Résumé Technique : Observateur de Perturbations Sans Modèle avec Modification en Ligne (MFDOOM)

1. Énoncé du Problème

Le Contrôle Prédictif Basé sur les Données (DeePC) offre une alternative sans modèle au MPC en prédisant le comportement du système à l'aide de matrices de Hankel construites à partir de données d'entrée-sortie. Cependant, la performance du DeePC dépend fortement de la pertinence des données collectées. Lorsque les systèmes sont soumis à des perturbations — particulièrement celles générées par des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) autonomes (par exemple, des sinusoïdes, des rampes ou des échelons) — le comportement mesuré du système s'écarte du modèle nominal. Cela entraîne des erreurs de prédiction inévitables.

Les stratégies existantes pour gérer ces problèmes incluent :

• DeePC Régularisé : Améliore la robustesse mais dégrade souvent la performance de suivi nominal.
• DeePC en Ligne (ODeePC) : Met à jour continuellement les matrices de Hankel avec de nouvelles mesures. Cependant, cela nécessite des entrées d'excitation persistante (souvent obtenues par l'injection de bruit), ce qui éloigne le système de sa référence, et risque d'« effacer » le modèle du système si les anciennes données sont évacuées avant que les nouvelles n'enrichissent le modèle.
• DeePC à Ordre Réduit en Ligne (MDeePC) : Utilise des matrices de Hankel mosaïques pour éviter l'évacuation des données. Bien qu'il évite certains problèmes de discontinuité, la taille de la matrice augmente avec le temps, augmentant la charge computationnelle, et il peine toujours face au compromis entre richesse du modèle et stabilité.

Le problème central abordé est la manière de corriger les prédictions de sortie pour des perturbations variant dans le temps sans corrompre le prédicteur DeePC de base ni engendrer des coûts de calcul ou d'excitation excessifs.

2. Méthodologie : MFDOOM

Le papier propose l'Observateur de Perturbations Sans Modèle avec Modification en Ligne (MFDOOM). Cette méthode augmente la structure standard du DeePC avec un observateur de perturbations dédié, mis à jour en continu, qui fonctionne indépendamment des matrices de comportement nominal.

Mécanisme Central

MFDOOM traite l'erreur de prédiction ($d = \bar{y} - \hat{y}$) comme une trajectoire générée par un système LTI autonome ($B_d$). Au lieu de modifier les matrices de comportement primaires ($U, Y$) utilisées pour le contrôle nominal, MFDOOM construit une matrice de Hankel distincte ($D$) à partir des erreurs de prédiction historiques.

Le problème d'optimisation dans MFDOOM (Équation 11) minimise une fonction de coût qui inclut un terme de correction :
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
Sous réserve de :

1. Contraintes Nominales : Contraintes DeePC standards liant les entrées/sorties aux matrices de comportement fixes ($U, Y$).
2. Contraintes de Dynamique d'Erreur : Une nouvelle contrainte liant l'historique de l'erreur de prédiction ($d_{ini}$) et la prédiction de l'erreur future ($d$) à la matrice de comportement de l'erreur ($D$) :
   $$\begin{bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}$$

Caractéristiques Algorithmiques Clés

• Base Fixe : Les matrices de comportement nominales ($U, Y$) restent fixes, permettant le pré-calcul des termes de DeePC.
• Correction Adaptative : La matrice d'erreur $D$ est mise à jour en ligne à l'aide d'une fenêtre glissante des erreurs de prédiction.
• Seuil d'Activation : La collecte de données pour la matrice d'erreur ne commence que lorsque l'erreur de prédiction dépasse un seuil de bruit numérique ($\epsilon$).
• Gain Adaptatif ($\Gamma$) : Un mécanisme optionnel (Algorithme 4) met à l'échelle le terme de correction en fonction de l'erreur d'estimation ($e_d = |d_a - d^*|$). Si l'estimation de l'erreur n'est pas fiable, $\Gamma$ tend vers zéro, ramenant effectivement le contrôleur vers un DeePC régularisé pour assurer la robustesse transitoire.

3. Contributions Clés

• Séparation des Préoccupations : MFDOOM découple le prédicteur nominal de l'adaptation aux perturbations. Contrairement à l'ODeePC ou au MDeePC, il ne modifie pas les matrices représentant la dynamique nominale du système, empêchant ainsi l'injection de bruit dans le modèle de base.
• Charge Computationnelle Réduite : La mise à jour en ligne est restreinte à la matrice de l'erreur de prédiction $D$, qui est plus petite et ne voit pas sa taille augmenter avec le temps, contrairement aux matrices croissantes du MDeePC.
• Absence de Besoin d'Excitation Persistante : Contrairement à l'ODeePC, le MFDOOM ne nécessite pas que l'entrée de contrôle nominal soit une excitation persistante. La richesse nécessaire est transférée à l'observation de l'erreur de prédiction elle-même.
• Fondement Théorique : La méthode repose sur la Proposition 1, qui établit que si le comportement de l'erreur est généré par un système LTI autonome et que la matrice de Hankel des erreurs est de rang plein, les trajectoires d'erreur futures peuvent être prédites linéairement à partir des erreurs passées.

4. Résultats de Simulation

Les auteurs ont évalué le MFDOOM sur une tâche de contrôle de vitesse de moteur à courant continu sous des perturbations harmoniques de type sinusoïdal et à amplitude variable, en le comparant au MPC (sans perturbation), à l'ODeePC et au MDeePC.

• Performance de Suivi : Le MFDOOM a démontré une erreur quadratique moyenne (RMSE) nettement plus faible que l'ODeePC et le MDeePC. Dans le test de perturbation sinusoïdale, le MFDOOM a atteint une RMSE de 0,06, contre 0,34 pour l'ODeeP et 0,19 pour le MDeePC.
• Convergence : Le MFDOOM a montré une convergence plus rapide vers une erreur de suivi proche de zéro après l'apprentissage de la dynamique de l'erreur de prédiction.
• Robustesse au Bruit : Lorsqu'un bruit de capteur a été ajouté, le MFDOOM a maintenu la stabilité et une erreur faible, tandis que le MDeePC nécessitait une régularisation nettement plus élevée ($K_g = 10\,000$) pour rester stable, ce qui dégradait ses performances.
• Perturbations Variables dans le Temps : Dans un scénario de perturbations à amplitude variable, le MFDOOM n'a nécessité aucun ajustement de gain et a maintenu une compensation précise, tandis que l'ODeePC a souffert de discontinuités lors du basculement de la perturbation.

5. Signification et Revendications

L'article affirme que le MFDOOM offre une approche supérieure pour le contrôle de systèmes soumis à des perturbations LTI autonomes au sein du cadre DeePC. En isolant la compensation de la perturbation dans un observateur d'erreur dédié, la méthode permet d'obtenir :

1. Un Suivi Amélioré : Une erreur de suivi réduite par rapport aux variantes existantes de DeePC en ligne.
2. Une Charge en Ligne Moindre : Une charge computationnelle réduite en évitant l'expansion ou le déplacement continu des grandes matrices de comportement nominal.
3. La Stabilité : Évite le besoin d'une injection continue de bruit (entrées PE) pour maintenir la validité du modèle, évitant ainsi de dévier inutilement des trajectoires de référence.

Les auteurs concluent que, bien que la formulation actuelle soit optimisée pour les perturbations générées par des systèmes LTI autonomes, la séparation du prédicteur de base et du mécanisme de correction adaptative constitue une base prometteuse pour de futures extensions à des classes plus larges de systèmes variant dans le temps.