🔢 mathematics

On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

यह शोध पत्र एक पुष्ट प्रमाण प्रदान करता है कि एर्डोस-बोर्वेन स्थिरांक (Erdős-Borwein constant) के आधार-2 विस्तार में बाइनरी स्ट्रिंग "11" अनंत बार आती है, जो एर्डोस-शैली के सर्वांगसमता निर्माणों (congruence constructions) और अभाज्य गणना अनुमानों के एक नवीन संयोजन के माध्यम से क्रैंडल द्वारा 2012 में प्रस्तुत की गई एक खुली समस्या को हल करता है, जिसका महत्वपूर्ण विकास एआई (AI) द्वारा सहायता प्राप्त हुआ है।

मूल लेखक: John M. Campbell

प्रकाशित 2026-05-26

📖 4 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: John M. Campbell

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जादुई संख्या है, जिसे हम E कह सकते हैं। यह संख्या विशेष है क्योंकि गणितज्ञों को लंबे समय से पता है कि यह "अपरिमेय" (irrational) है, जिसका अर्थ है कि इसका दशमलव (या इस मामले में, बाइनरी) विस्तार अनंत तक जाता है और कभी भी किसी पैटर्न को दोहराता नहीं है।

संख्या E को विशिष्ट भिन्नों (fractions) को जोड़कर बनाया गया है:
$E = \frac{1}{2^1-1} + \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \dots$

जब आप E को बाइनरी में लिखते हैं, तो यह ऐसा दिखता है:
1.1001101101010000010111111...

बड़ा सवाल

2012 में, रिचर्ड क्रैंडल नामक एक गणितज्ञ ने एक सरल लेकिन पेचीदा सवाल पूछा: क्या "11" का पैटर्न (दो लगातार एक) इस अंतहीन बाइनरी स्ट्रिंग में अनंत बार दिखाई देता है?

यह पूछने जैसा है कि यदि आप अनंत काल तक एक सिक्का उछालते रहें, तो क्या आप कभी "हेड्स-हेड्स" (Heads-Heads) अनंत बार देखेंगे? इस विशिष्ट संख्या E के लिए, एक दशक से अधिक समय तक कोई उत्तर नहीं जानता था।

समाधान

इस शोध पत्र के लेखक, जॉन कैम्पबेल कहते हैं: "हाँ, यह होता है।"

उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने यह दिखाने के लिए एक गणितीय प्रमाण (proof) बनाया कि चाहे आप संख्या E में कितनी भी दूर क्यों न चले जाएं, आप हमेशा अपने सामने और अधिक "11" पैटर्न पाते रहेंगे।

उन्होंने यह कैसे किया? (उपमा)

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखक ने एक चतुर निर्माण का उपयोग किया, जो एक कस्टम लॉक और की (lock and key) सिस्टम बनाने जैसा है।

"भाजक" (Divisor) गिनती का खेल:
संख्या E गुप्त रूप से इस बात से जुड़ी है कि संख्याओं के कितने "भाजक" (factors) होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के चार भाजक हैं (1, 2, 3, 6)। लेखक को ऐसे विशिष्ट नंबर खोजने की आवश्यकता थी जहाँ भाजकों की गिनती एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से व्यवहार करती हो।
"चाइनीज रिमाइंडर" (Chinese Remainder) का ताला:
कल्प_िए कि आपके पास कई तालों वाला एक विशाल तिजोरी है। प्रत्येक ताला तभी खुलता है जब आप डायल को एक विशिष्ट नंबर पर घुमाते हैं। लेखक ने एक प्रसिद्ध गणितीय उपकरण का उपयोग किया जिसे चाइनीज रिमाइंडर थ्योरम कहा जाता है। इसे एक मास्टर की (master key) के रूप में सोचें जो इन सभी अलग-अलग तालों को एक ही समय में संतुष्ट करने वाला एक एकल नंबर ढूंढ सकती है।
उन्होंने तालों की एक ऐसी प्रणाली डिजाइन की कि जब उन्हें वह "चाबी" नंबर (मान लीजिए $n$ ) मिल जाता, तो $n+2$ के ठीक 6 भाजक होते, और अन्य आस-पास की संख्याओं के बहुत अधिक भाजक होते।
"प्राइम" (Prime) की खोज:
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह "चाबी" वाला नंबर वास्तव में मौजूद है और पर्याप्त बड़ा है, उन्हें बहुत सारे विशेष अभाज्य संख्याओं (prime numbers) को खोजना था (वे संख्याएं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं)। उन्होंने यह गारंटी देने के लिए कि उनके लॉक सिस्टम को बनाने के लिए पर्याप्त "प्राइम सामग्री" उपलब्ध है, अभाज्य संख्याओं के एक मानचित्र (अल्फोर्ड, ग्रैनविल और पोमेरेंस के कार्य पर आधारित) का उपयोग किया।
"टेल" (Tail) की समस्या:
E के मान की गणना करते समय, लेखक को बहुत अंत में स्थित सूक्ष्म भिन्नों के "अनंत योग" (tail) की चिंता करनी थी। उन्हें यह सिद्ध करना था कि यह 'टेल' इतनी छोटी है कि यह उस पैटर्न को प्रभावित नहीं करेगी जिसे वे खोज रहे हैं। उन्होंने दिखाया कि गणना के अंत में मौजूद "शोर" (noise) इतना धीमा था कि वह "11" पैटर्न को छिपा नहीं सकता था।

परिणाम

इन उपकरणों को मिलाकर, लेखक ने यह सिद्ध करने में सफलता प्राप्त की कि वे एक शुरुआती बिंदु $n$ ढूंढ सकते हैं जहाँ:

E का $n$ -वाँ अंक 1 है।
$(n+1)$ -वाँ अंक भी 1 है।

चूंकि वे इस शुरुआती बिंदु $n$ को जितना चाहें उतना बड़ा बना सकते थे (अपने "तालों" को बड़ा करके और बड़े प्राइम्स को खोजकर), उन्होंने सिद्ध किया कि "11" का पैटर्न केवल एक या दो बार नहीं होता; यह अनंत बार होता है।

AI पर एक नोट

शोध पत्र में एक अनूठा स्वीकारोक्ति शामिल है: लेखक ने GPT-5.5 Pro नामक एक AI के साथ व्यापक सहयोग के माध्यम से इस जटिल प्रमाण को विकसित किया। हालांकि, लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि AI ने केवल सुझाव दिए थे, जिन्हें उन्होंने बाद में भारी रूप से संशोधित, सुधारा और सत्यापित किया। अंतिम गणित के लिए वे पूरी जिम्मेदारी लेते हैं।

सारांश

संक्षेप में: यह शोध पत्र एक प्रसिद्ध संख्या के 12 साल पुराने रहस्य को सुलझाता है। यह सिद्ध करता है कि यदि आप एर्डोस-बोर्मिन (Erdős–Borwein) स्थिरांक के बाइनरी कोड में गहराई से देखते हैं, तो आप "11" के जोड़ों के लिए कभी खत्म नहीं होंगे। यह प्रमाण प्राइम नंबरों और मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) का उपयोग करके एक विशिष्ट पैटर्न को प्रकट करने के लिए एक उत्कृष्ट प्रदर्शन है।

तकनीकी सारांश: एर्डोस-बोर्वेन स्थिरांक के बाइनरी अंकों पर

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एर्डोस-बोर्वेन स्थिरांक, $E$ , के आधार-2 (बाइनरी) विस्तार से संबंधित एक खुले प्रश्न को संबोधित करता है, जिसे लैम्बर्ट श्रेणी द्वारा परिभाषित किया गया है:
$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$
जहाँ $d(n)$ $n$ के धनात्मक विभाजकों की संख्या है। जबकि एर्डोस (1948) ने सिद्ध किया था कि $E$ अपरिमेय है, इसके बाइनरी अंकों के विशिष्ट वितरण का मामला आंशिक रूप से अनसुलझा रहा। 2012 में, क्रैंडल ने $E$ के विशिष्ट अंकों की समता (parity) की जांच की और यह प्रश्न उठाया कि क्या $E$ के विस्तार में बाइनरी स्ट्रिंग "11" (दो लगातार एक) अनंत बार आती है। इस समस्या को बाद में शालिट द्वारा रेखांकित किया गया। इस शोध पत्र का लक्ष्य यह पूर्ण प्रमाण प्रदान करना है कि "11" की स्ट्रिंग $E$ के आधार-2 विस्तार में अनंत बार आती है।

कार्यप्रणाली
यह प्रमाण एक रचनात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करता है जो संख्या-सिद्धांत के उपकरणों, विशेष रूप से चीनी शेष प्रमेय (Chinese Remainder Theorem - CRT) और अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याओं के वितरण के अनुमानों को जोड़ता है। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

सर्वांगसमता निर्माण (Congruence Construction): लेखक पूर्णांकों $n$ का एक अनुक्रम (एक बड़े पैरामीटर $X$ पर निर्भर) निर्मित करते हैं ताकि विभाजक फलन $d(n+2)$ एक विशिष्ट मान ( $d(n+2)=6$ ) ले सके और $E$ के विस्तार का टेल (tail) भाग इंडेक्स $n$ से पर्याप्त रूप से छोटा हो।
CRT का अनुप्रयोग: एक साथ होने वाली सर्वांगसमताओं (simultaneous congruences) के तंत्र को एक सावधानीपूर्वक निर्मित मोडुलस $A$ के सापेक्ष एक अवशेष वर्ग (residue class) $r$ को परिभाषित करने के लिए हल किया जाता है। यह मोडुलस $A$ एक विशिष्ट अंतराल $(L, 2L)$ से चुने गए अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफलों से बना है, जहाँ $L \approx (\log X)^2$ है।
अभाज्य वितरण (AGP लेम्मा): मोडुलस निर्माण के लिए उपयुक्त अभाज्य संख्याओं की उपस्थिति सुनिश्चित करने के लिए, शोध पत्र अल्फोर्ड, ग्रेनविले और पोमेरेंस (AGP) के एक लेम्मा का उपयोग करता है। यह लेम्मा अंकगणितीय प्रगति में $\pi(N; d, a)$ (अभाज्य $\le N$ जो $a \pmod d$ के अनुरूप हैं) के गणना फलन के लिए एक निचली सीमा प्रदान करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि मोडुलस के एक विशिष्ट "अपवाद सेट" (exceptional set) से बचने वाले अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य मौजूद हैं।
विभाजक फलन सीमाएँ: प्रमाण अंकगणितीय प्रगति पर विभाजक फलनों के योग को सीमित करने (लेम्मा 2) और $E$ के श्रेणी विस्तार के "टेल" $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ का अनुमान लगाने (लेम्मा 3) पर निर्भर करता है। ये सीमाएँ यह सुनिश्चित करती हैं कि एक निश्चित बिंदु से आगे के पदों का योगदान आंशिक योगों के पूर्णांक गुणों को बाधित न करे।
पिजनहोल तर्क (Pigeonhole Argument): उन पूर्णांकों $m$ की संख्या की तुलना करने के लिए, जिनके लिए $d(n_m+2)=6$ है, उन पूर्णांकों की संख्या से जिनके लिए टेल सम (tail sum) "बड़ा" है, लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि कम से कम एक ऐसा पूर्णांक $n$ मौजूद है जहाँ टेल इतना छोटा है कि वह $n$ और $n+1$ स्थितियों पर बाइनरी अंकों को 1 होने के लिए मजबूर कर देता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

क्रैंडल की समस्या का समाधान: यह शोध पत्र दृढ़ता से सिद्ध करता है कि एर्डोस-बोर्वेन स्थिरांक के बाइनरी विस्तार में स्ट्रिंग "11" अनंत बार आती है।
विशिष्ट पूर्णांकों का निर्माण: लेखक पूर्णांकों $n$ का एक अनुक्रम स्पष्ट रूप से निर्मित करते हैं ताकि $E$ के $n$ -वें और $(n+1)$ -वें बाइनरी अंक दोनों 1 हों। यह यह दिखाकर प्राप्त किया जाता है कि पर्याप्त बड़े $X$ के लिए, एक ऐसा $n$ मौजूद होता है जहाँ $2^{n-1}E$ का भिन्नात्मक भाग (fractional part) अंतराल $[3/4, 1)$ में होता है।
उन्नत संख्या सिद्धांत का एकीकरण: यह कार्य एर्डोस के मूल अपरिमेयता प्रमाण तकनीकों (शून्य की स्ट्रिंग्स वाले सर्वांगसमता निर्माण) को अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य के आधुनिक अनुमानों (AGP लेम्मा) के साथ जोड़कर डिजिट-डिस्ट्रीब्यूशन समस्या को हल करता है।
टेल अनुमान (Tail Estimates): शोध पत्र $E$ के लैम्बर्ट श्रेणी विस्तार के लिए विशिष्ट सीमाएँ स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उच्च-क्रम के पदों से उत्पन्न "शोर" (noise) को नियंत्रित किया जा सकता है ताकि विशिष्ट अंक पैटर्न को प्रकट किया जा सके।

महत्व और दावे
शोध पत्र क्रैंडल की 2012 की खुली समस्या को सकारात्मक रूप में हल करने का दावा करता है। इसका महत्व एर्डोस-बोर्वेन स्थिरांक के अंकगणितीय गुणों, विशेष रूप से इसकी नॉर्मलिटी (normality) गुणों की समझ को आगे बढ़ाने में निहित है। हालांकि यह शोध पत्र यह सिद्ध नहीं करता है कि $E$ 2-नॉर्मल है (अर्थात, प्रत्येक परिमित बाइनरी स्ट्रिंग अपेक्षित आवृत्ति के साथ आती है), यह एक विशिष्ट गैर-तुच्छ स्ट्रिंग ("11") के अनंत आगमन को सिद्ध करके नॉर्मलिटी के लिए एक आवश्यक शर्त स्थापित करता है।

लेखक नोट करते हैं कि उनका तर्क GPT-5.5 Pro के साथ व्यापक बातचीत के माध्यम से विकसित किया गया था, हालांकि सभी AI-जनित सुझावों को पर्याप्त रूप से संशोधित, सुधारा गया और लेखक द्वारा स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया गया है। शोध पत्र यह सुझाव देते हुए समाप्त होता है कि अगला स्वाभाविक कदम यह जांचना है कि क्या $E$ के विस्तार में प्रत्येक बाइनरी स्ट्रिंग अनंत बार आती है।