On the binary digits of the Erd\H{o}s-Borwein constant

技術的サマリー：エルデシュ・ボロワイン定数の二進桁について

問題提起
本論文は、ランベルト級数によって定義されるエルデシュ・ボロワイン定数 $E$ の底 2（二進）展開に関する未解決問題に取り組みます。
$$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{2^n}$$
ここで、$d(n)$ は $n$ の正の約数の個数です。エルデシュ（1948 年）は $E$ が無理数であることを証明しましたが、その二進桁の具体的な分布は部分的に未解決のまま残っていました。2012 年、クリンダールは $E$ の特定の桁の偶奇を調査し、$E$ の展開において二進文字列「11」（連続する 2 つの 1）が無限回現れるかどうかという問いを提起しました。この問題はシャリットによって後に強調されました。本論文は、$E$ の底 2 展開において文字列「11」が無限回現れることを完全に証明することを目指します。

手法
証明は、中国剰余定理（CRT）と等差数列における素数の分布に関する評価を組み合わせた数論的ツールを用いた構成的手法を採用しています。手法は以下の手順で進められます。

1. 合同式の構成: 著者らは、除数関数 $d(n+2)$ が特定の値（$d(n+2)=6$）をとり、かつ $E$ の級数展開の $n$ 番目以降の項（テール）が十分に小さくなるような、大きなパラメータ $X$ に依存する整数列 $n$ を構成します。
2. 中国剰余定理の適用: 慎重に構成された法 $A$ に対する剰余類 $r$ を定義するために、同時合同式の連立方程式を解きます。この法 $A$ は、$L \approx (\log X)^2$ である特定の区間 $(L, 2L)$ から選ばれた相異なる素数の積によって形成されます。
3. 素数の分布（AGP 補題）: 法 $A$ の構成に必要な適切な素数の存在を保証するために、アルフォード、グランヴィル、ポメランス（AGP）による補題を利用します。この補題は、$\pi(N; d, a)$（$N$ 以下の $a \pmod d$ に合同な素数）の計数関数に対する下界を提供し、特定の「例外集合」の法を避ける等差数列に素数が存在することを保証します。
4. 除数関数の評価: 証明は、等差数列における除数関数の和を評価する（補題 2）ことと、級数 $\sum d(n+\ell)2^{-\ell}$ の「テール」を見積もる（補題 3）ことに依存しています。これらの評価により、ある点以降の項の寄与が部分和の整数性を乱さないことを保証します。
5. 鳩の巣原理による議論: $d(n_m+2)=6$ となる整数 $m$ の個数と、テール和が「大きい」となる整数の個数を比較することで、著者らはテールが十分に小さく、位置 $n$ と $n+1$ の二進桁を強制的に 1 にする少なくとも 1 つの整数 $n$ の存在を実証します。

主要な貢献と結果

• クリンダールの問題の解決: 本論文は、エルデシュ・ボロワイン定数の二進展開において文字列「11」が無限回現れることを厳密に証明しました。
• 特定の整数の構成: 著者らは、$E$ の $n$ 番目および $(n+1)$ 番目の二進桁がともに 1 となるような整数列 $n$ を明示的に構成しました。これは、十分に大きな $X$ に対して、$2^{n-1}E$ の小数部が区間 $[3/4, 1)$ に存在する $n$ が存在することを示すことで達成されます。
• 高度な数論の統合: この研究は、ゼロの列を含む合同式構成というエルデシュの元の無理数性証明の手法と、等差数列における素数に関する現代的な評価（AGP 補題）を統合し、桁分布の問題に取り組みました。
• テール評価: 本論文は、$E$ のランベルト級数展開のテールに対する具体的な評価を確立し、高次項からの「ノイズ」を制御して特定の桁パターンを明らかにできることを示しました。

意義と主張
本論文は、クリンダールの 2012 年の未解決問題を肯定的に解決したと主張しています。その意義は、特に正規性に関するエルデシュ・ボロワイン定数の算術的性質の理解を深める点にあります。本論文は $E$ が 2-正規（すなわち、すべての有限二進文字列が期待される頻度で現れる）であることを証明するものではありませんが、特定の非自明な文字列（「11」）の無限回の出現を証明することで、正規性に対する必要条件を確立しています。

著者らは、彼らの議論が GPT-5.5 Pro との広範な相互作用を通じて発展させたことを付記していますが、生成されたすべての AI による提案は著者によって実質的に改訂、修正、独立して検証されたものです。論文は、$E$ の展開においてすべての二進文字列が無限回現れるかどうかを調査することが次の自然なステップであると結論付けています。