Sintesi Tecnica: Osservatore di Disturbo Model-Free con Modifica Online (MFDOOM)

1. Definizione del Problema

Il Controllo Predittivo Data-Enabled (DeePC) offre un'alternativa model-free al Controllo Predittivo basato su Modello (MPC), prevedendo il comportamento del sistema utilizzando matrici di Hankel costruite da dati di input-output. Tuttavia, le prestazioni del DeePC dipendono fortemente dalla rilevanza dei dati raccolti. Quando i sistemi sono soggetti a disturbi — in particolare quelli generati da sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) autonomi (ad es., sinusoidi, rampa o gradino) — il comportamento misurato del processo devia dal modello nominale. Ciò porta a inevitabili errori di predizione.

Le strategie esistenti per gestire questi problemi includono:

• DeePC Regolarizzato: Migliora la robustezza ma spesso degrada le prestazioni di inseguimento nominale.
• DeePC Online (ODeePC): Aggiorna continuamente le matrici di Hankel con nuove misurazioni. Tuttavia, ciò richiede input persistentemente eccitanti (spesso ottenuti iniettando rumore), il che allontana il sistema dal riferimento e rischia di "cancellare" il modello del sistema se i dati vecchi vengono rimossi prima che i nuovi arricchiscano il modello.
• DeePC a Ordine Ridotto Online (MDeePC): Utilizza matrici di Hankel mosaic per evitare lo spostamento dei dati. Sebbene eviti alcuni problemi di discontinuità, la dimensione della matrice aumenta nel tempo, incrementando l'onere computazionale, e presenta comunque difficoltà nel bilanciare la ricchezza del modello e la stabilità.

Il problema centrale affrontato è come correggere le predizioni di output per disturbi tempo-varianti senza corrompere il predittore DeePC di base o incorrere in eccessivi costi computazionali e di eccitazione.

2. Metodologia: MFDOOM

Il documento propone il Model-Free Disturbance Observer with Online Modification (MFDOOM). Questo metodo aumenta il framework standard del DeePC con un osservatore di disturbo dedicato, aggiornato continuamente, che opera indipendentemente dalle matrici del comportamento nominale.

Meccanismo Core

MFDOOM tratta l'errore di predizione ($d = \bar{y} - \hat{y}$) come una traiettoria generata da un sistema LTI autonomo ($B_d$). Invece di modificare le matrici di comportamento primarie ($U, Y$) utilizzate per il controllo nominale, MFDOOM costruisce una matrice di Hankel separata ($D$) a partire dagli errori di predizione storici.

Il problema di ottimizzazione in MFDOOM (Equazione 11) minimizza una funzione di costo che include un termine di correzione:
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
Soggetto a:

1. Vincoli Nominali: Vincoli standard del DeePC che collegano input/output alle matrici di comportamento fisse ($U, Y$).
2. Vincoli della Dinamica dell'Errore: Un nuovo vincolo che collega la storia dell'errore di predizione corrente ($d_{ini}$) e la futura predizione dell'errore ($d$) alla matrice del comportamento dell'errore ($D$):
   $$\begin{bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}$$

Caratteristiche Algoritmiche Chiave

• Baseline Fissa: Le matrici di comportamento nominale ($U, Y$) rimangono fisse, consentendo il pre-calcolo dei termini del DeePC.
• Correzione Adattiva: La matrice dell'errore $D$ viene aggiornata online utilizzando una finestra scorrevole di errori di predizione.
• Soglia di Attivazione: La raccolta dati per la matrice dell'errore inizia solo quando l'errore di predizione supera una soglia numerica di rumore ($\epsilon$).
• Guadagno Adattivo ($\Gamma$): Un meccanismo opzionale (Algoritmo 4) scala il termine di correzione in base all'errore di stima ($e_d = |d_a - d^*|$). Se la stima dell'errore non è affidabile, $\Gamma$ tende a zero, riportando efficacementamente il controllore a un DeePC regolarizzato per garantire la robustezza transitoria.

3. Contributi Principali

• Separazione delle Responsabilità: MFDOOM separa il predittore nominale dall'adattamento del disturbo. A differenza di ODeePC o MDeePC, non modifica le matrici che rappresentano la dinamica nominale del sistema, evitando l'iniezione di rumore nel modello di base.
• Riduzione dell'Onere Computazionale: L'aggiornamento online è limitato alla matrice dell'errore di predizione $D$, che è più piccola e non aumenta di dimensione nel tempo, a differenza delle matrici in MDeeC che crescono.
• Assenza di Requisito di Eccitazione Persistente: A differenza di ODeePC, MFDOOM non richiede che l'input di controllo nominale sia persistentemente eccitante. La necessaria ricchezza è spostata sull'osservazione dell'errore di predizione stesso.
• Fondamento Teorico: Il metodo si basa sulla Proposizione 1, la quale stabilisce che se il comportamento dell'errore è generato da un sistema LTI autonomo e la matrice di Hankel degli errori ha rango pieno, le future traiettorie dell'errore possono essere predette linearmente dai passati errori.

4. Risultati della Simulazione

Gli autori hanno valutato MFDOOM su un compito di controllo della velocità di un motore DC sotto disturbi armonici sinusoidali e a ampiezza variabile nel tempo, confrontandolo con MPC (senza disturbo), ODeePC e MDeeC.

• Prestazioni di Inseguimento: MFDOOM ha dimostrato un errore quadratico medio (RMSE) significativamente inferiore rispetto a ODeePC e MDeeC. Nel test di disturbo sinusoidale, MFDOOM ha ottenuto un RMSE di 0,06, rispetto a 0,34 per ODeeC e 0,19 per MDeeC.
• Convergenza: MFDOOM ha mostrato una convergenza più rapida verso un errore di inseguimento prossimo allo zero dopo che la dinamica dell'errore di predizione è stata appresa.
• Robustezza al Rumore: Quando è stato aggiunto il rumore del sensore, MFDOOM ha mantenuto stabilità e basso errore, mentre MDeeC ha richiesto una regolarizzazione significativamente più alta ($K_g = 10.000$) per rimanere stabile, il che ha degradato le prestazioni.
• Disturbi Tempo-Varianti: In uno scenario con disturbi ad ampiezza variabile nel tempo, MFDOOM non ha richiesto regolazioni del guadagno e ha mantenuto una compensazione accurata, mentre ODeeC ha subito discontinuità quando il disturbo veniva attivato/disattivato.

5. Significato e Rivendicazioni

Il documento afferma che MFDOOM offre un approccio superiore per il controllo di sistemi soggetti a disturbi LTI autonomi all'interno del framework DeePC. Isolando la compensazione del disturbo in un osservatore dell'errore dedicato, il metodo ottiene:

1. Migliore Inseguimento: Riduzione dell'errore di inseguimento rispetto alle varianti esistenti di DeePC online.
2. Minore Onere Online: Riduzione del costo computazionale evitando l'espansione continua o lo spostamento delle grandi matrici di comportamento nominale.
3. Stabilità: Evita la necessità di iniezione continua di rumore (input PE) per mantenere la validità del modello, prevenendo così deviazioni non necessarie dalle traiettorie di riferimento.

Gli autori concludono che, sebbene l'attuale formulazione sia ottimizzata per disturbi generati da sistemi LTI autonomi, la separazione del predittore di base e del meccanismo di correzione adattiva fornisce una base promettente per future estensioni a classi più ampie di sistemi tempo-varianti.