Quantifying the advantages of applying quantum approximate algorithms to portfolio optimisation

निवेशकों ने लंबे समय से एक ऐसा तरीका खोजने की कोशिश की है जिससे वे जोखिम को कम करते हुए संपत्तियों का एक पोर्टफोलियो बना सकें, जो बाजार की जटिल वास्तविकताओं के अनुरूप हो। सिद्धांत की आदर्श दुनिया में, एक व्यक्ति पूर्ण संतुलन प्राप्त करने के लिए किसी स्टॉक या बॉन्ड का कोई भी अंश (fraction) खरीद सकता है। हालाँकि, वास्तविक दुनिया में, संपत्तियाँ अलग-अलग हिस्सों (discrete chunks) में बेची जाती हैं; आप किसी कंपनी का आधा शेयर या फ्यूचर्स कॉन्ट्रैक्ट का एक अंश नहीं खरीद सकते। पूर्ण संख्याओं की इस आवश्यकता ने सबसे सुरक्षित निवेश मिश्रण की खोज को एक कुख्यात रूप से कठिन गणितीय पहेली में बदल दिया है। इस पहेली को हल करना, जिसे 'डिस्क्रीट ग्लोबल मिनिमम वेरिएंस पोर्टफोलियो प्रॉब्लम' के रूप में जाना जाता है, मात्रात्मक विश्लेषकों (quantitative analysts) और फंड प्रबंधकों के लिए आवश्यक है, लेकिन यह इतना जटिल है कि सबसे शक्तिशाली क्लासिकल कंप्यूटर भी तेजी से पूर्ण समाधान खोजने के लिए संघर्ष करते हैं। जैसे-जैसे संपत्तियों की संख्या बढ़ती है, संभावित संयोजनों की संख्या विस्फोटक रूप से बढ़ जाती है, जिससे पूर्ण पोर्टफोलियो की खोज समुद्र तट पर रेत के एक विशिष्ट कण को खोजने जैसी महसूस होती है जो लगातार बढ़ता जा रहा है।

कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं के एक दल ने इस बात की खोज की है कि क्या क्वांटम कंप्यूटर, जो क्वांटम मैकेनिक्स के सिद्धांतों पर कार्य करते हैं, पारंपरिक मशीनों की तुलना में इस विशिष्ट वित्तीय पहेली को अधिक प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं। उन्होंने 'क्वांटम एप्रोक्सिमेट ऑप्टिमाइजेशन एल्गोरिदम' (QAOA) नामक एक क्वांटम एल्गोरिदम का उपयोग करके एक पूर्ण पद्धति विकसित की है। यह दृष्टिकोण हर बार एक पूर्ण उत्तर की गारंटी नहीं देता है, लेकिन इसे समाधानों के परिदृश्य (landscape) में इस तरह से नेविगेट करने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि यह एक बहुत अच्छा अनुमान (approximation) प्रदान कर सके, जिसे क्लासिकल कंप्यूटर नहीं कर सकते। शोधकर्ताओं ने इस पद्धति के लिए एक पूर्ण पाइपलाइन बनाई, जो इस बात से शुरू होती है कि वित्तीय समस्या को उस भाषा में कैसे अनुवादित किया जाए जिसे क्वांटम कंप्यूटर समझ सके, फिर उन विशिष्ट चरणों को डिजाइन किया जिन्हें कंप्यूटर को पूरा करना होगा, और विभिन्न स्थितियों के तहत सिस्टम के प्रदर्शन का परीक्षण किया। उनका कार्य एक स्पष्ट, एंड-टू-एंड ब्लूप्रिंट प्रदान करता है कि कैसे एक क्वांटम कंप्यूटर भविष्य में वास्तविक दुनिया के ट्रेडिंग की डिस्क्रीट प्रकृति को संभाल सकता है।

शोधकर्ताओं ने सबसे पहले प्रत्येक संपत्ति के भार (weight) को बाइनरी वेरिएबल्स का उपयोग करके प्रदर्शित करने का तरीका निकाला, जो अनिवार्य रूप से समस्या को 'ऑन' और 'ऑफ' स्विच की एक श्रृंखला में परिवर्तित करता है। इसके बाद उन्होंने निर्देशों का एक विशिष्ट सेट डिजाइन किया, जिसे 'एंसाट्ज़' (ansatz) कहा जाता है, जो क्वांटम कंप्यूटर को ऑपरेशन्स के एक क्रम के माध्यम से निर्देशित करता है। इस प्रक्रिया में एक प्रारंभिक अनुमान तैयार करना, एक 'कॉस्ट फंक्शन' लागू करना जो यह मापता है कि एक विशेष मिश्रण कितना जोखिम भरा है, और बेहतर समाधान की तलाश में संभावनाओं को इधर-उधर करने के लिए एक 'मिक्सिंग ऑपरेटर' का उपयोग करना शामिल है। महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने एक "हार्ड-कन्स्ट्रेंट" मिक्सिंग ऑपरेटर डिजाइन किया जो यह सुनिश्चित करता है कि कंप्यूटर कभी भी अमान्य पोर्टफोलियो पर विचार न करे, जैसे कि वे जो कुल बजट को पूरा नहीं करते या इस नियम का उल्लंघन करते हैं कि संपत्तियाँ पूर्ण इकाइयों में खरीदी जानी चाहिए। यह प्रतिबंध अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह खोज को यथार्थवादी निवेश रणनीतियों पर केंद्रित रखता है और असंभव परिदृश्यों पर समय बर्बाद होने से बचाता है।

अपने तरीके का परीक्षण करने के लिए, टीम ने विभिन्न संपत्तियों की संख्या और सटीकता के विभिन्न स्तरों वाले वित्तीय बाजारों के मॉडलों पर व्यापक संख्यात्मक सिमुलेशन चलाए। उन्होंने सर्वोत्तम सेटिंग्स खोजने के लिए कई रणनीतियों का परीक्षण किया, जिसमें विभिन्न प्रकार के प्रारंभिक अनुमान और ऑप्टिमाइजेशन रूटीन शामिल थे। उन्होंने पाया कि "वार्म-स्टार्टेड" स्टेट (warm-started state) के साथ शुरुआत करना—जो समस्या के एक सरलीकृत, निरंतर संस्करण से प्राप्त प्रारंभिक अनुमान है—पूरी तरह से यादृच्छिक (random) अनुमान से शुरू करने की तुलना में अक्सर बेहतर परिणाम देता है। इसके अलावा, उन्होंने पाया कि एक विशिष्ट ऑप्टिमाइजेशन तकनीक जिसे 'डुअल एनीलिंग' (dual annealing) कहा जाता है, क्वांटम सर्किट को परत-दर-परत बनाने के दृष्टिकोण के साथ मिलकर, सबसे मजबूत प्रदर्शन प्रदान करती है। इस संयोजन ने एल्गोरिदम को जटिल समाधान परिदृश्य में अधिक प्रभावी ढंग से नेविगेट करने की अनुमति दी, भले ही डेटा शोर (noisy) वाला हो।

सिमुलेशन ने क्वांटम दृष्टिकोण की दक्षता के संबंध में एक आशाजनक रुझान प्रकट किया, हालांकि इसमें महत्वपूर्ण चेतावनियाँ भी शामिल हैं। जब शोधकर्ताओं ने देखा कि समस्या के बड़े होने पर सर्वोत्तम समाधान खोजने के लिए आवश्यक मापों (measurements) की संख्या कैसे स्केल होती है, तो उन्होंने विशेष रूप रूप से 'वार्म-स्टार्टेड' प्रारंभिक अवस्था का उपयोग करते समय एक अनुकूल पैटर्न देखा। इस क्षेत्र में, उनके क्वांटम एल्गोरिदम के लिए ग्लोबल मिनिमम (सबसे सुरक्षित पोर्टफोलियो) को खोजने के लिए आवश्यक मापों की संख्या, एक मानक पद्धति की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ी, जो केवल वैध पोर्टफोलियो का यादृच्छिक नमूना (sampling) लेती है। यह सुझाव देता है कि बड़े, जटिल पोर्टफोलियो के लिए, क्वांटम विधि को अनुकूलित समाधान खोजने के लिए 'कन्स्ट्रेंड यूनिफॉर्म सैंपलिंग' विधियों की तुलना में अंततः बहुत कम प्रयासों की आवश्यकता हो सकती है। हालांकि, शोधकर्ताओं ने नोट किया कि यह स्केलिंग लाभ 'मैक्स-बायस' (max-bias) प्रारंभिक अवस्था के साथ नहीं देखा गया था, और 'कन्स्ट्रेंड यूनिफॉर्म सैंपलिंग' केवल क्लासिकल सैंपलिंग जटिलता के लिए एक निचला स्तर (lower bound) प्रदान करती है, जिससे बेहतर क्लासिकल एल्गोरिदम के साथ तुलना भविष्य के कार्य के लिए छोड़ दी गई है।

हालाँकि, अध्ययन ने हार्डवेयर की वर्तमान स्थिति के संबंध में एक कड़वी वास्तविकता भी प्रस्तुत की। जब शोधकर्ताओं ने वास्तविक स्तर का शोर (noise) पेश किया, विशेष रूप से 'थर्मल रिलैक्सेशन' (thermal relaxation), जो इस बात की नकल करता है कि क्वांटम अवस्थाएँ समय के साथ कैसे क्षय होती हैं, तो एल्गोरिदम का प्रदर्शन तेजी से गिर गया। शोर इतना प्रबल था कि उसने सिग्नल को धुंधला कर दिया, जिससे वर्तमान तकनीक के साथ क्लासिकल तरीकों पर कोई लाभ देखना असंभव हो गया। शोधकर्ताओं ने पाया कि अमान्य परिणामों को फ़िल्टर करने की तकनीकों के बावजूद, शोर के कारण इतने अतिरिक्त माप लेने पड़े कि इसने किसी भी गति लाभ को समाप्त कर दिया। यह इंगित करता है कि क्वांटम वित्त को एक व्यावहारिक वास्तविकता बनने के लिए, क्वांटम हार्डवेयर की त्रुटि दर (error rates) में कई गुना सुधार की आवश्यकता है। तब तक, सैद्धांतिक लाभ केवल सैद्धांतिक ही रहेंगे।

हार्डवेयर की सीमाओं के बावजूद, यह कार्य वित्त में क्वांटम एल्गोरिदम को कैसे लागू किया जा सकता है, इसे समझने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि डिस्क्रीट पोर्टफोलियो समस्या के लिए एक पूर्ण, एंड-टू-एंड समाधान संभव है और उन्होंने उन विशिष्ट घटकों की पहचान की, जैसे कि 'हार्ड-कन्स्ट्रेंट मिक्सिंग ऑपरेटर' और 'डुअल एनीलिंग ऑप्टिमाइज़र', जो सिमुलेशन में इसे सबसे अच्छा बनाते हैं। उन्होंने दिखाया कि जबकि वर्तमान मशीनें इस कार्य के लिए बहुत शोर वाली हैं, भविष्य के लाभ का मार्ग स्पष्ट है। यदि हार्डवेयर उस स्तर तक सुधर जाता है जहाँ थर्मल शोर अब एक प्रमुख कारक नहीं रह जाता, तो 'स्टोकेस्टिक मेजरमेंट नॉइज़' प्राथमिक चुनौती बन जाएगी। उस भविष्य के युग में, उनके सिमुलेशन में देखा गया अनुकूल स्केलिंग (विशेष रूप से 'वार्म-स्टार्टेड' प्रारंभिक अवस्था का उपयोग करते समय), यह सुझाव देता है कि क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में जटिल वित्तीय बाजारों में जोखिम प्रबंधन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान कर सकते हैं, जो वास्तविक दुनिया की डिस्क्रीट बाधाओं को नेविगेट करने का एक तरीका प्रदान करता है, जिसे क्लासिकल सैंपलिंग विधियों की तुलना में अधिक गति के साथ किया जा सकता है।