein-Konstante blicken, Sie niemals die „11"-Paare auslaufen lassen werden. Der Beweis ist ein Meisterwerk darin, Primzahlen und modulare Arithmetik zu nutzen, um das Auftreten eines spezifischen Musters zu erzwingen.

Technische Zusammenfassung: Über die Binärziffern der Erdős–Borwein-Konstante

Problemstellung
Der Artikel behandelt ein offenes Problem bezüglich der Darstellung zur Basis 2 (binär) der Erdős–Borwein-Konstante $E$ , definiert durch die Lambert-Reihe:
$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$
wobei $d(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von $n$ ist. Während Erdős (1948) bewies, dass $E$ irrational ist, blieb die spezifische Verteilung ihrer Binärziffern teilweise ungelöst. 2012 untersuchte Crandall die Parität spezifischer Ziffern von $E$ und stellte die Frage, ob die Binärkette „11" (zwei aufeinanderfolgende Einsen) unendlich oft in der Entwicklung von $E$ vorkommt. Dieses Problem wurde anschließend von Shallit hervorgehoben. Der Artikel zielt darauf ab, einen vollständigen Beweis dafür zu liefern, dass die Kette „11" unendlich oft in der Binärdarstellung von $E$ erscheint.

Methodik
Der Beweis verfolgt einen konstruktiven Ansatz, der zahlentheoretische Werkzeuge kombiniert, insbesondere den Chinesischen Restsatz (CRT) und Abschätzungen zur Verteilung von Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Die Methodik verläuft in folgenden Schritten:

Konstruktion von Kongruenzen: Die Autoren konstruieren eine Folge von ganzen Zahlen $n$ (abhängig von einem großen Parameter $X$ ), sodass die Teilerfunktion $d(n+2)$ einen spezifischen Wert annimmt ( $d(n+2)=6$ ) und der Rest der Reihenentwicklung von $E$ , beginnend ab dem Index $n$ , hinreichend klein ist.
Anwendung des Chinesischen Restsatzes: Ein System simultaner Kongruenzen wird gelöst, um eine Restklasse $r$ modulo eines sorgfältig konstruierten Moduls $A$ zu definieren. Dieser Modul $A$ wird durch Produkte verschiedener Primzahlen gebildet, die aus einem spezifischen Intervall $(L, 2L)$ gewählt werden, wobei $L \approx (\log X)^2$ gilt.
Primzahlverteilung (AGP-Lemma): Um die Existenz geeigneter Primzahlen für die Modulkonstruktion sicherzustellen, verwendet der Artikel ein Lemma von Alford, Granville und Pomerance (AGP). Dieses Lemma liefert eine untere Schranke für die Zählfunktion $\pi(N; d, a)$ (Primzahlen $\le N$ , die kongruent zu $a \pmod d$ sind) und stellt sicher, dass Primzahlen in den erforderlichen arithmetischen Progressionen existieren, die eine spezifische „ausgezeichnete Menge" von Moduln vermeiden.
Schranken für die Teilerfunktion: Der Beweis stützt sich auf die Abschätzung der Summe von Teilerfunktionen über arithmetische Progressionen (Lemma 2) und die Abschätzung des „Rests" der Reihe $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ (Lemma 3). Diese Schranken gewährleisten, dass der Beitrag von Termen jenseits eines bestimmten Punktes die ganzzahligen Eigenschaften der Partialsummen nicht stört.
Schubfachargument: Durch den Vergleich der Anzahl der ganzen Zahlen $m$ , für die $d(n_m+2)=6$ gilt, mit der Anzahl der ganzen Zahlen, für die die Restsumme „groß" ist, demonstrieren die Autoren die Existenz mindestens einer ganzen Zahl $n$ , bei der der Rest klein genug ist, um die Binärziffern an den Positionen $n$ und $n+1$ auf 1 zu erzwingen.

Hauptbeiträge und Ergebnisse

Lösung des Problems von Crandall: Der Artikel liefert einen rigorosen Beweis dafür, dass die Kette „11" unendlich oft in der Binärentwicklung der Erdős–Borwein-Konstante vorkommt.
Konstruktion spezifischer ganzer Zahlen: Die Autoren konstruieren explizit eine Folge ganzer Zahlen $n$ , sodass die $n$ -te und die $(n+1)$ -te Binärziffer von $E$ beide 1 sind. Dies wird erreicht, indem gezeigt wird, dass für hinreichend große $X$ eine $n$ existiert, bei der der Bruchteil von $2^{n-1}E$ im Intervall $[3/4, 1)$ liegt.
Integration fortgeschrittener Zahlentheorie: Die Arbeit synthetisiert die ursprünglichen Beweistechniken von Erdős zur Irrationalität (Kongruenzkonstruktionen, die Ketten von Nullen beinhalten) mit modernen Abschätzungen zur Verteilung von Primzahlen in arithmetischen Progressionen (AGP-Lemma), um ein Problem der Ziffernverteilung zu lösen.
Restschätzungen: Der Artikel stellt spezifische Schranken für den Rest der Lambert-Reihenentwicklung für $E$ auf und zeigt, dass das „Rauschen" durch Terme höherer Ordnung kontrolliert werden kann, um spezifische Ziffernmuster aufzudecken.

Bedeutung und Behauptungen
Der Artikel behauptet, das offene Problem von Crandall aus dem Jahr 2012 bejahend zu lösen. Die Bedeutung liegt in der Weiterentwicklung des Verständnisses der arithmetischen Eigenschaften der Erdős–Borwein-Konstante, insbesondere ihrer Normalitätseigenschaften. Obwohl der Artikel nicht beweist, dass $E$ 2-normal ist (d. h., dass jede endliche Binärkette mit der erwarteten Häufigkeit vorkommt), etabliert er eine notwendige Bedingung für die Normalität, indem er das unendliche Vorkommen einer spezifischen nicht-trivialen Kette („11") nachweist.

Die Autoren weisen darauf hin, dass ihr Argument durch umfangreiche Interaktionen mit GPT-5.5 Pro entwickelt wurde, obwohl alle von der KI generierten Vorschläge vom Autor erheblich überarbeitet, korrigiert und unabhängig verifiziert wurden. Der Artikel schließt mit dem Hinweis, dass der nächste natürliche Schritt darin besteht zu untersuchen, ob jede Binärkette unendlich oft in der Entwicklung von $E$ vorkommt.