Technische Samenvatting: Model-Free Disturbance Observer with Online Modification (MFDOOM)

1. Probleemstelling

Data-Enabled Predictive Control (DeePC) biedt een modelvrij alternatief voor Model Predictive Control (MPC) door systeemgedrag te voorspellen met behulp van Hankel-matrices die zijn geconstrueerd uit input-output data. De prestaties van DeePC zijn echter sterk afhankelijk van de relevantie van de verzamelde data. Wanneer systemen onderhevig zijn aan verstoringen — met name die gegenereerd worden door autonome lineaire tijd-invariante (LTI) systemen (bijv. sinusoïden, rampen of sprongen) — wijkt het gemeten plantgedrag af van het nominale model. Dit leidt tot onvermijdelijke voorspellingsfouten.

Bestaande strategieën om deze problemen aan te pakken zijn onder meer:

• Reguliere DeePC: Verbetert de robuustheid, maar verslechtert vaak de nominale tracking-prestaties.
• Online DeePC (ODeePC): Actualiseert Hankel-matrices continu met nieuwe metingen. Dit vereist echter persistent exciterende (PE) inputs (vaak bereikt door ruis te injecteren), wat het systeem wegstuurt van de referentie, en brengt het risico met zich mee dat het systeemmodel wordt "uitgewist" als oude data wordt uitgeschoven voordat nieuwe data het model verrijkt.
• Online Reduced-Order DeePC (MDeePC): Gebruikt mosaic Hankel-matrices om het uitschuiven van data te voorkomen. Hoewel dit sommige discontinuïteitsproblemen vermijdt, groeit de matrixgrootte in de loop van de tijd, wat de computationele last verhoogt, en het worstelt nog steeds met de afweging tussen modelrijkdom en stabiliteit.

Het kernprobleem dat wordt aangepakt, is hoe voorspellingen van de output gecorrigeerd kunnen worden voor tijdvariërende verstoringen zonder de baseline DeePC-voorspeller te corrumperen of excessieve computationele en excitatiekosten te veroorzaken.

2. Methodologie: MFDOOM

Het artikel stelt Model-Free Disturbance Observer with Online Modification (MFDOOM) voor. Deze methode breidt het standaard DeePC-framework uit met een toegewijde, continu bijgewerkte disturbance observer die onafhankelijk werkt van de nominale gedragsmatrices.

Kernmechanisme

MFDOOM behandelt de voorspellingsfout ($d = \bar{y} - \hat{y}$) als een traject gegenereerd door een autonoom LTI-systeem ($B_d$). In plaats van de primaire gedragsmatrices ($U, Y$) te wijzigen die worden gebruikt voor nominale controle, construeert MFDOOM een aparte Hankel-matrix ($D$) uit historische voorspellingsfouten.

Het optimalisatieprobleem in MFDOOM (Vergelijking 11) minimaliseert een kostenfunctie die een correctieterm bevat:
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
Onderhevig aan:

1. Nominale Randvoorwaarden: Standaard DeePC-randvoorwaarden die inputs/outputs koppelen aan de vaste gedragsmatrices ($U, Y$).
2. Error Dynamics Randvoorwaarden: Een nieuwe randvoorwaarde die de huidige voorspellingsfoutgeschiedenis ($d_{ini}$) en toekomstige foutvoorspelling ($d$) koppelt aan de fout-gedragsmatrix ($D$):
   \begin0bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}

Belangrijke Algoritmische Kenmerken

• Fixed Baseline: De nominale gedragsmatrices ($U, Y$) blijven vast, waardoor DeePC-termen vooraf berekend kunnen worden.
• Adaptieve Correctie: De fout-matrix $D$ wordt online bijgewerkt met behulp van een sliding window van voorspellingsfouten.
• Activatiedrempel: De dataverzameling voor de fout-matrix begint pas wanneer de voorspellingsfout een numerieke ruisdrempel ($\epsilon$) overschrijdt.
• Adaptieve Gain ($\Gamma$): Een optioneel mechanisme (Algoritme 4) schaalt de correctieterm op basis van de schattingsfout ($e_d = |d_a - d^*|$). Als de schatting van de fout onbetrouwbaar is, nadert $\Gamma$ nul, waardoor de controller effectief terugkeert naar een geregulariseerde DeePC om transiënte robuustheid te garanderen.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Scheiding van Zorgen: MFDOOM ontkoppelt de nominale voorspeller van de verstoring-adaptatie. In tegenstelling tot ODeePC of MDeePC, wijzigt het niet de matrices die het nominale gedrag van het systeem vertegenwoordigen, waardoor de injectie van ruis in het baseline-model wordt voorkomen.
• Verminderde Computationele Last: De online update is beperkt tot de kleinere voorspellingsfout-matrix $D$, die niet in grootte toeneemt in de loop van de tijd, in tegenstelling tot de groeiende matrices in MDeePC.
• Geen Vereiste voor Persistente Excitatie: In tegenstelling tot ODeePC vereist MFDOOM niet dat de nominale control-input persistent exciterend is. De noodzakelijke rijkdom wordt verschoven naar de observatie van de voorspellingsfout zelf.
• Theoretische Fundering: De methode steunt op Proposition 1, die vaststelt dat indien het foutgedrag wordt gegenereerd door een autonoom LTI-systeem en de Hankel-matrix van fouten volledige rang heeft, toekomstige fouttrajecten lineair voorspeld kunnen worden vanuit het verleden van de fouten.

4. Simulatie-resultaten

De auteurs evalueerden MFDOOM op een DC-motor snelheidregeling taak onder sinusoïdale en tijdvariërende amplitude harmonische verstoringen, waarbij ze MFDOOM vergeleken met MPC (geen verstoring), ODeePC en MDeePC.

• Tracking Prestaties: MFDOOM vertoonde een significant lagere Root Mean Square Error (RMSE) vergeleken met ODeePC en MDeePC. In de test met sinusoïdale verstoring behaalde MFDOOM een RMSE van 0,06, vergeleken met 0,34 voor ODeePC en 0,19 voor MDeePC.
• Convergentie: MFDOOM vertoonde een snellere convergentie naar een nabij-nul trackingfout nadat de dynamica van de voorspellingsfout geleerd waren.
• Robuustheid tegen Ruis: Wanneer sensornoise werd toegevoegd, behield MFDOOM stabiliteit en een lage fout, terwijl MDeePC aanzienlijk hogere regularisatie ($K_g = 10.000$) nodig had om stabiel te blijven, wat de prestaties verslechterde.
• Tijdvariërende Verstoringen: In een scenario met tijdvariërende amplitude-verstoringen had MFDOOM geen gain-aanpassingen nodig en behield het een nauwkeurige compensatie, terwijl ODeePC discontinuïteiten vertoonde wanneer de verstoring werd in- of uitgeschakeld.

5. Betekenis en Claims

Het artikel claimt dat MFDOOM een superieure aanpak biedt voor het regelen van systemen die onderhevig zijn aan autonome LTI-verstoringen binnen het DeePC-framework. Door de isolatie van de verstoring-compensatie naar een toegewijde fout-observer, bereikt de methode:

1. Verbeterde Tracking: Verminderde trackingfout vergeleken met bestaande online DeePC-varianten.
2. Lagere Online Last: Verminderde computationele kosten door het vermijden van de continue expansie of het verschuiven van grote nominale gedragsmatrices.
3. Stabiliteit: Voorkomt de noodzaak van continue ruisinjectie (PE-inputs) om de modelgeldigheid te handhaven, waardoor onnodige afwijkingen van referentietrajecten worden voorkomen.

De auteurs concluderen dat hoewel de huidige formulering geoptimaliseerd is voor verstoringen gegenereerd door autonome LTI-systemen, de scheiding tussen de baseline-voorspeller en het adaptieve correctiemechanisme een veelbelovende basis biedt voor toekomstige uitbreidingen naar bredere klassen van tijdvariërende systemen.