A Novel EOQ Model for Deteriorating Items with Non-Zero Initial Ramp-Type Demand and Two-Phase Discounting

Resumen Técnico: Un Nuevo Modelo EOQ para Artículos con Deterioro con Demanda de Tipo Rampa Inicial No Nula y Descuento en Dos Fases

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de gestionar el inventario de artículos con deterioro bajo condiciones de mercado realistas que los modelos clásicos de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) suelen no capturar. Los modelos tradicionales típicamente asumen una demanda constante, una demanda inicial de cero e ignoran la interacción dinámica entre la publicidad, los ciclos de vida del producto y el deterioro dependiente del tiempo. Los autores identifican una brecha en la literatura existente donde factores como la demanda inicial impulsada por la publicidad, la estabilización de la demanda de tipo rampa general, el deterioro proporcional al tiempo y las políticas de descuento distintas para las fases de pre y post deterioro rara vez se integran en un único marco unificado. El objetivo es desarrollar un modelo de inventario de horizonte infinito y sin faltantes que considere simultáneamente estas variables complejas y del mundo real para optimizar los ciclos de reabastecimiento y maximizar el beneficio promedio.

Metodología
El estudio formula un modelo de inventario determinista para un sistema de un solo artículo con un horizonte de planificación infinito y sin faltantes. La metodología involucra los siguientes componentes clave:

1. Estructura de la Demanda:

   • Fase de Pre-deterioro ($0 \le t \le d$): La demanda se modela como una función lineal $D_1(t) = \alpha + \beta t$, donde $\alpha > 0$ representa una demanda inicial no nula impulsada por la publicidad o preventas, y $\beta$ representa la tasa de crecimiento.
   • Fase de Post-deterioro ($t \ge d$): La demanda sigue una función de tipo rampa general $D_2(t)$ que aumenta hasta un tiempo de estabilización $r$, tras el cual permanece constante en $f(r)$.
   • Ajuste de Descuento: El modelo incorpora un esquema de descuento de dos fases. La demanda en la fase de pre-deterioro se escala por un factor $d_a = (1-d_1)^{-p}$, y en la fase de post-deterioro por $d_b = (1-d_2)^{-q}$, donde $d_1$ y $d_2$ son tasas de descuento, y $p, q$ controlan su intensidad.

2. Deterioro:

   • Se asume que el deterioro es dependiente del tiempo y proporcional al tiempo, representado por la tasa $D(t) = \xi t$. Esta forma lineal refleja una pérdida gradual de calidad o utilidad durante el almacenamiento.

3. Formulación Matemática:

   • Los niveles de inventario están gobernados por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) a través de tres intervalos: antes del deterioro ($0 \le t \le d$), durante el aumento de la rampa de la demanda después del deterioro ($d \le t \le r$), y durante la fase de estabilización ($r \le t \le t_1$).
   • Los autores derivan soluciones de forma cerrada para el nivel de inventario $I(t)$ y la cantidad total demandada $Q(t)$ integrando estas ODE con condiciones de contorno específicas ($I(0)=I$ e $I(t_1)=0$).
   • Se construye una función de beneficio promedio ($AP$), que incorpora ingresos, costos de compra, costos de mantenimiento, costos de deterioro, costos de pedido y costos de publicidad.

4. Optimización:

   • El tiempo de ciclo óptimo $t_1^*$ se determina resolviendo la condición de primer orden $\frac{d(AP)}{dt_1} = 0$. Esto conduce a una ecuación no lineal que involucra la derivada del beneficio total con respecto al tiempo (Eq. 25).
   • Se construyen fórmulas de forma cerrada para la política de inventario óptima y se proporcionan ilustraciones numéricas utilizando MATLAB para demostrar la aplicación de estas fórmulas y realizar el análisis de sensibilidad.

Resultos Clave
El artículo presenta un ejemplo numérico y un análisis de sensibilidad exhaustivo para validar el modelo y explorar el impacto de los parámetros:

• Solución Óptima: Utilizando un conjunto específico de parámetros (por ejemplo, $\alpha=53, \beta=3, \xi=0.073$), el modelo arroja un tiempo de ciclo óptimo $t_1^* \approx 4.3985$, un nivel de inventario inicial $I^* \approx 6913.18$ y un beneficio promedio $AP^* \approx 33,240.42$.
• Análisis de Sensibilidad:
  • Tasa de Deterioro ($\xi$): Se identifica como un factor crítico. A medida que $\xi$ aumenta, el tiempo de ciclo óptimo se acorta, los niveles de inventario caen drásticamente y el beneficio promedio disminuye significativamente. Esto resalta la penalización financiera de un deterioro rápido.
  • Parámetros de Demanda ($\alpha, \beta$): Los aumentos en la demanda inicial ($\alpha$) y la tasa de crecimiento ($\beta$) conducen a mayores niveles de inventario y una rentabilidad significativamente mejorada, aunque el tiempo de ciclo permanece relativamente estable.
  • Descuento ($d_1, d_2$): El descuento post-deterioro ($d_2$) tiene un impacto más constructivo en el beneficio que el descuento pre-deterioro ($d_1$).
  • Costos ($C, h$): Los aumentos en el costo de compra ($C$) y el costo de mantenimiento ($h$) impactan negativamente tanto en los niveles de inventario como en la rentabilidad, lo que requiere tiempos de ciclo más cortos para mitigar las pérdidas.
  • Tiempo de Estabilización ($r$): Un periodo de estabilización más largo generalmente respalda mayores niveles de inventario y rentabilidad.

Significancia y Contribuciones
El artículo afirma cerrar brechas de investigación específicas al integrar cuatro características distintas en un único marco EOQ:

1. Demanda Inicial No Nula: A diferencia de los modelos de tipo rampa clásicos que comienzan en cero, este modelo contabiliza la demanda inicial generada por la publicidad, ofreciendo una representación más realista de los lanzamientos de productos.
2. Demanda de Tipo Rampa General: Utiliza una función de demanda flexible que se estabiliza después de un tiempo específico, capturando el ciclo de vida completo del producto desde el crecimiento hasta la madurez.
3. Descuento en Dos Fases: El modelo introduce políticas de descuento distintas para las fases de pre y post deterioro, proporcionando un mecanismo para gestionar la demanda y las pérdidas de manera diferente a medida que el producto envejece.
4. Marco Unificado de Horizonte Infinito: Combina efectos de publicidad, deterioro proporcional al tiempo y descuentos duales en un entorno de no faltantes y de horizonte infinito, extendiendo los modelos existentes que típicamente tratan estos factores de forma aislada.

Los autores concluyen que el modelo propuesto ofrece a los gerentes una herramienta avanzada para las decisiones de precios y reabastecimiento, particularmente para industrias que manejan bienes perecederos o degradables (por ejemplo, alimentos, medicinas, electrónica) donde las dinámicas de la demanda y las tasas de deterioro son críticas. El estudio sugiere que controlar el deterioro y optimizar el crecimiento de la demanda mediante la publicidad y el descuento estratégico son palancas clave para mejorar la estabilidad y la rentabilidad del sistema. Se sugiere como trabajo futuro extender el modelo para incluir faltantes, crédito comercial o demanda estocástica.