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A Novel EOQ Model for Deteriorating Items with Non-Zero Initial Ramp-Type Demand and Two-Phase Discounting

Questo articolo propone un nuovo modello EOQ per articoli deperibili che incorpora una domanda iniziale di tipo ramp non nulla e una politica di sconto a due fasi per ottimizzare la gestione dell'inventario in presenza di deterioramento tempo-dipendente e assenza di rotture di stock.

Autori originali: Rina Khatun, Shariful Alam, Khairul Habib Alam

Pubblicato 2026-09-16

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CC BY 4.0

Autori originali: Rina Khatun, Shariful Alam, Khairul Habib Alam

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

Immaginate un mondo in cui ogni prodotto che acquistate ha un orologio che ticchetta, non solo per indicare quando scade, ma anche per quanto il suo valore e il suo fascino cambino nel momento stesso in cui si trova su uno scaffale. Questa è la realtà per i settori che trattano beni deperibili, dalla frutta e verdia fresche ai medicinali, fino alla moda e l'elettronica. Questi articoli non restano fermi; perdono lentamente qualità nel tempo, un processo noto come deterioramento. Allo stesso tempo, il desiderio per questi articoli è raramente costante. Spesso inizia con un'esplosione di interesse, forse stimolata da una nuova pubblicità o da una campagna di pre-ordine, cresce man mano che altre persone ne sentono parlare e infine si assesta in un ritmo costante una volta che il mercato è saturo. Per decenni, gli strumenti matematici utilizzati per gestire questi beni sono stati troppo semplici, assumendo spesso che la domanda partisse da zero e rimanesse piatta, o che gli articoli iniziassero a deteriorarsi solo dopo un lungo periodo statico. Queste semplificazioni lasciano i manager aziendali senza una mappa chiara per navigare nel complesso e mutevole panorama dell'inventario del mondo reale.

Un nuovo studio condotto da ricercatori dell'IIEST Shibpur e della SRM University mira a correggere questo aspetto, costruendo un modello più realistico su come stoccare e vendere articoli deperibili. Invece di affidarsi ad assunzioni rigide e superate, gli autori hanno costruito un sistema che tiene conto del fatto che la domanda spesso inizia da un livello positivo dovuto alle attività di marketing, per poi crescere prima di stabilizzarsi. Hanno inoltre riconosciuto che il modo in cui un prodotto si degrada è spesso collegato direttamente a quanto tempo è stato conservato, con il tasso di declino che aumenta nel tempo. Per rendere il modello ancora più pratico, i ricercatori hanno introdotto una strategia di utilizzo di diversi prezzi scontati prima che l'articolo inizi a deteriorarsi e di nuovo dopo che ha iniziato a perdere qualità. Questo approccio a due fasi consente alle aziende di stimolare le vendite precoci e poi di regolare i prezzi per smaltire le scorte prima che diventino invendibili, il tutto garantendo che il negozio non rimanga mai senza prodotto.

I ricercatori hanno sviluppato un quadro matematico per calcolare il momento perfetto per riordinare le scorte e la quantità ideale da ordinare, con l'obiettivo di massimizzare il profitto su una linea temporale infinita. Hanno testato questo modello utilizzando un set specifico di condizioni che simulano un vero scenario aziendale. Nella loro simulazione, hanno impostato la domanda iniziale a un numero positivo specifico, che rappresenta l'interesse immediato generato dalla pubblicità, e l'hanno lasciata crescere linearmente prima di passare a un modello di domanda costante e stabile. Hanno applicato un tasso di deterioramento lineare, il che significa che gli articoli perdono valore più velocemente con il passare del tempo, e hanno utilizzato distinti fattori di sconto per i periodi precedenti e successivi all'inizio del deterioramento. Eseguendo questi calcoli al computer, hanno scoperto che un ciclo temporale di circa 4,40 unità di tempo produceva il profitto medio più elevato, che ammontava a circa 33.240 unità di valuta, con un livello di inventario iniziale ottimale di circa 6.913 articoli.

Per garantire che i loro risultati fossero robusti e non solo un colpo di fortuna dovuto a un particolare set di numeri, il team ha eseguito una serie di test di sensibilità. Hanno modificato sistematicamente un fattore chiave alla volta, mantenendo tutto il resto costante, per vedere come reagiva il sistema. Quando hanno aumentato la domanda iniziale guidata dalla pubblicità, hanno osservato che il profitto totale aumentava significativamente, confermando che le prime attività di marketing sono una leva potente per il successo finanziario. Tuttavia, quando hanno aumentato il tasso di deterioramento degli articoli, i risultati sono stati drasticamente diversi. Un tasso di decadimento più rapido ha costretto l'azienda ad accorciare i cicli di ordinazione, ridurre la quantità di scorte detenute e accettare un forte calo del profitto complessivo. Ciò ha evidenziato che la gestione della velocità di deterioramento è critica; anche piccoli aumenti nella velocità con cui gli articoli si deteriorano possono erodere le prestazioni finanziarie.

Lo studio ha anche esplorato come diverse strategie di prezzo e costi influenzassero il risultato. Hanno scoperto che il prezzo di vendita dell'articolo aveva un effetto positivo e forte sul profitto, mentre il costo di acquisto degli articoli e il costo di mantenimento in magazzino agivano come freni, riducendo sia il livello ottimale di inventario che i guadagni totali. Interessante è stato il fatto che la forma specifica della curva di domanda e il momento esatto in cui era iniziato il deterioramento avessero un effetto misto, talvolta estendendo il ciclo di ordinazione e talvolta accorciandolo, a seconda dell'equilibrio tra la velocità con cui il mercato desiderava il prodotto e la velocità con cui il prodotto si deteriorava. I ricercatori hanno concluso che, sebbene il loro modello sia un passo significativo nella comprensione di queste dinamiche, si tratta di una simulazione basata su assunzioni specifiche, come l'assenza di carenze di scorte. Suggeriscono che il lavoro futuro potrebbe espandere questo modello per includere situazioni in cui l'esaurimento delle scorte è possibile o per tenere conto di realtà della catena di approvvigionamento più complesse, ma per ora, questo approccio offre uno strumento più chiaro e adattabile per i manager che cercano di bilanciare il ticchettio dell'orologio del decadimento del prodotto con l'ondata crescente della domanda dei clienti.

Sintesi Tecnica: Un Nuovo Modello EOQ per Articoli Deteriorabili con Domanda Iniziale di Tipo Ramp Non Nulla e Sconti a Due Fasi

Problematica
Il documento affronta la sfida della gestione dell'inventario per articoli deteriorabili in condizioni di mercato realistiche che i modelli classici della Quantità Economica d'Ordine (EOQ) spesso non riescono a catturare. I modelli tradizionali assumono tipicamente una domanda costante, una domanda iniziale nulla e ignorano l'interazione dinamica tra pubblicità, cicli di vita del prodotto e deterioramento dipendente dal tempo. Gli autori identificano una lacuna nella letteratura esistente dove fattori quali la domanda iniziale non nulla guidata dalla pubblicità, la stabilizzazione della domanda di tipo ramp generale, il deterioramento proporzionale al tempo e le politiche di sconto distinte per le fasi pre e post-deterioramento sono raramente integrati in un unico framework unificato. L'obiettivo è sviluppare un modello di inventario a orizzonte infinito, senza rotture di stock, che tenga conto simultaneamente di queste complesse variabili del mondo reale per ottimizzare i cicli di riapprovvigionamento e massimizzare il profitto medio.

Metodologia
Lo studio formula un modello di inventario deterministico per un sistema a articolo singolo con un orizzonte di pianificazione infinito e assenza di rotture di stock. La metodologia comprende i seguenti componenti chiave:

Struttura della Domanda:
- Fase di Pre-deterioramento ( $0 \le t \le d$ ): La domanda è modellata come una funzione lineare $D_1(t) = \alpha + \beta t$ , dove $\alpha > 0$ rappresenta una domanda iniziale non nulla guidata dalla pubblicità o dai pre-ordini, e $\beta$ rappresenta il tasso di crescita.
- Fase di Post-deterioramento ( $t \ge d$ ): La domanda segue una funzione di tipo ramp generale $D_2(t)$ che aumenta fino a un tempo di stabilizzazione $r$ , dopodiché rimane costante a $f(r)$ .
- Regolazione dello Sconto: Il modello incorpora uno schema di sconto a due fasi. La domanda nella fase di pre-deterioramento è scalata da un fattore $d_a = (1-d_1)^{-p}$ , e nella fase di post-deterioramento da $d_b = (1-d_2)^{-q}$ , dove $d_1$ e $d_2$ sono i tassi di sconto, e $p, q$ controllano la loro intensità.
Deterioramento:
- Si assume che il deterioramento sia dipendente dal tempo e proporzionale al tempo, rappresentato dal tasso $D(t) = \xi t$ . Questa forma lineare riflette una graduale perdita di qualità o utilità durante lo stoccaggio.
Formulazione Matematica:
- I livelli di inventario sono governati da un sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) attraverso tre intervalli: prima del deterioramento ( $0 \le t \le d$ ), durante la fase di crescita della domanda dopo il deterioramento ( $d \le t \le r$ ), e durante la fase di stabilizzazione ( $r \le t \le t_1$ ).
- Gli autori derivano soluzioni in forma chiusa per il livello di inventario $I(t)$ e il totale delle unità domandate $Q(t)$ integrando queste ODE con specifiche condizioni al contorno ( $I(0)=I$ e $I(t_1)=0$ ).
- Una funzione di profitto medio ( $AP$ ) viene costruita incorporando ricavi, costi di acquisto, costi di mantenimento, costi di deterioramento, costi di ordine e costi pubblicitari.
Ottimizzazione:
- Il tempo di ciclo ottimale $t_1^*$ viene determinato risolvendo la condizione del primo ordine $\frac{d(AP)}{dt_1} = 0$ . Ciò porta a un'equazione non lineare che coinvolge la derivata del profitto totale rispetto al tempo (Eq. 25).
- Formule in forma chiusa per la politica di inventario ottimale vengono costruite e sono fornite illustrazioni numeriche utilizzando MATLAB per dimostrare l'applicazione di tali formule e per eseguire l'analisi di sensibilità.

Risultati Chiave
Il documento presenta un esempio numerico e un'analisi di sensibilità completa per validare il modello ed esplorare l'impatto dei parametri:

Soluzione Ottimale: Utilizzando un set specifico di parametri (ad es. $\alpha=53, \beta=3, \xi=0.073$ ), il modello produce un tempo di ciclo ottimale $t_1^* \approx 4.3985$ , un livello di inventario iniziale $I^* \approx 6913.18$ e un profitto medio $AP^* \approx 33,240.42$ .
Analisi di Sensibilità:
- Tasso di Deterioramento ( $\xi$ ): Questo è identificato come un fattore critico. All'aumentare di $\xi$ , il tempo di ciclo ottimale si accorcia, i livelli di inventario scendono drasticamente e il profitto medio diminuisce significativamente. Ciò evidenzia la penalità finanziaria di un rapido deterioramento.
- Parametri della Domanda ( $\alpha, \beta$ ): L'aumento della domanda iniziale ( $\alpha$ ) e del tasso di crescita ( $\beta$ ) porta a livelli di inventario più elevati e a una redditività significativamente migliorata, sebbene il tempo di ciclo rimanga relativamente stabile.
- Sconto ( $d_1, d_2$ ): Lo sconto post-deterioramento ( $d_2$ ) ha un impatto più costruttivo sul profitto rispetto allo sconto pre-deterioramento ( $d_1$ ).
- Costi ( $C, h$ ): L'aumento del costo di acquisto ( $C$ ) e del costo di mantenimento ( $h$ ) impatta negativamente sia sui livelli di inventario che sulla redditività, richiedendo tempi di ciclo più brevi per mitigare le perdite.
- Tempo di Stabilizzazione ( $r$ ): Un periodo di stabilizzazione più lungo supporta generalmente una maggiore redditività e livelli di inventario più elevati.

Significatività e Contributi
Il documento sostiene di colmare specifici gap di ricerca integrando quattro caratteristiche distinte in un unico framework EOQ:

Domanda Iniziale Non Nulla: A differenza dei modelli ramp classici che partono da zero, questo modello tiene conto della domanda iniziale generata dalla pubblicità, offrendo una rappresentazione più realistica dei lanci di prodotti.
Domanda di Tipo Ramp Generale: Utilizza una funzione di domanda flessibile che si stabilizza dopo un tempo specifico, catturando l'intero ciclo di vita del prodotto dalla crescita alla maturità.
Sconto a Due Fasi: Il modello introduce politiche di sconto distinte per le fasi di pre- e post-deterioramento, fornendo un meccanismo per gestire diversamente la domanda e le perdite man mano che il prodotto invecchia.
Framework Unificato a Orizzonte Infinito: Combina gli effetti pubblicitari, il deterioramento proporzionale al tempo e i doppi sconti in un contesto di assenza di rotture di stock e orizzonte infinito, estendendo i modelli esistenti che tipicamente trattano questi fattori isolatamente.

Gli autori concludono che il modello proposto offre ai manager uno strumento avanzato per le decisioni di prezzo e riapprovvigionamento, in particolare per le industrie che trattano beni deperibili o degradabili (ad es. alimentari, medicinali, elettronica) dove le dinamiche della domanda e i tassi di deterioramento sono critici. Lo studio suggerisce che il controllo del deterioramento e l'ottimizzazione della crescita della domanda attraverso la pubblicità e lo sconto strategico sono leve chiave per migliorare la stabilità e la redditività del sistema. Il lavoro futuro suggerisce di estendere il modello includendo rotture di stock, credito commerciale o domanda stocastica.

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