Resumen Técnico: Observador de Perturbaciones Libre de Modelo con Modificación en Línea (MFDOOM)

1. Planteamiento del Problema

El Control Predictivo Basado en Datos (DeePC) ofrece una alternativa libre de modelo al Control Predictivo Basado en Modelos (MPC) mediante la predicción del comportamiento del sistema utilizando matrices de Hankel construidas a partir de datos de entrada-salida. Sin embargo, el rendimiento de DeePC depende fuertemente de la relevancia de los datos recolectados. Cuando los sistemas están sujetos a perturbaciones —particularmente aquellas generadas por sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) autónomos (por ejemplo, sinusoides, rampas o escalones)— el comportamiento medido de la planta se desvía del modelo nominal. Esto conduce a errores de predicción inevitables.

Las estrategias existentes para abordar estos problemas incluyen:

• DeePC Regularizado: Mejora la robustez, pero a menudo degrada el rendimiento de seguimiento nominal.
• DeePC en Línea (ODeePC): Actualiza continuamente las matrices de Hankel con nuevas mediciones. Sin embargo, esto requiere entradas persistentemente excitantes (PE) (logradas a menudo mediante la inyección de ruido), lo que aleja al sistema de la referencia y conlleva el riesgo de "borrar" el modelo del sistema si los datos antiguos se desplazan hacia afuera antes de que los nuevos datos enriquezcan el modelo.
• DeePC de Orden Reducido en Línea (MDeePC): Utiliza matrices de Hankel mosaico para evitar el desplazamiento de datos. Aunque evita algunos problemas de discontinuidad, el tamaño de la matriz crece con el tiempo, aumentando la carga computacional, y sigue enfrentando el dilección entre la riqueza del modelo y la estabilidad.

El problema central abordado es cómo corregir las predicciones de salida para perturbaciones variantes en el tiempo sin corromper el predictor DeePC base ni incurrir en costos excesivos de computación y excitación.

2. Metodología: MFDOOM

El artículo propone el Observador de Perturbaciones Libre de Modelo con Modificación en Línea (MFDOOM). Este método aumenta el marco de trabajo estándar de DeePC con un observador de perturbaciones dedicado y actualizado continuamente que opera independientemente de las matrices de comportamiento nominal.

Mecanismo Central

MFDOOM trata el error de predicción ($d = \bar{y} - \hat{y}$) como una trayectoria generada por un sistema LTI autónomo ($B_d$). En lugar de modificar las matrices de comportamiento primarias ($U, Y$) utilizadas para el control nominal, MFDOOM construye una matriz de Hankel separada ($D$) a partir de los errores de predicción históricos.

El problema de optimización en MFDOOM (Ecuación 11) minimiza una función de costo que incluye un término de corrección:
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
Sujeto a:

1. Restricciones Nominales: Restricciones estándar de DeePC que vinculan entradas/salidas con las matrices de comportamiento fijas ($U, Y$).
2. Restricciones de la Dinámica del Error: Una nueva restricción que vincula el historial del error de predicción actual ($d_{ini}$) y la predicción futura del error ($d$) con la matriz de comportamiento del error ($D$):
   $$\begin{bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}$$

Características Algorítmicas Clave

• Base Fija: Las matrices de comportamiento nominal ($U, Y$) permanecen fijas, lo que permite la precomputación de los términos de DeePC.
• Corrección Adaptativa: La matriz de error $D$ se actualiza en línea utilizando una ventana deslizante de errores de predicción.
• Umbral de Activación: La recolección de datos para la matriz de error comienza solo cuando el error de predicción excede un umbral de ruido numérico ($\epsilon$).
• Ganancia Adaptativa ($\Gamma$): Un mecanismo opcional (Algoritmo 4) escala el término de corrección basándose en el error de estimación ($e_d = |d_a - d^*$). Si la estimación del error no es confiable, $\Gamma$ tiende a cero, convirtiendo efectivamente el controlador en un DeePC regularizado para asegurar la robustez transitoria.

3. Contribuciones Clave

• Separación de Funciones: MFDOOM desacopla el predictor nominal de la adaptación de la perturbación. A diferencia de ODeePC o MDeePC, no modifica las matrices que representan la dinámica nominal del sistema, evitando la inyección de ruido en el modelo base.
• Reducción de la Carga Computacional: La actualización en línea se restringe a la matriz de error de predicción $D$, que es más pequeña y no aumenta de tamaño con el tiempo, a diferencia de las matrices crecientes en MDeePC.
• Sin Requisito de Excitación Persistente: A diferencia de ODeePC, MFDOOM no requiere que la entrada de control nominal sea persistentemente excitante. La riqueza necesaria se traslada a la observación del propio error de predicción.
• Fundamento Teórico: El método se basa en la Proposición 1, que establece que si el comportamiento del error es generado por un sistema LTI autónomo y la matriz de Hankel de los errores tiene rango completo, las futuras trayectorias de error pueden predecirse linealmente a partir de los errores pasados.

4. Resultados de Simulación

Los autores evaluaron MFDOOM en una tarea de control de velocidad de un motor DC bajo perturbaciones armónicas de amplitud sinusoidal y variante en el tiempo, comparándolo con MPC (sin perturbación), ODeePC y MDeePC.

• Rendimiento de Seguimiento: MFDOOM demostró un Error Cuadrático Medio (RMSE) significativamente menor en comparación con ODeePC y MDeePC. En la prueba de perturbación sinusoidal, MFDOOM logró un RMSE de 0.06, frente a 0.34 para ODeePC y 0.19 para MDeePC.
• Convergencia: MFDOOM exhibió una convergencia más rápida hacia un error de seguimiento cercano a cero después de que se aprendió la dinámica del error de predicción.
• Robustez al Ruido: Cuando se añadió ruido sensorial, MFDOOM mantuvo la estabilidad y un error bajo, mientras que MDeePC requirió una regularización significativamente mayor ($K_g = 10,000$) para mantener la estabilidad, lo que degradó su rendimiento.
• Perturbaciones Variantes en el Tiempo: En un escenario con perturbaciones de amplitud variante en el tiempo, MFDOOM no requirió ajustes de ganancia y mantuvo una compensación precisa, mientras que ODeePC sufrió discontinuidades cuando se activaba/desactivaba la perturbación.

5. Significado y Afirmaciones

El artículo afirma que MFDOOM ofrece un enfoque superior para controlar sistemas sujetos a perturbaciones LTI autónomas dentro del marco de DeePC. Al aislar la compensación de la perturbación en un observador de error dedicado, el método logra:

1. Mejor Seguimiento: Reducción del error de seguimiento en comparación con las variantes existentes de DeePC en línea.
2. Menor Carga en Línea: Reducción del costo computacional al evitar la expansión continua o el desplazamiento de las grandes matrices de comportamiento nominal.
3. Estabilidad: Evita la necesidad de inyección continua de ruido (entradas PE) para mantener la validez del modelo, evitando así desviaciones innecesarias de las trayectorias de referencia.

Los autores concluyen que, si bien la formulación actual está optimizada para perturbaciones generadas por sistemas LTI autónomos, la separación del predictor base y el mecanismo de corrección adaptativa proporciona una base prometedora para futuras extensiones a clases más amplias de sistemas variantes en el tiempo.