On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

技术摘要：关于 Erdős–Borwein 常数的二进制数字

问题陈述
本文探讨了一个关于 Erdős–Borwein 常数 $E$ 的基 2（二进制）展开的未解决问题，该常数由 Lambert 级数定义：
$$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$$
其中 $d(n)$ 是 $n$ 的正约数个数。虽然 Erdős（1948）证明了 $E$ 是无理数，但其二进制数字的具体分布仍部分未解。2012 年，Crandall 研究了 $E$ 特定数字的奇偶性，并提出了二进制字符串"11"（两个连续的 1）是否在 $E$ 的展开中无限次出现的问题。Shallit 随后强调了该问题。本文旨在提供完整证明，即字符串"11"在 $E$ 的基 2 展开中无限次出现。

方法论
证明采用了一种结合数论工具的构造性方法，具体包括中国剩余定理（CRT）以及对算术级数中素数分布的估计。方法论按以下步骤进行：

1. 同余构造：作者构造了一组依赖于大参数 $X$ 的整数序列 $n$，使得约数函数 $d(n+2)$ 取特定值（$d(n+2)=6$），且从索引 $n$ 开始的 $E$ 级数展开的尾部足够小。
2. 中国剩余定理的应用：求解一个联合同余方程组，以定义模精心构造的模数 $A$ 的剩余类 $r$。该模数 $A$ 由选自特定区间 $(L, 2L)$ 的不同素数的乘积构成，其中 $L \approx (\log X)^2$。
3. 素数分布（AGP 引理）：为了确保模数构造中存在合适的素数，本文利用了 Alford、Granville 和 Pomerance（AGP）的一个引理。该引理为计数函数 $\pi(N; d, a)$（即小于等于 $N$ 且模 $d$ 同余于 $a$ 的素数）提供了下界，确保在所需的算术级数中存在素数，从而避开特定的“例外模数集”。
4. 约数函数界限：证明依赖于对算术级数中约数函数之和的界限（引理 2）以及对级数尾部 $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ 的估计（引理 3）。这些界限确保了超出某一点的项的贡献不会破坏部分和的整数性质。
5. 鸽巢原理论证：通过比较满足 $d(n_m+2)=6$ 的整数 $m$ 的数量与尾部总和“较大”的整数数量，作者证明了至少存在一个整数 $n$，其尾部足够小，足以迫使位置 $n$ 和 $n+1$ 的二进制数字为 1。

主要贡献与结果

• Crandall 问题的解决：本文提供了严谨证明，即字符串"11"在 Erdős–Borwein 常数的二进制展开中无限次出现。
• 特定整数的构造：作者明确构造了一组整数序列 $n$，使得 $E$ 的第 $n$ 位和第 $(n+1)$ 位二进制数字均为 1。这是通过证明对于足够大的 $X$，存在一个 $n$，使得 $2^{n-1}E$ 的小数部分位于区间 $[3/4, 1)$ 内来实现的。
• 高级数论的整合：该工作综合了 Erdős 原始的无理性证明技术（涉及零字符串的同余构造）与现代关于算术级数中素数的估计（AGP 引理），以解决数字分布问题。
• 尾部估计：本文建立了 $E$ 的 Lambert 级数展开尾部的具体界限，证明了高阶项的“噪声”可以被控制，从而揭示特定的数字模式。

意义与主张
本文主张肯定地解决了 Crandall 2012 年的未解决问题。其意义在于推进了对 Erdős–Borwein 常数算术性质的理解，特别是其正规性性质。虽然本文并未证明 $E$ 是 2-正规的（即每个有限二进制字符串都以预期频率出现），但它通过证明特定非平凡字符串（"11"）的无限次出现，确立了正规性的一个必要条件。

作者指出，他们的论证是在与 GPT-5.5 Pro 进行广泛互动后发展起来的，尽管所有由人工智能生成的建议都经过了作者的实质性修订、修正和独立验证。本文最后建议，下一步自然的研究方向是探究是否每一个二进制字符串都在 $E$ 的展开中无限次出现。