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A Novel EOQ Model for Deteriorating Items with Non-Zero Initial Ramp-Type Demand and Two-Phase Discounting

Este artigo propõe um novo modelo EOQ para itens deterioráveis que incorpora uma demanda inicial do tipo rampa não nula e uma política de desconto de duas fases para otimizar a gestão de inventário sob deterioração dependente do tempo e sem faltas.

Autores originais: Rina Khatun, Shariful Alam, Khairul Habib Alam

Publicado 2026-09-16

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CC BY 4.0

Autores originais: Rina Khatun, Shariful Alam, Khairul Habib Alam

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine um mundo onde cada produto que você compra tem um relógio correndo, não apenas para quando ele vence, mas para como seu valor e apelo mudam no momento em que fica parado em uma prateleira. Esta é a realidade para indústrias que lidam com bens perecíveis, desde produtos frescos e medicamentos até moda e eletrônicos. Esses itens não ficam parados; eles perdem qualidade lentamente ao longo do tempo, um processo conhecido como deterioração. Ao mesmo tempo, o desejo por esses itens raramente é constante. Muitas vezes começa com um surto de interesse, talvez impulsionado por um novo anúncio ou uma campanha de pré-venda, cresce à medida que mais pessoas ouvem falar sobre ele e, eventualmente, estabiliza-se em um ritmo constante assim que o mercado está saturado. Por décadas, as ferramentas matemáticas usadas para gerenciar esses bens foram simples demais, muitas vezes assumindo que a demanda começa em zero e permanece estável, ou que os itens só começam a apodrecer após um período longo e estático. Essas simplificações deixam os gestores de negócios sem um mapa claro para navegar na paisagem complexa e mutável do inventário do mundo real.

Um novo estudo realizado por pesquisadores do IIEST Shibpur e da Universidade SRM busca corrigir isso, construindo um modelo mais realista de como estocar e vender itens deterioráveis. Em vez de depender de suposições rígidas e obsoletas, os autores construíram um sistema que leva em conta o fato de que a demanda muitas vezes começa em um nível positivo devido aos esforços de marketing, aumenta antes de se estabilizar. Eles também reconheceram que a forma como um produto se degrada está frequentemente ligada diretamente ao tempo que ele foi armazenado, com a taxa de declínio aumentando ao longo do tempo. Para tornar o modelo ainda mais prático, os pesquisadores introduziram uma estratégia de usar diferentes preços de desconto antes de o item começar a se deteriorar e novamente após ele começar a perder qualidade. Essa abordagem de duas fases permite que as empresas estimulem as vendas iniciais e depois ajustem os preços para escoar o estoque antes que ele se torne invendável, tudo isso garantindo que a loja nunca fique sem produto.

Os pesquisadores desenvolveram uma estrutura matemática para calcular o momento perfeito para reordenar o estoque e a quantidade ideal para pedir, visando maximizar o lucro ao longo de uma linha do tempo infinita. Eles testaram esse modelo usando um conjunto específico de condições que mimetizam um cenário de negócio real. Em sua simulação, definiram a demanda inicial como um número positivo específico, representando o interesse imediato gerado pela publicidade, e permitiram que ela crescesse linearmente antes de transitar para um padrão de demanda constante e estável. Eles aplicaram uma taxa de deterioração linear, o que significa que os itens perdem valor mais rapidamente à medida que o tempo passa, e usaram fatores de desconto distintos para os períodos antes e depois do início da deterioração. Ao realizar esses cálculos em um computador, descobriram que um ciclo de tempo específico de aproximadamente 4,40 unidades de tempo gerou o maior lucro médio, que foi de cerca de 33.240 unidades de moeda, com um nível de inventário inicial ideal de cerca de 6.913 itens.

Para garantir que suas descobertas fossem robustas e não apenas um acaso de um conjunto específico de números, a equipe realizou uma série de testes de sensibilidade. Eles alteraram sistematicamente um fator principal de cada vez, mantendo todo o resto constante, para ver como o sistema reagia. Quando aumentaram a demanda inicial impulsionada pela publicidade, observaram que o lucro total subiu significamente, confirmando que os esforços iniciais de marketing são uma alavanca poderosa para o sucesso financeiro. No entanto, quando aumentaram a taxa de deterioração dos itens, os resultados foram drasticamente diferentes. Uma taxa de decaimento mais rápida forçou a empresa a encurtar seus ciclos de pedido, reduzir a quantidade de estoque mantido e aceitar uma queda acentuada no lucro geral. Isso destacou que gerenciar a velocidade de deterioração é crítico; mesmo pequenos aumentos na rapidez com que os itens estragam podem corroer o desempenho financeiro.

O estudo também explorou como diferentes estratégias de preços e custos influenciaram o resultado. Eles descobriram que o preço de venda do item teve um efeito positivo forte no lucro, enquanto o custo de compra dos itens e o custo de mantê-los em armazenamento atuaram como freios, reduzindo tanto o nível ideal de inventário quanto o ganho total. Curiosamente, a forma específica da curva de demanda e o momento exato em que a deterioração começou tiveram um efeito misto, às vezes estendendo o ciclo de pedido e às vezes encurtando-o, dependendo do equilíbrio entre a rapidez com que o mercado queria o produto e a rapidez com que o produto estava estragando. Os pesquisadores concluíram que, embora seu modelo seja um passo significativo para a compreensão dessas dinâmicas, ele é uma simulação baseada em suposições específicas, como a ausência de falta de estoque. Eles sugerem que trabalhos futuros poderiam expandir este modelo para incluir situações onde a falta de estoque é possível ou para considerar realidades mais complexas da cadeia de suprimentos, mas, por enquanto, esta abordagem oferece uma ferramenta mais clara e adaptável para gestores que tentam equilibrar o relógio que corre da decadência do produto com a maré crescente da demanda do cliente.

Resumo Técnico: Um Novo Modelo EOQ para Itens em Deterioração com Demanda de Tipo Rampa Inicial Não Nula e Desconto de Duas Fases

Declaração do Problema
O artigo aborda o desafio de gerenciar o inventário de itens em deterioração sob condições de mercado realistas que os modelos clássicos de Quantidade Econômica de Pedido (EOQ) frequentemente falham em capturar. Os modelos tradicionais tipicamente assumem demanda constante, demanda inicial zero e ignoram a interação dinâmica entre publicidade, ciclos de vida do produto e a deterioração dependente do tempo. Os autores identificam uma lacuna na literatura existente onde fatores como a demanda inicial impulsionada pela publicidade, a estabilização da demanda do tipo rampa geral, a deterioração proporcional ao tempo e políticas de desconto distintas para as fases pré e pós-deterioração são raramente integrados em um único framework unificado. O objetivo é desenvolver um modelo de inventário de horizonte infinito, sem falta de estoque, que simultaneamente considere essas variáveis complexas do mundo real para otimizar os ciclos de reposição e maximizar o lucro médio.

Metodologia
O estudo formula um modelo de inventário determinístico para um sistema de item único com um horizonte de planejamento infinito e sem faltas de estoque. A metodologia envolve os seguintes componentes principais:

Estrutura de Demanda:
- Fase Pré-deterioração ( $0 \le t \le d$ ): A demanda é modelada como uma função linear $D_1(t) = \alpha + \beta t$ , onde $\alpha > 0$ representa uma demanda inicial não nula impulsionada por publicidade ou pré-encomendas, e $\beta$ representa a taxa de crescimento.
- Fase Pós-deterioração ( $t \ge d$ ): A demanda segue uma função de tipo rampa geral $D_2(t)$ que aumenta até um tempo de estabilização $r$ , após o qual permanece constante em $f(r)$ .
- Ajuste de Desconto: O modelo incorpora um esquema de desconto de duas fases. A demanda na fase de pré-deterioração é escalonada por um fator $d_a = (1-d_1)^{-p}$ , e na fase de pós-deterioração por $d_b = (1-d_2)^{-q}$ , onde $d_1$ e $d_2$ são taxas de desconto, e $p, q$ controlam sua intensidade.
Deterioração:
- Assume-se que a deterioração é dependente do tempo e proporcional ao tempo, representada pela taxa $D(t) = \xi t$ . Esta forma linear reflete uma perda gradual de qualidade ou utilidade durante o armazenamento.
Formulação Matemática:
- Os níveis de inventário são regidos por um sistema de equações diferenciais ordinárias (ODEs) através de três intervalos: antes da deterioração ( $0 \le t \le d$ ), durante a subida da rampa de demanda após a deterioração ( $d \le t \le r$ ), e durante a fase de estabilização ( $r \le t \le t_1$ ).
- Os autores derivam soluções de forma fechada para o nível de inventário $I(t)$ e a quantidade total demandada $Q(t)$ integrando estas ODEs com condições de contorno específicas ( $I(0)=I$ e $I(t_1)=0$ ).
- Uma função de lucro médio ( $AP$ ) é construída, incorporando receita, custos de compra, custos de manutenção, custos de deterioração, custos de pedido e custos de publicidade.
Otimização:
- O tempo de ciclo ideal $t_1^*$ é determinado resolvendo a condição de primeira ordem $\frac{d(AP)}{dt_1} = 0$ . Isso leva a uma equação não linear envolvendo a derivada do lucro total em relação ao tempo (Eq. 25).
- Fórmulas de forma fechada para a política de inventário ideal são construídas, e ilustrações numéricas são fornecidas usando MATLAB para demonstrar a aplicação dessas fórmulas e realizar análise de sensibilidade.

Principais Resultados
O artigo apresenta um exemplo numérico e uma análise de sensibilidade abrangente para validar o modelo e explorar os impactos dos parâmetros:

Solução Ótima: Usando um conjunto específico de parâmetros (por exemplo, $\alpha=53, \beta=3, \xi=0.073$ ), o modelo produz um tempo de ciclo ideal $t_1^* \approx 4.3985$ , um nível de inventário inicial $I^* \approx 6913.18$ e um lucro médio $AP^* \approx 33,240.42$ .
Análise de Sensibilidade:
- Taxa de Deterioração ( $\xi$ ): Esta é identificada como um fator crítico. À medida que $\xi$ aumenta, o tempo de ciclo ideal encurta, os níveis de inventário caem drasticamente e o lucro médio diminui significativamente. Isso destaca a penalidade financeira da rápida deterioração.
- Parâmetros de Demanda ( $\alpha, \beta$ ): Aumentos na demanda inicial ( $\alpha$ ) e na taxa de crescimento ( $\beta$ ) levam a níveis de inventário mais altos e melhoria significativa na lucratividade, embora o tempo de ciclo permaneça relativamente estável.
- Desconto ( $d_1, d_2$ ): O desconto pós-deterioração ( $d_2$ ) tem um impacto mais construtivo no lucro do que o desconto pré-deterioração ( $d_1$ ).
- Custos ( $C, h$ ): Aumentos no custo de compra ( $C$ ) e no custo de manutenção ( $h$ ) impactam negativamente tanto os níveis de inventário quanto a lucratividade, necessitando de tempos de ciclo mais curtos para mitigar perdas.
- Tempo de Estabilização ( $r$ ): Um período de estabilização mais longo geralmente suporta maior lucratividade e níveis de inventário mais altos.

Significância e Contribuições
O artigo afirma preencher lacunas de pesquisa específicas ao integrar quatro características distintas em um único framework de EOQ:

Demanda Inicial Não Nula: Ao contrário dos modelos clássicos de tipo rampa que partem do zero, este modelo considera a demanda inicial gerada por publicidade, oferecendo uma representação mais realista de lançamentos de produtos.
Demanda de Tipo Rampa Geral: Utiliza uma função de demanda flexível que se estabiliza após um tempo específico, capturando o ciclo de vida completo do produto, do crescimento à maturidade.
Desconto de Duas Fases: Introduz políticas de desconto distintas para as fases pré e pós-deterioração, fornecendo um mecanismo para gerenciar a demanda e as perdas de forma diferenciada conforme o produto envelhece.
Framework de Horizonte Infinito Unificado: Combina efeitos de publicidade, deterioração proporcional ao tempo e descontos duplos em um cenário de horizonte infinito sem falta de estoque, estendendo modelos existentes que tipicamente tratam esses fatores isoladamente.

Os autores concluem que o modelo proposto oferece aos gestores uma ferramenta avançada para decisões de preço e reposição, particularmente para indústrias que lidam com bens perecíveis ou degradáveis (ex: alimentos, medicamentos, eletrônicos) onde a dinâmica de demanda e as taxas de deterioração são críticas. O estudo sugere que controlar a deterioração e otimizar o crescimento da demanda através de publicidade e descontos estratégicos são alavancas fundamentais para aumentar a estabilidade do sistema e a lucratividade. Sugere-se que trabalhos futuros estendam o modelo para incluir faltas de estoque, crédito comercial ou demanda estocástica.

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