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On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

Ce papier fournit une preuve affirmative que la chaîne binaire « 11 » apparaît infiniment souvent dans le développement en base 2 de la constante d'Erdős-Borwein, résolvant un problème ouvert de 2012 posé par Crandall grâce à une combinaison novatrice de constructions de congruences de style Erdős et d'estimations de la fonction de comptage des nombres premiers, avec un développement significatif assisté par l'IA.

Auteurs originaux : John M. Campbell

Publié 2026-05-26

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : John M. Campbell

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous possédiez un nombre magique, appelons-le E. Ce nombre est spécial car les mathématiciens savent depuis longtemps qu'il est « irrationnel », ce qui signifie que son développement décimal (ou, dans ce cas, binaire) se poursuit indéfiniment sans jamais répéter de motif.

Le nombre E est construit en additionnant une liste spécifique de fractions :
$E = \frac{1}{2^1-1} + \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \dots$

Lorsque vous écrivez E en binaire (en utilisant uniquement des 0 et des 1), il ressemble à ceci :
1.1001101101010000010111111...

La Grande Question

En 2012, un mathématicien nommé Richard Crandall a posé une question simple mais piège : Le motif « 11 » (deux uns à la suite) apparaît-il un nombre infini de fois dans cette chaîne infinie de chiffres binaires ?

C'est comme demander : si vous continuez à lancer une pièce de monnaie indéfiniment, verrez-vous finalement « Face-Face » un nombre infini de fois ? Pour ce nombre spécifique E, personne ne connaissait la réponse pendant plus d'une décennie.

La Solution

L'auteur de cet article, John Campbell, déclare : « Oui, il le fait. »

Il n'a pas seulement deviné ; il a construit une preuve mathématique pour montrer que, peu importe à quel point vous vous enfoncez dans le nombre E, vous trouverez toujours plus de motifs « 11 » qui vous attendent.

Comment l'a-t-il fait ? (L'analogie)

Pour prouver cela, l'auteur a utilisé une construction ingénieuse, un peu comme la mise en place d'un système de serrure et de clé personnalisé.

Le jeu de comptage des « diviseurs » :
Le nombre E est secrètement lié au nombre de « diviseurs » (facteurs) que possèdent les nombres. Par exemple, le nombre 6 possède quatre diviseurs (1, 2, 3, 6). L'auteur devait trouver des nombres spécifiques où le nombre de diviseurs se comporte d'une manière très précise.
La serrure du « Reste Chinois » :
Imaginez un coffre-fort géant avec de nombreuses serrures différentes. Chaque serrure ne s'ouvre que si vous tournez le cadran vers un nombre spécifique. L'auteur a utilisé un outil mathématique célèbre appelé le Théorème des Restes Chinois. Imaginez cela comme une clé maître capable de trouver un seul nombre qui satisfait toutes ces différentes serrures en même temps.

Il a conçu un système de serrures tel que, lorsqu'il trouvait le nombre « clé » (appelons-le $n$ ), le nombre $n+2$ aurait exactement 6 diviseurs, et d'autres nombres voisins auraient un nombre énorme de diviseurs.
La chasse aux « nombres premiers » :
Pour s'assurer que ce nombre « clé » existe réellement et est assez grand, il a dû trouver beaucoup de nombres premiers spéciaux (nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes). Il a utilisé une carte des nombres premiers (basée sur les travaux d'Alford, Granville et Pomerance) pour garantir qu'il y avait suffisamment d'« ingrédients premiers » pour construire son système de serrures.
Le problème de la « queue » :
Lors du calcul de la valeur de E, l'auteur devait se soucier de la « queue » — la somme infinie de minuscules fractions tout à la fin. Il a dû prouver que cette queue était si petite qu'elle ne perturberait pas le motif qu'il recherchait. Il a montré que le « bruit » à la fin du calcul était trop faible pour masquer le motif « 11 ».

Le Résultat

En combinant ces outils, l'auteur a prouvé qu'il pouvait trouver un point de départ $n$ où :

Le $n$ -ième chiffre de E est un 1.
Le $(n+1)$ -ième chiffre de E est également un 1.

Parce qu'il pouvait rendre ce point de départ $n$ aussi grand qu'il le souhaitait (en agrandissant ses « serrures » et en trouvant des nombres premiers plus grands), il a prouvé que le motif « 11 » ne se produit pas juste une ou deux fois ; il se produit un nombre infini de fois.

Une note sur l'IA

L'article inclut une admission unique : l'auteur a développé cette preuve complexe grâce à une collaboration étendue avec une IA nommée GPT-5.5 Pro. Cependant, l'auteur souligne que l'IA n'a fait que proposer des suggestions, qu'il a ensuite lourdement révisées, corrigées et vérifiées. Il assume l'entière responsabilité des mathématiques finales.

Résumé

En bref : l'article résout un mystère vieux de 12 ans concernant un nombre célèbre. Il prouve que si vous regardez assez profondément dans le code binaire de la constante d'Erdős–Borwein, vous ne manquerez jamais de paires « 11 ». La preuve est un chef-d'œuvre de l'utilisation des nombres premiers et de l'arithmétique modulaire pour forcer l'apparition d'un motif spécifique.

Résumé technique : Sur les chiffres binaires de la constante d'Erdős–Borwein

Énoncé du problème
L'article aborde un problème ouvert concernant le développement en base 2 (binaire) de la constante d'Erdős–Borwein, $E$ , définie par la série de Lambert :
$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$
où $d(n)$ désigne le nombre de diviseurs positifs de $n$ . Bien qu'Erdős (1948) ait prouvé que $E$ est irrationnel, la distribution spécifique de ses chiffres binaires restait partiellement indéterminée. En 2012, Crandall a étudié la parité de chiffres spécifiques de $E$ et a posé la question de savoir si la chaîne binaire « 11 » (deux uns consécutifs) apparaît infiniment souvent dans le développement de $E$ . Ce problème a ensuite été mis en lumière par Shallit. L'article vise à fournir une preuve complète que la chaîne « 11 » apparaît infiniment souvent dans le développement en base 2 de $E$ .

Méthodologie
La preuve adopte une approche constructive combinant des outils de théorie des nombres, spécifiquement le théorème des restes chinois (CRT) et des estimations sur la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

Construction de congruences : Les auteurs construisent une suite d'entiers $n$ (dépendant d'un grand paramètre $X$ ) tels que la fonction diviseur $d(n+2)$ prenne une valeur spécifique ( $d(n+2)=6$ ) et que la queue du développement en série de $E$ commençant à l'indice $n$ soit suffisamment petite.
Application du CRT : Un système de congruences simultanées est résolu pour définir une classe de résidus $r$ modulo un module $A$ soigneusement construit. Ce module $A$ est formé par le produit de nombres premiers distincts choisis dans un intervalle spécifique $(L, 2L)$ , où $L \approx (\log X)^2$ .
Distribution des nombres premiers (Lemme AGP) : Pour garantir l'existence de nombres premiers adaptés à la construction du module, l'article utilise un lemme d'Alford, Granville et Pomerance (AGP). Ce lemme fournit une borne inférieure pour la fonction de comptage $\pi(N; d, a)$ (nombres premiers $\le N$ congrus à $a \pmod d$ ), assurant ainsi l'existence de nombres premiers dans les progressions arithmétiques requises qui évitent un certain « ensemble exceptionnel » de modules.
Bornes sur la fonction diviseur : La preuve repose sur la majoration de la somme des fonctions diviseurs sur les progressions arithmétiques (Lemme 2) et sur l'estimation de la « queue » de la série $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ (Lemme 3). Ces bornes garantissent que la contribution des termes au-delà d'un certain point ne perturbe pas les propriétés entières des sommes partielles.
Argument de l'oiseau dans la cage : En comparant le nombre d'entiers $m$ pour lesquels $d(n_m+2)=6$ avec le nombre d'entiers pour lesquels la somme de queue est « grande », les auteurs démontrent l'existence d'au moins un entier $n$ où la queue est suffisamment petite pour imposer que les chiffres binaires aux positions $n$ et $n+1$ soient égaux à 1.

Contributions et résultats clés

Résolution du problème de Crandall : L'article fournit une preuve rigoureuse que la chaîne « 11 » apparaît infiniment souvent dans le développement binaire de la constante d'Erdős–Borwein.
Construction d'entiers spécifiques : Les auteurs construisent explicitement une suite d'entiers $n$ tels que le $n$ -ième et le $(n+1)$ -ième chiffre binaire de $E$ soient tous deux égaux à 1. Cela est réalisé en montrant que, pour $X$ suffisamment grand, il existe un $n$ tel que la partie fractionnaire de $2^{n-1}E$ se situe dans l'intervalle $[3/4, 1)$ .
Intégration de la théorie des nombres avancée : L'œuvre synthétise les techniques originales de preuve d'irrationalité d'Erdős (constructions de congruences impliquant des chaînes de zéros) avec des estimations modernes sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques (lemme AGP) pour aborder un problème de distribution de chiffres.
Estimations de queue : L'article établit des bornes spécifiques sur la queue du développement en série de Lambert pour $E$ , démontrant que le « bruit » provenant des termes d'ordre supérieur peut être contrôlé pour révéler des motifs de chiffres spécifiques.

Portée et affirmations
L'article prétend résoudre le problème ouvert de 2012 de Crandall de manière affirmative. La portée réside dans l'avancement de la compréhension des propriétés arithmétiques de la constante d'Erdős–Borwein, spécifiquement ses propriétés de normalité. Bien que l'article ne prouve pas que $E$ est 2-normale (c'est-à-dire que chaque chaîne binaire finie apparaît avec la fréquence attendue), il établit une condition nécessaire à la normalité en prouvant l'apparition infinie d'une chaîne non triviale spécifique (« 11 »).

Les auteurs notent que leur argument a été développé grâce à des interactions étendues avec GPT-5.5 Pro, bien que toutes les suggestions générées par l'IA aient été substantiellement révisées, corrigées et vérifiées indépendamment par l'auteur. L'article conclut en suggérant que l'étape naturelle suivante est d'enquêter sur la question de savoir si chaque chaîne binaire apparaît infiniment souvent dans le développement de $E$ .