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On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

Este artigo fornece uma prova afirmativa de que a string binária "11" ocorre infinitas vezes na expansão em base-2 da constante de Erdős-Borwein, resolvendo um problema aberto de 2012 proposto por Crandall por meio de uma combinação inovadora de construções de congruência no estilo de Erdős e estimativas de contagem de números primos, com desenvolvimento significativo auxiliado por IA.

Autores originais: John M. Campbell

Publicado 2026-05-26

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CC BY 4.0

Autores originais: John M. Campbell

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você tem um número mágico, vamos chamá-lo de E. Este número é especial porque os matemáticos sabem há muito tempo que ele é "irracional", o que significa que sua expansão decimal (ou, neste caso, binária) continua para sempre sem nunca repetir um padrão.

O número E é construído somando uma lista específica de frações:
$E = \frac{1}{2^1-1} + \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \dots$

Quando você escreve E em binário (usando apenas 0s e 1s), ele se parece com isto:
1.1001101101010000010111111...

A Grande Questão

Em 2012, um matemático chamado Richard Crandall fez uma pergunta simples, mas complicada: O padrão "11" (dois uns seguidos) aparece infinitas vezes nesta sequência infinita de dígitos binários?

É como perguntar: Se você continuar lançando uma moeda para sempre, eventualmente verá "Cara-Cara" um número infinito de vezes? Para este número específico E, ninguém sabia a resposta por mais de uma década.

A Solução

O autor deste artigo, John Campbell, diz: "Sim, aparece."

Ele não apenas chutou; ele construiu uma prova matemática para mostrar que, não importa o quão longe você vá no número E, você sempre encontrará mais padrões "11" esperando por você.

Como Ele Fez Isso? (A Analogia)

Para provar isso, o autor usou uma construção engenhosa, algo como construir um sistema de fechadura e chave personalizado.

O Jogo de Contagem de "Divisores":
O número E está secretamente conectado ao número de "divisores" (fatores) que os números possuem. Por exemplo, o número 6 tem quatro divisores (1, 2, 3, 6). O autor precisava encontrar números específicos onde a contagem de divisores se comportasse de uma maneira muito específica.
A Fechadura do "Teorema Chinês do Resto":
Imagine que você tem um cofre gigante com muitas fechaduras diferentes. Cada fechadura só abre se você girar o mostrador para um número específico. O autor usou uma famosa ferramenta matemática chamada Teorema Chinês do Resto. Pense nisso como uma chave mestra que pode encontrar um único número que satisfaz todas essas fechaduras diferentes ao mesmo tempo.

Ele projetou um sistema de fechaduras de modo que, quando ele encontrasse o número "chave" (vamos chamá-lo de $n$ ), o número $n+2$ teria exatamente 6 divisores, e outros números próximos teriam um número enorme de divisores.
A Caçada aos "Primos":
Para garantir que esse número "chave" realmente existisse e fosse grande o suficiente, ele precisou encontrar muitos números primos especiais (números divisíveis apenas por 1 e por si mesmos). Ele usou um mapa de números primos (baseado no trabalho de Alford, Granville e Pomerance) para garantir que houvesse "ingredientes primos" suficientes para construir seu sistema de fechaduras.
O Problema da "Cauda":
Ao calcular o valor de E, o autor teve que se preocupar com a "cauda" — a soma infinita de frações minúsculas no final. Ele teve que provar que essa cauda era tão pequena que não atrapalharia o padrão que ele estava procurando. Ele mostrou que o "ruído" no final do cálculo era muito silencioso para esconder o padrão "11".

O Resultado

Ao combinar essas ferramentas, o autor provou que ele podia encontrar um ponto de partida $n$ onde:

O $n$ -ésimo dígito de E é um 1.
O $(n+1)$ -ésimo dígito de E também é um 1.

Como ele podia fazer esse ponto de partida $n$ tão grande quanto quisesse (tornando suas "fechaduras" maiores e encontrando primos maiores), ele provou que o padrão "11" não acontece apenas uma ou duas vezes; acontece infinitas vezes.

Uma Nota sobre IA

O artigo inclui uma admissão única: o autor desenvolveu essa prova complexa através de extensa colaboração com uma IA chamada GPT-5.5 Pro. No entanto, o autor enfatiza que a IA apenas ofereceu sugestões, que ele então revisou, corrigiu e verificou extensivamente. Ele assume total responsabilidade pela matemática final.

Resumo

Em resumo: o artigo resolve um mistério de 12 anos sobre um número famoso. Ele prova que, se você olhar profundamente o suficiente no código binário da constante de Erdős–Borwein, nunca ficará sem pares "11". A prova é uma aula magistral no uso de números primos e aritmética modular para forçar a aparição de um padrão específico.

Resumo Técnico: Sobre os dígitos binários da constante de Erdős–Borwein

Enunciado do Problema
O artigo aborda um problema em aberto relativo à expansão na base 2 (binária) da constante de Erdős–Borwein, $E$ , definida pela série de Lambert:
$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$
onde $d(n)$ é o número de divisores positivos de $n$ . Embora Erdős (1948) tenha provado que $E$ é irracional, a distribuição específica de seus dígitos binários permaneceu parcialmente não resolvida. Em 2012, Crandall investigou a paridade de dígitos específicos de $E$ e levantou a questão de saber se a cadeia binária "11" (dois uns consecutivos) ocorre infinitas vezes na expansão de $E$ . Este problema foi posteriormente destacado por Shallit. O artigo visa fornecer uma prova completa de que a cadeia "11" aparece infinitas vezes na expansão na base 2 de $E$ .

Metodologia
A prova emprega uma abordagem construtiva combinando ferramentas da teoria dos números, especificamente o Teorema Chinês do Resto (TCR) e estimativas sobre a distribuição de primos em progressões aritméticas. A metodologia procede através das seguintes etapas:

Construção de Congruências: Os autores constroem uma sequência de inteiros $n$ (dependente de um parâmetro grande $X$ ) tal que a função divisora $d(n+2)$ assume um valor específico ( $d(n+2)=6$ ) e a cauda da expansão em série de $E$ começando a partir do índice $n$ é suficientemente pequena.
Aplicação do TCR: Um sistema de congruências simultâneas é resolvido para definir uma classe residual $r$ módulo um módulo cuidadosamente construído $A$ . Este módulo $A$ é formado por produtos de primos distintos escolhidos de um intervalo específico $(L, 2L)$ , onde $L \approx (\log X)^2$ .
Distribuição de Primos (Lema AGP): Para garantir a existência de primos adequados para a construção do módulo, o artigo utiliza um lema de Alford, Granville e Pomerance (AGP). Este lema fornece um limite inferior para a função de contagem $\pi(N; d, a)$ (primos $\le N$ congruentes a $a \pmod d$ ), garantindo que existam primos nas progressões aritméticas requeridas que evitam um conjunto "excepcional" específico de módulos.
Limites da Função Divisora: A prova baseia-se em limitar a soma das funções divisoras sobre progressões aritméticas (Lema 2) e estimar a "cauda" da série $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ (Lema 3). Esses limites garantem que a contribuição dos termos além de certo ponto não perturbe as propriedades inteiras das somas parciais.
Argumento do Pigeonhole: Ao comparar o número de inteiros $m$ para os quais $d(n_m+2)=6$ com o número de inteiros para os quais a soma da cauda é "grande", os autores demonstram a existência de pelo menos um inteiro $n$ onde a cauda é pequena o suficiente para forçar os dígitos binários nas posições $n$ e $n+1$ a serem 1.

Contribuições e Resultados Principais

Resolução do Problema de Crandall: O artigo fornece uma prova rigorosa de que a cadeia "11" ocorre infinitas vezes na expansão binária da constante de Erdős–Borwein.
Construção de Inteiros Específicos: Os autores constroem explicitamente uma sequência de inteiros $n$ tal que o $n$ -ésimo e o $(n+1)$ -ésimo dígitos binários de $E$ são ambos 1. Isso é alcançado mostrando que, para $X$ suficientemente grande, existe um $n$ tal que $2^{n-1}E$ tem uma parte fracionária no intervalo $[3/4, 1)$ .
Integração de Teoria dos Números Avançada: O trabalho sintetiza as técnicas originais de prova de irracionalidade de Erdős (construções de congruência envolvendo cadeias de zeros) com estimativas modernas sobre primos em progressões aritméticas (lema AGP) para abordar um problema de distribuição de dígitos.
Estimativas de Cauda: O artigo estabelece limites específicos na cauda da expansão em série de Lambert para $E$ , demonstrando que o "ruído" dos termos de ordem superior pode ser controlado para revelar padrões específicos de dígitos.

Significado e Alegações
O artigo alega resolver o problema aberto de 2012 de Crandall de forma afirmativa. O significado reside no avanço da compreensão das propriedades aritméticas da constante de Erdős–Borwein, especificamente suas propriedades de normalidade. Embora o artigo não prove que $E$ é 2-normal (ou seja, que toda cadeia binária finita aparece com a frequência esperada), ele estabelece uma condição necessária para a normalidade ao provar a ocorrência infinita de uma cadeia não trivial específica ("11").

Os autores observam que seu argumento foi desenvolvido através de interações extensas com o GPT-5.5 Pro, embora todas as sugestões geradas por IA tenham sido substancialmente revisadas, corrigidas e verificadas independentemente pelo autor. O artigo conclui sugerindo que o próximo passo natural é investigar se toda cadeia binária aparece infinitas vezes na expansão de $E$ .