On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

기술적 요약: 에르되시 - 보르바인 상수의 이진 자릿수에 관하여

문제 제기
본 논문은 람베르트 급수로 정의된 에르되시 - 보르바인 상수 $E$의 2 진법 (이진법) 전개에 관한 미해결 문제를 다룹니다:
$$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$$
여기서 $d(n)$은 $n$의 양의 약수의 개수입니다. 에르되시 (1948) 가 $E$가 무리수임을 증명했음에도 불구하고, 그 이진 자릿수의 구체적인 분포는 부분적으로 해결되지 않은 채 남아 있었습니다. 2012 년 크랜들은 $E$의 특정 자릿수의 홀짝성을 조사하며, 이진 문자열 "11"(연속된 두 개의 1) 이 $E$의 전개에서 무한히 자주 나타나는지 여부를 질문했습니다. 이 문제는 샬릿에 의해 이후 강조되었습니다. 본 논문은 $E$의 2 진법 전개에서 문자열 "11"이 무한히 자주 나타남을 완전히 증명하는 것을 목표로 합니다.

방법론
본 증명은 중국인의 나머지 정리 (CRT) 와 산술 급수 내 소수 분포에 대한 추정치를 결합한 구성적 접근법을 사용합니다. 방법론은 다음과 같은 단계를 거쳐 진행됩니다:

1. 합동식 구성: 저자들은 약수 함수 $d(n+2)$가 특정 값 ($d(n+2)=6$) 을 갖도록 하고, $n$부터 시작하는 $E$의 급수 전개 꼬리 부분이 충분히 작아지도록 하는 (대수 $X$에 의존하는) 정수 $n$의 수열을 구성합니다.
2. 중국인의 나머지 정리 적용: 신중하게 구성된 법 $A$에 대한 잉여류 $r$을 정의하기 위해 동시 합동식 시스템을 풉니다. 이 법 $A$는 특정 구간 $(L, 2L)$에서 선택된 서로 다른 소수들의 곱으로 형성되며, 여기서 $L \approx (\log X)^2$입니다.
3. 소수 분포 (AGP 보조정리): 법 구성에 적합한 소수의 존재를 보장하기 위해, 논문은 알포드, 그랜빌, 포머런스의 보조정리 (AGP) 를 활용합니다. 이 보조정리는 $\pi(N; d, a)$ (즉, $N$ 이하이고 $a \pmod d$와 합동인 소수) 에 대한 카운팅 함수의 하한을 제공하여, 특정 "예외 집합"의 법들을 피하는 데 필요한 산술 급수 내에 소수가 존재함을 보장합니다.
4. 약수 함수 상한: 증명은 산술 급수 내 약수 함수의 합에 대한 상한 (보조정리 2) 과 급수 $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$의 "꼬리"를 추정하는 것 (보조정리 3) 에 의존합니다. 이러한 상한들은 특정 지점 이후의 항들이 부분합의 정수 성질을 방해하지 않도록 보장합니다.
5. 비둘기집 원리 논증: $d(n_m+2)=6$인 정수 $m$의 개수와 꼬리 합이 "크다"는 정수의 개수를 비교함으로써, 저자들은 꼬리가 충분히 작아 $n$과 $n+1$ 위치의 이진 자릿수를 1 로 강제하는 적어도 하나의 정수 $n$의 존재를 입증합니다.

주요 기여 및 결과

• 크랜들 문제의 해결: 본 논문은 에르되시 - 보르바인 상수의 이진 전개에서 문자열 "11"이 무한히 자주 발생함을 엄밀하게 증명합니다.
• 특정 정수의 구성: 저자들은 $E$의 $n$번째와 $(n+1)$번째 이진 자릿수가 모두 1 이 되도록 하는 정수 $n$의 수열을 명시적으로 구성합니다. 이는 충분히 큰 $X$에 대해 $2^{n-1}E$의 소수부가 구간 $[3/4, 1)$에 존재하는 $n$이 있음을 보임으로써 달성됩니다.
• 고급 정수론의 통합: 이 작업은 0 의 문자열을 포함하는 합동식 구성을 다루는 에르되시의 원래 무리수 증명 기법과 산술 급수 내 소수에 대한 현대적 추정치 (AGP 보조정리) 를 종합하여 자릿수 분포 문제를 해결합니다.
• 꼬리 추정치: 논문은 $E$에 대한 람베르트 급수 전개의 꼬리에 대한 구체적인 상한을 설정하여, 고차항으로부터의 "노이즈"가 제어되어 특정 자릿수 패턴을 드러낼 수 있음을 보여줍니다.

의의 및 주장
본 논문은 2012 년 크랜들의 미해결 문제를 긍정적으로 해결했다고 주장합니다. 그 의의는 에르되시 - 보르바인 상수의 산술적 성질, 특히 그 정규성 (normality) 성질에 대한 이해를 진전시키는 데 있습니다. 본 논문은 $E$가 2-정규 (즉, 모든 유한 이진 문자열이 기대되는 빈도로 나타남) 임을 증명하지는 않지만, 특정 비자명한 문자열 ("11") 의 무한한 발생을 증명함으로써 정규성에 필요한 조건을 확립합니다.

저자들은 그들의 논증이 GPT-5.5 Pro 와의 광범위한 상호작용을 통해 개발되었음을 언급하지만, 모든 AI 생성 제안은 저자에 의해 실질적으로 수정, 교정 및 독립적으로 검증되었다고 명시합니다. 논문은 $E$의 전개에서 모든 이진 문자열이 무한히 자주 나타나는지 조사하는 것이 다음 자연스러운 단계임을 제안하며 마무리합니다.