기술 요약: 온라인 수정 기능이 포함된 모델 프리 외란 관측기 (MFDOOM)

1. 문제 정의

데이터 기반 예측 제어(DeePC)는 입출력 데이터로 구성된 한켈 행렬(Hankel matrices)을 사용하여 시스템 거동을 예측함으로써 모델 예측 제어(MPC)에 대한 모델 프리 대안을 제공합니다. 그러나 DeePC의 성능은 수집된 데이터의 관련성에 크게 의존합니다. 시스템이 외란(특히 사인파, 램프 또는 스텝과 같은 자율 선형 시불변(LTI) 시스템에 의해 생성되는 외란)의 영향을 받는 경우, 측정된 플랜트의 거동은 명목 모델(nominal model)에서 벗어나게 됩니다. 이는 필연적인 예측 오차를 초alt합니다.

이러한 문제를 처리하기 위한 기존 전략은 다음과 같습니다:

• 정규화된 DeePC (Regularized DeePC): 강건성(robustness)을 개선하지만, 종종 명목 추적 성능을 저하시킵니다.
• 온라인 DeePC (ODeePC): 새로운 측정값으로 한켈 행렬을 지속적으로 업데이트합니다. 그러나 이는 지속적 흥분(persistently exciting, PE) 입력(종종 노이즈 주입을 통해 달성됨)을 요구하며, 이는 시스템을 참조점(reference)으로부터 멀어지게 만들고, 오래된 데이터가 새로운 데이터를 풍부하게 하기 전에 기존 모델을 "지워버릴" 위험이 있습니다.
• 온라인 차수 축소 DeePC (MDeePC): 데이터를 밀어내지 않기 위해 모자이크 한켈 행를 사용합니다. 이는 불연속성 문제는 피할 수 있지만, 행렬 크기가 시간이 지남에 따라 증가하여 계산 부담이 늘어나며, 모델의 풍부함과 안정성 사이의 트레이드오프 문제를 여전히 겪습니다.

핵심적으로 해결하고자 하는 문제는 명목 제어용 베이스라인 DeePC 예측기를 손상시키거나 과도한 계산 및 흥분 비용을 발생시키지 않으면서, 시변 외란에 대해 출력 예측을 어떻게 보정할 것인가 하는 것입니다.

2. 방법론: MFDOOM

본 논문은 **모델 프리 외란 관측기 온라인 수정 (MFDOOM)**을 제안합니다. 이 방법은 명목 거동 행렬과 독립적으로 작동하는 전용의 지속 업데이트되는 외란 관측기를 표준 DeePC 프레임워크에 추가합니다.

핵심 메커니즘

MFDOOM은 예측 오차($d = \bar{y} - \hat{y}$)를 자율 LTI 시스템($B_d$)에 의해 생성된 궤적으로 취급합니다. 명목 제어를 위해 사용되는 기본 거동 행렬($U, Y$)을 수정하는 대신, MFDOOM은 과거의 예측 오차로부터 별도의 한켈 행렬($D$)을 구축합니다.

MFDOOM의 최적화 문제(식 11)는 다음을 포함하는 비용 함수를 최소화합니다:
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
제약 조건:

1. 명목 제약 (Nominal Constraints): 고정된 거동 행렬($U, Y$)과 입력을 출력에 연결하는 표준 DeePC 제약 조건.
2. 오차 역학 제약 (Error Dynamics Constraints): 현재의 예측 오차 이력($d_{ini}$)과 미래의 오차 예측($d$)을 오차 거동 행렬($D$)에 연결하는 새로운 제약 조건:
   $$\begin{bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}$$

주요 알고리즘 특징

• 고정된 베이스라인 (Fixed Baseline): 명목 거동 행렬($U, Y$)은 고정되어 있어 DeePC 항의 사전 계산을 가능하게 합니다.
• 적응형 보정 (Adaptive Correction): 오차 행렬 $D$는 예측 오차의 슬라이딩 윈도우를 사용하여 온라인으로 업데이트됩니다.
• 활성화 임계값 (Activation Threshold): 오차 행렬을 위한 데이터 수집은 예측 오차가 수치적 노이즈 임계값($\epsilon$)을 초과할 때만 시작됩니다.
• 적응형 이득 ($\Gamma$): 추정 오차($e_d = |d_a - d^*|$)에 따라 보정 항을 스케일링하는 선택적 메커니즘(알고리즘 4)입니다. 오차 추정이 신뢰할 수 없는 경우, $\Gamma$는 0에 가까워져 과도 상태의 강건성을 보장하기 위해 정규화된 DeePC로 효과적으로 회귀합니다.

3. 주요 기여

• 관심사의 분리 (Separation of Concerns): MFDOOM은 명목 예측기와 외란 적응을 분리합니다. ODeePC나 MDeePC와 달리, 이 방법은 시스템의 명목 역학을 나타내는 행렬을 수정하지 않으므로 베이스라인 모델에 노이즈를 주입하는 것을 방지합니다.
• 계산 부담 감소: 온라인 업데이트가 더 작은 예측 오차 행렬 $D$에 국한되므로, MDeePC와 같이 시간이 지남에 따라 크기가 확장되지 않습니다.
• 지속적 흥분 요구 없음: ODeePC와 달리, MFDOOM은 명목 제어 입력이 지속적으로 흥분될 필요가 없습니다. 필요한 풍부함은 예측 오차 자체의 관찰으로 전환됩니다.
• 이론적 토대: 이 방법은 오차 거동이 자율 LTI 시스템에 의해 생성되고 오차의 한켈 행렬이 완전 계수(full rank)를 가지면, 미래의 오차 궤적을 과거의 오차로부터 선형적으로 예측할 수 있다는 Proposition 1에 기반합니다.

4. 시뮬레이션 결과

저자들은 사인파 및 시변 진폭 조화 외란 하에서의 DC 모터 속도 제어 작업에 대해 MFDOOM을 MPC(외란 없음), ODeePC, MDeePC와 비교하여 평가했습니다.

• 추적 성능: MFDOOM은 ODeePC 및 MDeePC에 비해 현저히 낮은 평균 제곱 오차(RMSE)를 보여주었습니다. 사인파 외란 테스트에서 MFDOOM은 0.06의 RMSE를 달인 반면, ODeePC는 0.34, MDeePC는 0.19를 기록했습니다.
• 수렴성: MFDOOM은 예측 오차 역학이 학습된 후 거의 0에 가까운 추적 오차로 빠르게 수렴했습니다.
• 노이즈에 대한 강건성: 센서 노이즈가 추가되었을 때, MDeePC는 안정성을 유지하기 위해 상당히 높은 정규화($K_g = 10,000$)가 필요하여 성능이 저하된 반면, MFDOOM은 안정성과 낮은 오차를 유지했습니다.
• 시변 외란: 시변 진폭 외란 시나리오에서 MFDOOM은 이득 조정 없이도 정확한 보상을 유지한 반면, ODeePC는 외란이 토글될 때 불연속성을 겪었습니다.

5. 의의 및 주장

본 논문은 MFDOOM이 DeePC 프레임워크 내에서 자율 LTI 외란을 겪는 시스템을 제어하기 위한 우수한 접근 방식임을 주장합니다. 명목 예측기와 적응형 보정 메커니즘을 격리함으로써, 이 방법은 다음을 달려 성취합니다:

1. 개선된 추적: 기존의 온라인 DeePC 변형들보다 낮은 추적 오차를 제공합니다.
2. 낮은 온라인 부담: 대규모 명목 거동 행렬의 지속적인 확장이나 이동을 피함으로써 계산 비용을 줄입니다.
3. 안정성: 모델 유효성을 유지하기 위해 지속적인 노이즈 주입(PE 입력)을 필요로 하지 않으므로, 참조 궤적으로의 불필요한 이탈을 방지합니다.

저자들은 현재의 공식이 자율 LTI 시스템에 의해 생성되는 외란에 최적화되어 있지만, 베이스라인 예측기와 적응형 보정 메커니즘의 분리가 더 넓은 범위의 시변 시스템으로 확장 가능한 유망한 토대를 제공한다고 결론지었습니다.