技術要約：オンライン修正を伴うモデルフリー外乱オブザーバ (MFDOOM)

1. 問題提起

データ駆動型予測制御 (DeePC) は、入力・出力データから構成されるハンケル行列を用いてシステムの挙動を予測することにより、モデル予測制御 (MPC) に代わるモデルフリーな手法を提供する。しかし、DeePC の性能は収集されたデータの関連性に大きく依存する。システムが外乱（特に正弦波、ランプ、ステップなどの自律的な線形時不変 (LTI) システムによって生成されるもの）の影響を受ける場合、測定されたプラントの挙動は公称モデルから逸脱する。これにより、不可避な予測誤差が生じる。

これらの問題に対処するための既存の戦略には以下が含まれる：

• 正則化 DeePC (Regularized DeePC): 堅牢性を向上させるが、多くの場合、公称の追従性能を低下させる。
• オンライン DeePC (ODeePC): 新しい測定値を用いてハンケル行列を継続的に更新する。しかし、これは持続的励起 (PE) 入力（多くの場合、ノイズの注入によって達成される）を必要とするため、システムを目標値から遠ざけ、また新しいデータがモデルを豊かにする前に古いデータが押し出されることで、システムモデルを「消去」してしまうリスクがある。
• オンライン縮小次数 DeePC (MDeePC): データの押し出しを回避するためにモザイク・ハンケル行列を使用する。これは不連続性の問題を回避できる一方で、行列のサイズが時間の経過とともに増大し、計算負荷が増加する。また、モデルの豊かさと安定性の間のトレードオフに依然として苦慮している。

対処すべき核心的な問題は、公称の DeePC 予測器を損なったり、過度な計算コストや励起コストを発生させたりすることなく、いかにして時変外乱に対する出力予測を補正するかである。

2. 手法：MFDOOM

本論文では、オンライン修正を伴うモデルフリー外乱オブザーバ (MFDOOM) を提案する。この手法は、標準的な DeePC フレームワークに、公称挙動行列とは独立して動作する、継続的に更新される専用の外乱オブザーバを付加するものである。

核心メカニズム

MFDOOM は、予測誤差 ($d = \bar{y} - \hat{y}$) を、自律的な LTI システム ($B_d$) によって生成される軌跡として扱う。公称制御に使用される主要な挙動行列 ($U, Y$) を修正する代わりに、MFDOOM は過去の予測誤差から構築された別のハンケル行列 ($D$) を作成する。

MFDOOM における最適化問題（式 11）は、補正項を含むコスト関数を最小化する：
$$\min_{g, u, y, \sigma_y, d, g_d} J_{QR}(y - \Gamma d, u, r) + \dots$$
制約条件：

1. 公称制約: 入力・出力を固定された挙動行列 ($U, Y$) に結びつける標準的な DeePC 制約。
2. 誤差ダイナミクス制約: 現在の予測誤差履歴 ($d_{ini}$) と将来の誤差予測 ($d$) を、誤差挙動行列 ($D$) に結びつける新しい制約：
   $$\begin{bmatrix} D_p \\ D_f \end{bmatrix} g_d = \begin{bmatrix} d_{ini} \\ d \end{bmatrix}$$

主なアルゴリズムの特徴

• 固定されたベースライン: 公称挙動行列 ($U, Y$) は固定されており、DeePC 項の事前計算が可能である。
• 適応的補正: 誤差行列 $D$ は、予測誤差のスライディングウィンドウを用いてオンラインで更新される。
• 活性化閾値: 誤差行列のためのデータ収集は、予測誤差が数値的なノイズ閾値 ($\epsilon$) を超えた場合にのみ開始される。
• 適応ゲイン ($\Gamma$): 推定誤差 ($e_d = |d_a - d^*|$) に基づいて補正項をスケーリングするオプションのメカニズム（アルゴリズム 4）。推定誤差が信頼できない場合、$\Gamma$ はゼロに近づき、実質的に正則化 DeePC に戻ることで、過渡的な堅牢性を確保する。

3. 主な貢献

• 関心の分離: MFDOOM は、公称予測器と外乱適応を分離する。ODeePC や MDeePC とは異なり、システムの公称ダイナミクスを表す行列を修正しないため、ベースラインモデルへのノイズ注入を防ぐことができる。
• 計算負荷の軽減: オンライン更新は、より小さな予測誤差行列 $D$ に限定されており、MDeePC のように行列のサイズが時間とともに増大することはない。
• 持続的励起の不要性: ODeePC とは異なり、MFDOOM は公称制御入力に持続的励起を必要としない。必要な豊かさは、予測誤差自体の観測へとシフトされる。
• 理論的基礎: 本手法は、誤差の挙動が自律的な LTI システムによって生成され、誤差のハンケル行列がフルランクである場合、将来の誤差軌跡は過去の誤差から線形に予測できるという命題 1 に依拠している。

4. シミュレーション結果

著者らは、正弦波および時変振幅の調和外乱下での DC モータ速度制御タスクにおいて、MFDOOM を MPC（外乱なし）、ODeePC、および MDeePC と比較評価した。

• 追従性能: MFDOOM は、ODeePC および MDeePC と比較して、著しく低い平方根平均二乗誤差 (RMSE) を示した。正弦波外乱テストにおいて、MFDOOM は 0.06 の RMSE を達成したが、ODeePC は 0.34、MDeePC は 0.19 であった。
• 収束性: MFDOOM は、予測誤差のダイナミクスが学習された後、ゼロに近い追従誤差へと高速に収束した。
• ノイズへの堅牢性: センサノイズが加えられた際、MDeePC は安定性を維持するために大幅に高い正則化 ($K_g = 10,000$) を必要としたが、これは性能を低下させた。一方、MFDOOM は安定性と低い誤差を維持した。
• 時変外乱: 時変振幅外乱のシナリオにおいて、MFDOOM はゲイン調整を必要とせず正確な補償を維持したが、ODeePC は外乱が切り替わる際に不連続性に悩まされた。

5. 重要性と主張

本論文は、DeePC フレームワーク内で自律的な LTI 外乱を受けるシステムを制御するための優れたアプローチとして、MFDOOM を提示している。専用の誤差オブザーバに外乱補償を隔離することで、本手法は以下を実現する：

1. 追従性能の向上: 既存のオンライン DeePC 変種と比較して、追従誤差を低減する。
2. オンライン負荷の低減: 大きな公称挙動行列の継続的な拡張や押し出しを避けることで、計算コストを削減する。
3. 安定性: モデルの妥当性を維持するために継続的なノイズ注入（PE 入力）を必要とせず、それによって目標値からの不要な逸脱を防ぐ。

著者らは、現在の定式化は自律的な LTI システムによって生成される外乱に最適化されているものの、ベースライン予測器と適応的補正メカニズムの分離が、より広範な時変システムへの将来的な拡張に向けた有望な基礎を提供すると結論付けている。