On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

Resumen Técnico: Sobre los dígitos binarios de la constante de Erdős–Borwein

Enunciado del Problema
El artículo aborda un problema abierto relacionado con la expansión en base 2 (binaria) de la constante de Erdős–Borwein, $E$, definida por la serie de Lambert:
$$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$$
donde $d(n)$ es el número de divisores positivos de $n$. Aunque Erdős (1948) demostró que $E$ es irracional, la distribución específica de sus dígitos binarios permaneció parcialmente sin resolver. En 2012, Crandall investigó la paridad de dígitos específicos de $E$ y planteó la cuestión de si la cadena binaria "11" (dos unos consecutivos) ocurre infinitas veces en la expansión de $E$. Este problema fue posteriormente destacado por Shallit. El artículo tiene como objetivo proporcionar una demostración completa de que la cadena "11" aparece infinitas veces en la expansión en base 2 de $E$.

Metodología
La demostración emplea un enfoque constructivo que combina herramientas de teoría de números, específicamente el Teorema Chino del Resto (TCR) y estimaciones sobre la distribución de primos en progresiones aritméticas. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Construcción de Congruencias: Los autores construyen una secuencia de enteros $n$ (dependiente de un parámetro grande $X$) tal que la función divisor $d(n+2)$ toma un valor específico ($d(n+2)=6$) y la cola de la expansión en serie de $E$ que comienza en el índice $n$ es suficientemente pequeña.
2. Aplicación del TCR: Se resuelve un sistema de congruencias simultáneas para definir una clase residual $r$ módulo un módulo $A$ cuidadosamente construido. Este módulo $A$ se forma mediante productos de primos distintos elegidos de un intervalo específico $(L, 2L)$, donde $L \approx (\log X)^2$.
3. Distribución de Primos (Lema AGP): Para asegurar la existencia de primos adecuados para la construcción del módulo, el artículo utiliza un lema de Alford, Granville y Pomerance (AGP). Este lema proporciona una cota inferior para la función de conteo $\pi(N; d, a)$ (primos $\le N$ congruentes con $a \pmod d$), asegurando que existan primos en las progresiones aritméticas requeridas que evitan un "conjunto excepcional" específico de módulos.
4. Cotas de la Función Divisor: La demostración se basa en acotar la suma de funciones divisor sobre progresiones aritméticas (Lema 2) y estimar la "cola" de la serie $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ (Lema 3). Estas cotas aseguran que la contribución de los términos más allá de cierto punto no altere las propiedades enteras de las sumas parciales.
5. Argumento del Principio de los Palomar: Al comparar el número de enteros $m$ para los cuales $d(n_m+2)=6$ con el número de enteros para los cuales la suma de la cola es "grande", los autores demuestran la existencia de al menos un entero $n$ donde la cola es lo suficientemente pequeña como para forzar a que los dígitos binarios en las posiciones $n$ y $n+1$ sean 1.

Contribuciones y Resultados Clave

• Resolución del Problema de Crandall: El artículo proporciona una demostración rigurosa de que la cadena "11" ocurre infinitas veces en la expansión binaria de la constante de Erdős–Borwein.
• Construcción de Enteros Específicos: Los autores construyen explícitamente una secuencia de enteros $n$ tal que el $n$-ésimo y el $(n+1)$-ésimo dígito binario de $E$ son ambos 1. Esto se logra mostrando que para $X$ suficientemente grande, existe un $n$ donde la parte fraccionaria de $2^{n-1}E$ se encuentra en el intervalo $[3/4, 1)$.
• Integración de Teoría de Números Avanzada: El trabajo sintetiza las técnicas originales de demostración de irracionalidad de Erdős (construcciones de congruencia que involucran cadenas de ceros) con estimaciones modernas sobre primos en progresiones aritméticas (lema AGP) para abordar un problema de distribución de dígitos.
• Estimaciones de la Cola: El artículo establece cotas específicas sobre la cola de la expansión en serie de Lambert para $E$, demostrando que el "ruido" de los términos de orden superior puede controlarse para revelar patrones de dígitos específicos.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma resolver el problema abierto de Crandall de 2012 de manera afirmativa. El significado radica en avanzar en la comprensión de las propiedades aritméticas de la constante de Erdős–Borwein, específicamente sus propiedades de normalidad. Aunque el artículo no demuestra que $E$ sea 2-normal (es decir, que toda cadena binaria finita aparezca con la frecuencia esperada), establece una condición necesaria para la normalidad al demostrar la ocurrencia infinita de una cadena no trivial específica ("11").

Los autores señalan que su argumento se desarrolló a través de interacciones extensas con GPT-5.5 Pro, aunque todas las sugerencias generadas por IA fueron sustancialmente revisadas, corregidas y verificadas de forma independiente por el autor. El artículo concluye sugiriendo que el siguiente paso natural es investigar si toda cadena binaria aparece infinitas veces en la expansión de $E$.