🔢 mathematics

On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

Dit artikel levert een bevestigend bewijs dat de binaire string "11" oneindig vaak voorkomt in de basis-2-ontwikkeling van de constante van Erdős-Borwein, waarmee een in 2012 door Crandall gesteld open probleem wordt opgelost door middel van een innovatieve combinatie van congruentieconstructies in de stijl van Erdős en schattingen van het priemgetalaantal, waarbij aanzienlijke vooruitgang werd geboekt met hulp van AI.

Oorspronkelijke auteurs: John M. Campbell

Gepubliceerd 2026-05-26

📖 4 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: John M. Campbell

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je een magisch getal voor, laten we het E noemen. Dit getal is speciaal omdat wiskundigen al lang weten dat het "irrationaal" is, wat betekent dat de decimale (of in dit geval, binaire) uitbreiding oneindig doorgaat zonder ooit een patroon te herhalen.

Het getal E wordt opgebouwd door een specifieke lijst van breuken op te tellen:
$E = \frac{1}{2^1-1} + \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \dots$

Wanneer je E uitschrijft in binair (met alleen 0'en en 1'en), ziet het er als volgt uit:
1.1001101101010000010111111...

De Grote Vraag

In 2012 stelde een wiskundige genaamd Richard Crandall een eenvoudige maar lastige vraag: Verschijnt het patroon "11" (twee enen achter elkaar) oneindig vaak in deze eindeloze rij binaire cijfers?

Het is alsof je vraagt: Als je oneindig vaak een munt opgooit, zul je dan uiteindelijk oneindig vaak "Kop-Kop" zien? Voor dit specifieke getal E wist niemand het antwoord meer dan een decennium lang.

De Oplossing

De auteur van dit artikel, John Campbell, zegt: "Ja, dat doet het."

Hij gokte niet zomaar; hij bouwde een wiskundig bewijs om aan te tonen dat hoe ver je ook in het getal E gaat, je altijd meer "11"-patronen zult vinden die op je wachten.

Hoe heeft hij dat gedaan? (De Analogie)

Om dit te bewijzen, gebruikte de auteur een slimme constructie, een beetje zoals het bouwen van een op maat gemaakt slot-en-sleutelsysteem.

Het "Delers"-telspel:
Het getal E is in het geheim verbonden met het aantal "delers" (factoren) dat getallen hebben. Bijvoorbeeld, het getal 6 heeft vier delers (1, 2, 3, 6). De auteur moest specifieke getallen vinden waar het aantal delers zich op een zeer specifieke manier gedroeg.
Het "Chinese Rest"-slot:
Stel je een gigantische kluis voor met veel verschillende sloten. Elk slot opent alleen als je de draaiknop op een specifiek getal zet. De auteur gebruikte een beroemd wiskundig hulpmiddel genaamd de Chinese Reststelling. Denk hierbij aan een mastersleutel die één enkel getal kan vinden dat alle deze verschillende sloten tegelijkertijd opent.

Hij ontwierp een systeem van sloten zodat wanneer hij het "sleutel"-getal vond (laten we het $n$ noemen), het getal $n+2$ precies 6 delers zou hebben, en andere nabijgelegen getallen een enorm aantal delers zouden hebben.
De "Priem"-jacht:
Om ervoor te zorgen dat dit "sleutel"-getal daadwerkelijk bestaat en groot genoeg is, moest hij veel speciale priemgetallen vinden (getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf). Hij gebruikte een kaart van priemgetallen (gebaseerd op werk van Alford, Granville en Pomerance) om te garanderen dat er genoeg "priem-ingrediënten" waren om zijn slotsysteem te bouwen.
Het "Staart"-probleem:
Bij het berekenen van de waarde van E moest de auteur zich zorgen maken over de "staart"—de oneindige som van kleine breuken helemaal aan het einde. Hij moest bewijzen dat deze staart zo klein was dat het het patroon waar hij naar zocht niet zou verstoren. Hij toonde aan dat het "ruis" aan het einde van de berekening te stil was om het "11"-patroon te verbergen.

Het Resultaat

Door deze hulpmiddelen te combineren, bewees de auteur dat hij een startpunt $n$ kon vinden waar:

Het $n$ -de cijfer van E een 1 is.
Het $(n+1)$ -de cijfer van E ook een 1 is.

Omdat hij dit startpunt $n$ zo groot kon maken als hij wilde (door zijn "sloten" groter te maken en grotere priemgetallen te vinden), bewees hij dat het "11"-patroon niet slechts één of twee keer voorkomt; het komt oneindig vaak voor.

Een Opmerking over AI

Het artikel bevat een unieke bekentenis: de auteur ontwikkelde dit complexe bewijs door uitgebreide samenwerking met een AI genaamd GPT-5.5 Pro. De auteur benadrukt echter dat de AI alleen suggesties deed, die hij vervolgens grondig herzag, corrigeerde en verifieerde. Hij neemt de volledige verantwoordelijkheid voor de uiteindelijke wiskunde.

Samenvatting

Kortom: Het artikel lost een twaalf jaar oude mysterie op over een beroemd getal. Het bewijst dat als je diep genoeg kijkt in de binaire code van de constante van Erdős–Borwein, je nooit tekort zult komen aan "11"-paren. Het bewijs is een meesterklas in het gebruik van priemgetallen en modulaire rekenkunde om een specifiek patroon te forceren om te verschijnen.

Technische Samenvatting: Over de binaire cijfers van de constante van Erdős–Borwein

Probleemstelling
Het artikel behandelt een open probleem betreffende de expansie in basis 2 (binair) van de constante van Erdős–Borwein, $E$ , gedefinieerd door de Lambert-reeks:
$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$
waarbij $d(n)$ het aantal positieve delers van $n$ is. Hoewel Erdős (1948) bewees dat $E$ irrationaal is, bleef de specifieke verdeling van de binaire cijfers gedeeltelijk onopgelost. In 2012 onderzocht Crandall de pariteit van specifieke cijfers van $E$ en stelde de vraag of de binaire string "11" (twee opeenvolgende enen) oneindig vaak voorkomt in de expansie van $E$ . Dit probleem werd vervolgens benadrukt door Shallit. Het artikel beoogt een volledig bewijs te leveren dat de string "11" oneindig vaak voorkomt in de expansie in basis 2 van $E$ .

Methodologie
Het bewijs maakt gebruik van een constructieve aanpak die getaltheoretische hulpmiddelen combineert, specifiek de Chinese Reststelling (CRT) en schattingen over de verdeling van priemgetallen in rekenkundige rijen. De methodologie verloopt via de volgende stappen:

Congruentieconstructie: De auteurs construeren een rij van gehele getallen $n$ (afhankelijk van een grote parameter $X$ ) zodanig dat de delerfunctie $d(n+2)$ een specifieke waarde aanneemt ( $d(n+2)=6$ ) en de staart van de reeksontwikkeling van $E$ beginnend bij index $n$ voldoende klein is.
Toepassing van de CRT: Een stelsel van gelijktijdige congruenties wordt opgelost om een restklasse $r$ modulo een zorgvuldig geconstrueerde modulus $A$ te definiëren. Deze modulus $A$ wordt gevormd door producten van verschillende priemgetallen gekozen uit een specifiek interval $(L, 2L)$ , waarbij $L \approx (\log X)^2$ .
Verdeling van priemgetallen (AGP-Lemma): Om de existentie van geschikte priemgetallen voor de constructie van de modulus te waarborgen, maakt het artikel gebruik van een lemma van Alford, Granville en Pomerance (AGP). Dit lemma biedt een ondergrens voor de tel functie $\pi(N; d, a)$ (priemgetallen $\le N$ congruent aan $a \pmod d$ ), en waarborgt dat priemgetallen bestaan in de vereiste rekenkundige rijen die een specifieke "uitzonderlijke verzameling" van modulussen vermijden.
Grenzen voor de delerfunctie: Het bewijs steunt op het begrenzen van de som van delerfuncties over rekenkundige rijen (Lemma 2) en het schatten van de "staart" van de reeks $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ (Lemma 3). Deze grenzen waarborgen dat de bijdrage van termen voorbij een bepaald punt de gehelegetal-eigenschappen van de partiële sommen niet verstoort.
Duivenhokargument: Door het aantal gehele getallen $m$ waarvoor $d(n_m+2)=6$ te vergelijken met het aantal gehele getallen waarvoor de staartsom "groot" is, tonen de auteurs het bestaan aan van ten minste één geheel getal $n$ waarbij de staart klein genoeg is om de binaire cijfers op posities $n$ en $n+1$ tot 1 te dwingen.

Belangrijkste bijdragen en resultaten

Oplossing van Crandalls probleem: Het artikel levert een rigoureus bewijs dat de string "11" oneindig vaak voorkomt in de binaire expansie van de constante van Erdős–Borwein.
Constructie van specifieke gehele getallen: De auteurs construeren expliciet een rij van gehele getallen $n$ zodanig dat het $n$ -de en het $(n+1)$ -de binaire cijfer van $E$ beide 1 zijn. Dit wordt bereikt door aan te tonen dat voor voldoende grote $X$ een $n$ bestaat waarbij $2^{n-1}E$ een fractioneel deel heeft in het interval $[3/4, 1)$ .
Integratie van geavanceerde getaltheorie: Het werk synthetiseert de oorspronkelijke bewijstechnieken van Erdős voor irrationaals (congruentieconstructies met rijen nullen) met moderne schattingen over priemgetallen in rekenkundige rijen (AGP-lemma) om een probleem rond cijferverdeling aan te pakken.
Schattingen van de staart: Het artikel stelt specifieke grenzen vast voor de staart van de Lambert-reeksontwikkeling voor $E$ , en toont aan dat de "ruis" van hogere-orde termen kan worden gecontroleerd om specifieke cijferpatronen bloot te leggen.

Betekenis en claims
Het artikel claimt Crandalls open probleem uit 2012 bevestigend op te lossen. De betekenis ligt in het bevorderen van het begrip van de rekenkundige eigenschappen van de constante van Erdős–Borwein, specifiek zijn normaliteitseigenschappen. Hoewel het artikel niet bewijst dat $E$ 2-normaal is (d.w.z. dat elke eindige binaire string voorkomt met de verwachte frequentie), vestigt het een noodzakelijke voorwaarde voor normaliteit door het oneindige voorkomen van een specifieke niet-triviale string ("11") te bewijzen.

De auteurs merken op dat hun argument is ontwikkeld door middel van uitgebreide interacties met GPT-5.5 Pro, hoewel alle door AI gegenereerde suggesties aanzienlijk zijn herzien, gecorrigeerd en onafhankelijk geverifieerd door de auteur. Het artikel concludeert met de suggestie dat de volgende natuurlijke stap is om te onderzoeken of elke binaire string oneindig vaak voorkomt in de expansie van $E$ .