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A Novel EOQ Model for Deteriorating Items with Non-Zero Initial Ramp-Type Demand and Two-Phase Discounting

Dieses Papier schlägt ein neuartiges EOQ-Modell für verderbliche Artikel vor, das eine nicht-null initiale Rampen-Nachfrage sowie eine zweiphasige Diskontierungspolitik integriert, um das Bestandsmanagement unter zeitabhängiger Verschlechterung und ohne Fehlmengen zu optimieren.

Ursprüngliche Autoren: Rina Khatun, Shariful Alam, Khairul Habib Alam

Veröffentlicht 2026-09-16

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Rina Khatun, Shariful Alam, Khairul Habib Alam

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich eine Welt vor, in der jedes Produkt, das Sie kaufen, eine tickende Uhr besitzt – nicht nur für den Zeitpunkt, an dem es abläuft, sondern auch dafür, wie sich sein Wert und seine Attraktivität in dem Moment verändern, in dem es im Regal liegt. Dies ist die Realität für Branchen, die mit verderblichen Waren zu tun haben, von frischem Obst und Gemüse über Medikamente bis hin zu Mode und Elektronik. Diese Artikel verharren nicht in einem statischen Zustand; sie verlieren mit der Zeit langsam an Qualität, ein Prozess, der als Verderblichkeit bekannt ist. Gleichzeitig ist das Verlangen nach diesen Artikeln selten konstant. Es beginnt oft mit einem Schub an Interesse, vielleicht ausgelöst durch eine neue Werbekampagne oder eine Vorbestellaktion, wächst, während mehr Menschen davon hören, und pendelt sich schließlich in einem stetigen Rhythmus ein, sobald der Markt gesättigt ist. Über Jahrzehnte hinweg waren die mathematischen Werkzeuge zur Verwaltung dieser Güter zu simpel; sie gingen oft davon aus, dass die Nachfrage bei Null beginnt und flach bleibt, oder dass Artikel erst nach einem langen, statischen Zeitraum zu verderben beginnen. Diese Vereinfachungen lassen Wirtschaftsmanager ohne eine klare Landkarte zurück, um die komplexe, sich ständig verändernde Landschaft realer Lagerbestände zu navigieren.

Eine neue Studie von Forschern des IIEST Shibpur und der SRM University zielt darauf ab, dies zu korrigieren, indem sie ein realistischeres Modell für die Lagerung und den Verkauf verderblicher Artikel erstellt wird. Anstatt sich auf starre, veraltete Annahmen zu verlassen, konstruierten die Autoren ein System, das berücksichtigt, dass die Nachfrage aufgrund von Marketingbemühungen oft auf einem positiven Niveau beginnt, dann ansteigt und sich schließlich stabilisiert. Sie erkannten auch, dass die Art und Weise, wie ein Produkt degradiert, oft direkt mit der Zeit verknüpft ist, die es bereits gelagert hat, wobei die Rate des Rückgangs mit der Zeit steigt. Um das Modell noch praktischer zu gestalten, führten die Forscher eine Strategie der Verwendung unterschiedlicher Rabattpreise ein: einmal vor dem Beginn des Verderbs des Artikels und ein weiteres Mal, nachdem dieser begonnen hat, an Qualität zu verlieren. Dieser zweiphasige Ansatz ermöglicht es Unternehmen, den frühen Verkauf anzukören und dann die Preise anzupassen, um den Bestand zu räumen, bevor er unverkäuflich wird, während gleichzeitig sichergestellt wird, dass das Geschäft niemals leerläuft.

Die Forscher entwickelten einen mathematischen Rahmen, um den perfekten Zeitpunkt für die Nachbestellung und die ideale Menge zu berechnen, mit dem Ziel, den Gewinn über einen unendlichen Zeitraum zu maximieren. Sie testeten dieses Modell unter Verwendung eines spezifischen Satzes von Bedingungen, die ein reales Geschäftsszenario nachahmen. In ihrer Simulation setzten sie die Anfangsnachfrage auf eine spezifische positive Zahl, die das unmittelbare Interesse durch Werbung repräsentiert, und ließen sie linear wachsen, bevor sie in ein stetiges, stabiles Nachfragemuster überging. Sie wandten eine lineare Verderblichkeitsrate an, was bedeutet, dass die Artikel mit fortschreitender Zeit schneller an Wert verlieren, und verwendeten unterschiedliche Rabattfaktoren für die Zeiträume vor und nach Beginn des Verderbs. Durch die Durchführung dieser Berechnungen auf einem Computer fanden sie eine spezifische Zykluszeit von etwa 4,40 Zeiteinheiten, die den höchsten durchschnittlichen Gewinn von etwa 33.240 Währungseinheiten lieferte, bei einem optimalen Anfangslagerbestand von etwa 6.913 Artikeln.

Um sicherzustellen, dass ihre Ergebnisse robust und nicht nur ein Zufallsprodukt eines spezifischen Datensatzes sind, führten die Teams eine Reihe von Sensitivitätstests durch. Sie änderten systematisch jeweils einen Schlüsselfaktor bei sonst gleichbleibenden Bedingungen, um zu sehen, wie das System reagierte. Als sie die durch Werbung getriebene Anfangsnachfrage erhöhten, beobachteten sie, dass der Gesamtgewinn signifikant stieg, was bestätigte, dass frühe Marketingbemühungen ein mächtiger Hebel für den finanziellen Erfolg sind. Wenn sie jedoch die Rate des Verderbs erhöhten, waren die Ergebnisse drastisch anders. Eine schnellere Zerfallsrate zwang das Unternehmen dazu, die Bestellzyklen zu verkürzen, die Menge der gelagerten Bestände zu reduzieren und einen starken Rückgang des Gesamtgewinns hinzunehmen. Dies verdeutlichte, dass das Management der Geschwindigkeit des Verderbs entscheidend ist; selbst kleine Zunahmen in der Geschwindigkeit, mit der Artikel verderben, können die finanzielle Leistung untergraben.

Die Studie untersuchte auch, wie verschiedene Preisstrategien und Kosten das Ergebnis beeinflussten. Sie fanden heraus, dass der Verkaufspreis des Artikels einen starken, positiven Effekt auf den Gewinn hatte, während die Anschaffungskosten der Artikel und die Lagerhaltungskosten wie Bremsen wirkten, die sowohl den optimalen Lagerbestand als auch den Gesamtertrag reduzierten. Interessanterweise hatte die spezifische Form der Nachfragekurve und der genaue Zeitpunkt, an dem der Verderb begann, einen gemischten Effekt – sie verlängerten den Bestellzyklus manchmal und verkürzten ihn manchmal, je nach dem Gleichgewicht zwischen der Geschwindigkeit, mit der der Markt das Produkt wollte, und der Geschwindigkeit, mit der das Produkt verdarb. Die Forscher kamen zu dem Schluss, dass ihr Modell zwar ein bedeutender Schritt zum Verständnis dieser Dynamiken ist, es sich jedoch um eine Simulation handelt, die auf spezifischen Annahmen basiert, wie etwa dem Ausbleiben von Lagerfehlbeständen. Sie schlugen vor, dass zukünftige Arbeiten dieses Modell erweitern könnten, um Situationen einzubeziehen, in denen ein Lagerfehlbestand möglich ist, oder um komplexere Realitäten der Lieferkette zu berücksichtigen, aber für den Moment bietet dieser Ansatz ein klareres, anpassungsfähigeres Werkzeug für Manager, die versuchen, die tickende Uhr des Produktverderbs mit der steigenden Flut der Kundennachfrage in Einklang zu bringen.

Technische Zusammenfassung: Ein neuartiges EOQ-Modell für verderbliche Artikel mit nicht-null Initial-Rampen-Nachfrage und zweiphasiger Preisermäßigung

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der Herausforderung der Bestandsverwaltung für verderbliche Artikel unter realistischen Marktbedingungen, die klassische Economic Order Quantity (EOQ)-Modelle oft nicht erfassen. Traditionelle Modelle gehen typischerweise von konstanter Nachfrage und einer Null-Initialnachfrage aus und ignorieren das dynamische Zusammenspiel zwischen Werbung, Produktlebenszyklen und zeitabhängigem Verderb. Die Autoren identifizieren eine Forschungslücke in der bestehenden Literatur, in der Faktoren wie die durch Werbung getriebene nicht-null Initialnachfrage, eine allgemeine Rampen-Typ-Nachfrage-Stabilisierung, zeitproportionaler Verderb sowie unterschiedliche Preisminderungsstrategien vor und nach dem Verderb selten in einem einzigen, einheitlichen Rahmen integriert werden. Das Ziel ist die Entwicklung eines unendlichen Horizonts, eines Modells ohne Fehlbestände, das gleichzeitig diese komplexen, realen Variablen berücksichtigt, um die Bestellzyklen zu optimieren und den durchschnittlichen Gewinn zu maximieren.

Methodik
Die Studie formuliert ein deterministisches Bestandsmodell für ein Single-Item-System mit einem unendlichen Planungszeitraum und ohne Fehlbestände. Die Methodik umfasst die folgenden Kernkomponenten:

Nachfragestruktur:
- Vor-Verderbs-Phase ( $0 \le t \le d$ ): Die Nachfrage wird als lineare Funktion $D_1(t) = \alpha + \beta t$ modelliert, wobei $\alpha > 0$ eine nicht-null Initialnachfrage darstellt, die durch Werbung oder Vorbestellungen getrieben wird, und $\beta$ die Wachstumsrate repräsentiert.
- Nach-Verderbs-Phase ( $t \ge d$ ): Die Nachfrage folgt einer allgemeinen Rampen-Typ-Funktion $D_2(t)$ , die bis zu einer Stabilisierungszeit $r$ ansteigt und danach konstant auf $f(r)$ bleibt.
- Rabatt-Anpassung: Das Modell beinhaltet ein zweiphasiges Rabattschema. Die Nachfrage in der Vor-Verderbs-Phase wird durch einen Faktor $d_a = (1-d_1)^{-p}$ skaliert, und in der Nach-Verderbs-Phase durch $d_b = (1-d_2)^{-q}$ , wobei $d_1$ und $d_2$ die Rabattsätze sind und $p, q$ deren Intensität steuern.
Verderb:
- Es wird von einem zeitabhängigen Verderb ausgegangen, der proportional zur Zeit verläuft und durch die Rate $D(t) = \xi t$ dargestellt wird. Diese lineare Form spiegelt einen graduellen Verlust an Qualität oder Nutzen während der Lagerung wider.
Mathematische Formulierung:
- Die Lagerbestände werden durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) über drei Intervalle gesteuert: vor dem Verderb ( $0 \le t \le d$ ), während des Nachfrageanstiegs nach dem Verderb ( $d \le t \le r$ ) und während der Stabilisierungsphase ( $r \le t \le t_1$ ).
- Die Autoren leiten geschlossene Lösungen für den Lagerbestand $I(t)$ und die gesamte nachgefragte Menge $Q(t)$ durch Integration dieser ODEs mit spezifischen Randbedingungen ( $I(0)=I$ und $I(t_1)=0$ ) her.
- Eine durchschnittliche Gewinnfunktion ( $AP$ ) wird konstruiert, die Umsatz, Anschaffungskosten, Lagerhaltungskosten, Verderbskosten, Bestellkosten und Werbekosten einbezieht.
Optimierung:
- Die optimale Zykluszeit $t_1^*$ wird durch Lösen der notwendigen Bedingung erster Ordnung $\frac{d(AP)}{dt_1} = 0$ bestimmt. Dies führt zu einer nicht-linearen Gleichung unter Verwendung der Ableitung des Gesamtgewinns nach der Zeit (Gleichung 25).
- Geschlossene Formeln für die optimale Lagerhaltungspolitik werden erstellt, und es werden numerische Illustrationen mittels MATLAB bereitgestellt, um die Anwendung dieser Formeln zu demonstrieren und eine Sensitivitätsanalyse durchzuführen.

Kernergebnisse
Die Arbeit präsentiert ein numerisches Beispiel und eine umfassende Sensitivitätsanalyse, um das Modell zu validieren und die Auswirkungen der Parameter zu untersuchen:

Optimale Lösung: Unter Verwendung eines spezifischen Parametersatzes (z. B. $\alpha=53, \beta=3, \xi=0,073$ ) liefert das Modell eine optimale Zykluszeit $t_1^* \approx 4,3985$ , einen initialen Lagerbestand $I^* \approx 6913,18$ und einen durchschnittlichen Gewinn $AP^* \approx 33.240,42$ .
Sensitivitätsanalyse:
- Verderbsrate ( $\xi$ ): Diese wird als kritischer Faktor identifiziert. Mit steigendem $\xi$ verkürzt sich die optimale Zykluszeit, die Lagerbestände sinken drastisch und der durchschnittliche Gewinn nimmt signifikant ab. Dies verdeutlicht die finanziellen Einbußen durch schnellen Verderb.
- Nachfrageparameter ( $\alpha, \beta$ ): Erhöhungen der Initialnachfrage ( $\alpha$ ) und der Wachstumsrate ( $\beta$ ) führen zu höheren Lagerbeständen und einer signifikant verbesserten Rentabilität, obwohl die Zykluszeit relativ stabil bleibt.
- Rabattierung ( $d_1, d_2$ ): Der Rabatt nach dem Verderb ( $d_2$ ) hat eine konstruktivere Auswirkung auf den Gewinn als der Rabatt vor dem Verderb ( $d_1$ ).
- Kosten ( $C, h$ ): Erhöhungen der Anschaffungskosten ( $C$ ) und der Lagerhaltungskosten ( $h$ ) wirken sich negativ auf sowohl die Lagerbestände als auch die Rentabilität aus, was kürzere Zykluszeiten erforderlich macht, um Verluste zu minimieren.
- Stabilisierungszeit ( $r$ ): Eine längere Stabilisierungsperiode unterstützt im Allgemeinen höhere Rentabilität und Lagerbestände.

Bedeutung und Beiträge
Die Arbeit behauptet, spezifische Forschungslücken zu schließen, indem sie vier unterschiedliche Merkmale in einen einzigen EOQ-Rahmen integriert:

Nicht-null Initialnachfrage: Im Gegensatz zu klassischen Rampen-Typ-Modellen, die bei Null beginnen, berücksichtigt dieses Modell die durch Werbung generierte Initialnachfrage, was eine realistischere Darstellung von Produkteinführungen bietet.
Allgemeine Rampen-Typ-Nachfrage: Es verwendet eine flexible Nachfragefunktion, die nach einer bestimmten Zeit stagniert, und bildet so den gesamten Produktlebenszyklus vom Wachstum bis zur Reife ab.
Zweiphasige Rabattierung: Das Modell führt unterschiedliche Rabattpolitiken für die Vor- und Nach-Verderbs-Phase ein und bietet somit einen Mechanismus, um Nachfrage und Verluste während des Alterungsprozesses des Produkts unterschiedlich zu steuern.
Einheitlicher unendlicher Horizont-Rahmen: Es kombendo die Effekte der Werbung, den zeitproportionalen Verderb und duale Rabatte in einem Modell ohne Fehlbestände mit unendlichem Horizont und erweitert damit bestehende Modelle, die diese Faktoren meist isoliert behandeln.

Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass das vorgeschlagene Modell Managern ein fortschrittliches Werkzeug für Preisgestaltungs- und Bestelentscheidungen bietet, insbesondere für Branchen, die mit verderblichen oder degradierbaren Gütern (z. B. Lebensmittel, Medikamente, Elektronik) zu tun haben, bei denen Nachfragedynamik und Verderbsraten entscheidend sind. Die Studie legt nahe, dass die Kontrolle des Verderbs und die Optimierung des Nachfragewachstums durch Werbung und strategische Rabattierung zentrale Hebel zur Steigerung der Systemstabilität und Rentabilität sind. Zukünftige Arbeiten werden vorgeschlagen, um das Modell um Fehlbestände, Zahlungsziele (Trade Credit) oder stochastische Nachfrage zu erweitern.

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