Resumo Técnico: Observador de Perturbações Sem Modelo com Modificação Online (MFDOOM)

1. Definição do Problema

O Controle Preditivo Baseado em Dados (DeePC) oferece uma alternativa sem modelo ao MPC (Controle Preditivo por Modelo) ao prever o comportamento do sistema usando matrizes de Hankel construídas a partir de dados de entrada-saída. No entanto, o desempenho do DeePC é fortemente dependente da relevância dos dados coletados. Quando os sistemas estão sujeitos a perturbações — particularmente aquelas geradas por sistemas lineares variantes no tempo (LTI) autônomos (ex: senoides, rampas ou degraus) — o comportamento medido da planta desvia do modelo nominal. Isso leva a erros de predição inevitáveis.

As estratégias existentes para lidar com esses problemas incluem:

• DeePC Regularizado: Melhora a robustez, mas frequentemente degrada o desempenho de rastreamento nominal.
• DeePC Online (ODeePC): Atualiza continuamente as matrizes de Hankel com novas medições. No entanto, isso requer entradas persistentemente excitantes (PE) (frequentemente alcançadas via injeção de ruído), o que afasta o sistema da referência e corre o risco de "apagar" o modelo do sistema se os dados antigos forem deslocados antes que os novos enriqueçam o modelo.
• DeePC de Ordem Reduzida Online (MDeePC): Utiliza matrizes de Hankel mosaico para evitar o deslocamento de dados. Embora evite alguns problemas de descontinuidade, o tamanho da matriz cresce ao longo do tempo, aumentando o fardo computacional, e ainda enfrenta o dilema entre a riqueza do modelo e a estabilidade.

O problema central abordado é como corrigir as predições de saída para perturbações variantes no tempo sem corromper o preditor DeePC base ou incorrer em custos excessivos de computação e excitação.

2. Metodologia: MFDOOM

O artigo propõe o Model-Free Disturbance Observer with Online Modification (MFDOOM). Este método aumenta a estrutura padrão do DeePC com um observador de perturbações dedicado, atualizado continuamente, que opera independentemente das matrizes de comportamento nominal.

Mecanismo Central

O MFDOOM trata o erro de predição ($d = \bar{y} - \hat{y}$) como uma trajetória gerada por um sistema LTI autônomo ($B_d$). Em vez de modificar as matrizes de comportamento primárias ($U, Y$) usadas para o controle nominal, o MFDOOM constrói uma matriz de Hankel separada ($D$) a partir dos erros de predição históricos.

O problema de otimização no MFDOOM (Equação 11) minimiza uma função de custo que inclui um termo de correção:
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
Sujeito a:

1. Restrições Nominais: Restrições padrão do DeePC vinculando entradas/saídas às matrizes de comportamento fixas ($U, Y$).
2. Restrições de Dinâmica de Erro: Uma nova restrição vinculando o histórico do erro de predição atual ($d_{ini}$) e a predição do erro futuro ($d$) à matriz de comportamento de erro ($D$):
   $$\begin{bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}$$

Principais Características Algorítmicas

• Base Fixa: As matrizes de comportamento nominal ($U, Y$) permanecem fixas, permitindo a pré-computação dos termos do DeePC.
• Correção Adaptativa: A matriz de erro $D$ é atualizada online usando uma janela deslizante de erros de predição.
• Limiar de Ativação: A coleta de dados para a matriz de erro começa apenas quando o erro de predição excede um limiar numérico de ruído ($\epsilon$).
• Ganho Adaptativo ($\Gamma$): Um mecanismo opcional (Algoritmo 4) escala o termo de correção com base no erro de estimativa ($e_d = |d_a - d^*$). Se a estimativa do erro for não confiável, $\Gamma$ aproxima-se de zero, revertendo efetivamente o controlador para um DeePC regularizado para garantir robustez transitória.

3. Principais Contribuições

• Separação de Preocupações: O MFDOOM desacopla o preditor nominal da adaptação da perturbação. Diferente do ODeePC ou MDeePC, ele não modifica as matrizes que representam a dinâmica nominal do sistema, evitando a injeção de ruído no modelo base.
• Redução do Fardo Computacional: A atualização online é restrita à matriz de erro de predição $D$, que é menor e não expande de tamanho ao longo do tempo, ao contrário das matrizes crescentes no MDeePC.
• Sem Requisito de Excitação Persistente: Ao contrário do ODeePC, o MFDOOM não exige que a entrada de controle nominal seja persistentemente excitante. A riqueza necessária é transferida para a própria observação do erro de predição.
• Fundamentação Teórica: O método baseia-se na Proposição 1, que estabelece que, se o comportamento do erro for gerado por um sistema LTI autônomo e a matriz de Hankel de erros tiver posto completo, as trajetórias futuras de erro podem ser linearmente preditas a partir de erros passados.

4. Resultados de Simulação

Os autores avaliaram o MFDOOM em uma tarefa de controle de velocidade de motor DC sob perturbações harmônicas de amplitude senoidal e variante no tempo, comparando-o com MPC (sem perturbação), ODeePC e MDerePC.

• Desempenho de Rastreamento: O MFDOOM demonstrou um Erro Quadrático Médio (RMSE) significativamente menor em comparação ao ODeePC e MDerePC. No teste de perturbação senoidal, o MFDOOM alcançou um RMSE de 0,06, contra 0,34 para o ODeePC e 0,19 para o MDerePC.
• Convergência: O MFDOOM exibiu convergência mais rápida para um erro de rastreamento próximo de zero após a aprendizagem da dinâmica do erro de predição.
• Robustez ao Ruído: Quando o ruído do sensor foi adicionado, o MFDOOM manteve a estabilidade e o baixo erro, enquanto o MDerePC exigiu uma regularização significativamente maior ($K_g = 10.000$) para permanecer estável, o que degradou o desempenho.
• Perturbações Variantes no Tempo: Em um cenário de perturbações de amplitude variante no tempo, o MFDOOM não exigiu ajustes de ganho e manteve a compensação precisa, enquanto o ODerePC sofreu descontinuidades quando a perturbação foi alternada.

5. Significância e Alegações

O artigo afirma que o MFDOOM oferece uma abordagem superior para controlar sistemas sujeitos a perturbações LTI autônomas dentro da estrutura DeePC. Ao isolar a compensação da perturbação em um observador de erro dedicado, o método alcança:

1. Melhor Rastreamento: Redução do erro de rastreamento em comparação com as variantes existentes de DeePC online.
2. Menor Carga Online: Redução do custo computacional ao evitar a expansão ou o deslocamento contínuo de grandes matrizes de comportamento nominal.
3. Estabilidade: Evita a necessidade de injeção contínua de ruído (entradas PE) para manter a validade do modelo, prevenindo assim desvios desnecessários das trajetórias de referência.

Os autores concluem que, embora a formulação atual seja otimizada para perturbações geradas por sistemas LTI autônomos, a separação do preditor base e do mecanismo de correção adaptativa fornece uma base promissora para extensões futuras a classes mais amplas de sistemas variantes no tempo.