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On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

Questo articolo fornisce una prova affermativa che la stringa binaria "11" si verifica infinite volte nello sviluppo in base 2 della costante di Erdős-Borwein, risolvendo un problema aperto del 2012 posto da Crandall attraverso una combinazione innovativa di costruzioni di congruenza in stile Erdős e stime sulla funzione di conteggio dei primi, con uno sviluppo significativo agevolato dall'intelligenza artificiale.

Autori originali: John M. Campbell

Pubblicato 2026-05-26

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CC BY 4.0

Autori originali: John M. Campbell

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

Immagina di avere un numero magico, chiamiamolo E. Questo numero è speciale perché i matematici sanno da lungo tempo che è "irrazionale", il che significa che la sua espansione decimale (o in questo caso, binaria) prosegue all'infinito senza ripetere mai un pattern.

Il numero E è costruito sommando una lista specifica di frazioni:
$E = \frac{1}{2^1-1} + \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \dots$

Quando scrivi E in binario (usando solo 0 e 1), appare così:
1.1001101101010000010111111...

La Grande Domanda

Nel 2012, un matematico di nome Richard Crandall pose una domanda semplice ma ingannevole: Il pattern "11" (due uno consecutivi) appare un numero infinito di volte in questa infinita stringa di cifre binarie?

È come chiedere: se continui a lanciare una moneta all'infinito, vedrai alla fine "Testa-Testa" un numero infinito di volte? Per questo specifico numero E, nessuno conosceva la risposta per oltre un decennio.

La Soluzione

L'autore di questo articolo, John Campbell, afferma: "Sì, lo fa."

Non ha solo indovinato; ha costruito una dimostrazione matematica per mostrare che, non importa quanto lontano tu vada nel numero E, troverai sempre più pattern "11" in attesa.

Come l'ha fatto? (L'Analogia)

Per dimostrarlo, l'autore ha utilizzato una costruzione astuta, un po' come costruire un sistema di lucchetti e chiavi personalizzato.

Il Gioco del Conteggio dei "Divisori":
Il numero E è segretamente connesso al numero di "divisori" (fattori) che i numeri possiedono. Ad esempio, il numero 6 ha quattro divisori (1, 2, 3, 6). L'autore aveva bisogno di trovare numeri specifici in cui il conteggio dei divisori si comportava in un modo molto particolare.
Il Lucchetto del "Resto Cinese":
Immagina di avere una cassaforte gigante con molti lucchetti diversi. Ogni lucchetto si apre solo se giri il quadrante su un numero specifico. L'autore ha utilizzato un famoso strumento matematico chiamato Teorema del Resto Cinese. Pensa a questo come a una chiave maestra che può trovare un singolo numero che soddisfa tutti questi diversi lucchetti contemporaneamente.

Ha progettato un sistema di lucchetti in modo che, quando trovava il numero "chiave" (chiamiamolo $n$ ), il numero $n+2$ avesse esattamente 6 divisori, e altri numeri vicini avessero un numero enorme di divisori.
La Caccia ai "Primi":
Per assicurarsi che questo numero "chiave" esistesse effettivamente e fosse abbastanza grande, doveva trovare molti numeri primi speciali (numeri divisibili solo per 1 e se stessi). Ha utilizzato una mappa dei numeri primi (basata sul lavoro di Alford, Granville e Pomerance) per garantire che ci fossero abbastanza "ingredienti primi" per costruire il suo sistema di lucchetti.
Il Problema della "Coda":
Nel calcolare il valore di E, l'autore doveva preoccuparsi della "coda"—la somma infinita di minuscole frazioni alla fine. Doveva dimostrare che questa coda era così piccola da non poter disturbare il pattern che stava cercando. Ha mostrato che il "rumore" alla fine del calcolo era troppo debole per nascondere il pattern "11".

Il Risultato

Combinando questi strumenti, l'autore ha dimostrato di poter trovare un punto di partenza $n$ in cui:

La $n$ -esima cifra di E è un 1.
La $(n+1)$ -esima cifra di E è anch'essa un 1.

Poiché poteva rendere questo punto di partenza $n$ grande quanto voleva (rendendo i suoi "lucchetti" più grandi e trovando primi più grandi), ha dimostrato che il pattern "11" non accade solo una o due volte; accade infinitamente spesso.

Una Nota sull'IA

L'articolo include un'ammissione unica: l'autore ha sviluppato questa complessa dimostrazione attraverso un'estesa collaborazione con un'IA chiamata GPT-5.5 Pro. Tuttavia, l'autore sottolinea che l'IA ha offerto solo suggerimenti, che lui ha poi pesantemente rivisto, corretto e verificato. Egli si assume la piena responsabilità della matematica finale.

Riassunto

In breve: l'articolo risolve un mistero di 12 anni fa riguardante un numero famoso. Dimostra che se guardi abbastanza a fondo nel codice binario della costante di Erdős–Borwein, non finirai mai le coppie "11". La dimostrazione è una lezione magistrale nell'uso dei numeri primi e dell'aritmetica modulare per forzare l'aspetto di un pattern specifico.

Riepilogo Tecnico: Sulle cifre binarie della costante di Erdős–Borwein

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta un problema aperto relativo allo sviluppo in base 2 (binario) della costante di Erdős–Borwein, $E$ , definita dalla serie di Lambert:
$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$
dove $d(n)$ è il numero di divisori positivi di $n$ . Sebbene Erdős (1948) abbia dimostrato che $E$ è irrazionale, la distribuzione specifica delle sue cifre binarie è rimasta parzialmente irrisolta. Nel 2012, Crandall ha indagato la parità di cifre specifiche di $E$ e ha posto la questione se la stringa binaria "11" (due uni consecutivi) si verifichi infinite volte nello sviluppo di $E$ . Questo problema è stato successivamente evidenziato da Shallit. Il lavoro mira a fornire una dimostrazione completa che la stringa "11" appare infinite volte nello sviluppo in base 2 di $E$ .

Metodologia
La dimostrazione impiega un approccio costruttivo che combina strumenti della teoria dei numeri, in particolare il Teorema del Resto Cinese (CRT) e stime sulla distribuzione dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche. La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi:

Costruzione di Congruenze: Gli autori costruiscono una sequenza di interi $n$ (dipendente da un grande parametro $X$ ) tale che la funzione divisore $d(n+2)$ assuma un valore specifico ( $d(n+2)=6$ ) e la coda dello sviluppo in serie di $E$ a partire dall'indice $n$ sia sufficientemente piccola.
Applicazione del CRT: Viene risolto un sistema di congruenze simultanee per definire una classe residua $r$ modulo un modulo $A$ attentamente costruito. Questo modulo $A$ è formato da prodotti di primi distinti scelti da un intervallo specifico $(L, 2L)$ , dove $L \approx (\log X)^2$ .
Distribuzione dei Primi (Lemma AGP): Per garantire l'esistenza di primi adatti per la costruzione del modulo, il lavoro utilizza un lemma di Alford, Granville e Pomerance (AGP). Questo lemma fornisce un limite inferiore per la funzione di conteggio $\pi(N; d, a)$ (primi $\le N$ congrui a $a \pmod d$ ), assicurando che esistano primi nelle progressioni aritmetiche richieste che evitano un specifico "insieme eccezionale" di moduli.
Limiti della Funzione Divisore: La dimostrazione si basa sulla limitazione della somma delle funzioni divisore su progressioni aritmetiche (Lemma 2) e sulla stima della "coda" della serie $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ (Lemma 3). Questi limiti assicurano che il contributo dei termini oltre un certo punto non disturbi le proprietà intere delle somme parziali.
Argomento del Principio dei Cassetti: Confrontando il numero di interi $m$ per cui $d(n_m+2)=6$ con il numero di interi per cui la somma della coda è "grande", gli autori dimostrano l'esistenza di almeno un intero $n$ in cui la coda è abbastanza piccola da forzare le cifre binarie nelle posizioni $n$ e $n+1$ a essere 1.

Contributi e Risultati Chiave

Risoluzione del Problema di Crandall: Il lavoro fornisce una dimostrazione rigorosa che la stringa "11" si verifica infinite volte nello sviluppo binario della costante di Erdős–Borwein.
Costruzione di Interi Specifici: Gli autori costruiscono esplicitamente una sequenza di interi $n$ tale che la $n$ -esima e la $(n+1)$ -esima cifra binaria di $E$ siano entrambe 1. Questo è ottenuto mostrando che, per $X$ sufficientemente grande, esiste un $n$ tale che la parte frazionaria di $2^{n-1}E$ ricade nell'intervallo $[3/4, 1)$ .
Integrazione di Teoria dei Numeri Avanzata: Il lavoro sintetizza le tecniche originali di dimostrazione dell'irrazionalità di Erdős (costruzioni di congruenze che coinvolgono stringhe di zeri) con stime moderne sui primi nelle progressioni aritmetiche (lemma AGP) per affrontare un problema di distribuzione delle cifre.
Stime della Coda: Il lavoro stabilisce limiti specifici sulla coda dello sviluppo in serie di Lambert per $E$ , dimostrando che il "rumore" derivante dai termini di ordine superiore può essere controllato per rivelare specifici schemi di cifre.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di risolvere il problema aperto di Crandall del 2012 in senso affermativo. Il significato risiede nel far progredire la comprensione delle proprietà aritmetiche della costante di Erdős–Borwein, in particolare delle sue proprietà di normalità. Sebbene il lavoro non dimostri che $E$ sia 2-normale (cioè che ogni stringa binaria finita appaia con la frequenza attesa), stabilisce una condizione necessaria per la normalità dimostrando l'occorrenza infinita di una specifica stringa non banale ("11").

Gli autori notano che il loro argomento è stato sviluppato attraverso estese interazioni con GPT-5.5 Pro, sebbene tutti i suggerimenti generati dall'IA siano stati sostanzialmente rivisti, corretti e verificati indipendentemente dall'autore. Il lavoro conclude suggerendo che il prossimo passo naturale sia investigare se ogni stringa binaria appaia infinite volte nello sviluppo di $E$ .