Quantifying the advantages of applying quantum approximate algorithms to portfolio optimisation

Investoren suchen schon seit langem nach einem Weg, ein Portfolio aus Vermögenswerten aufzubauen, das das Risiko minimiert und gleichzeitig die unordentlichen Realitäten des Marktes berücksichtigt. In der idealen Welt der Theorie könnte man jeden beliebigen Bruchteil einer Aktie oder Anleihe kaufen, um ein perfektes Gleichgewicht zu erreichen. In der realen Welt jedoch werden Vermögenswerte in diskreten Einheiten verkauft; man kann nicht eine halbe Aktie eines Unternehmens oder einen Bruchteil eines Futures-Kontrakts kaufen. Diese Anforderung nach ganzen Zahlen verwandelt die Suche nach der sichersten möglichen Anlagemischung in ein notorisch schwieriges mathematisches Rätsel. Die Lösung dieses Rätsels, bekannt als das Problem des diskreten globalen Minimum-Varianz-Portfolios, ist für quantitative Analysten und Fondsmanager von entscheidender Bedeutung, aber es ist so komplex, dass selbst die leistungsfähigsten klassischen Computer Schwierigkeiten haben, die absolut beste Lösung schnell zu finden. Mit zunehmender Anzahl der Vermögenswerte explodiert die Zahl der möglichen Kombinationen, was die Suche nach dem perfekten Portfolio wie die Suche nach einem ganz bestimmten Sandkorn an einem Strand erscheinen lässt, der ständig weiter wächst.

Ein Forschungsteam der Universität Cambridge hat untersucht, ob Quantencomputer, die nach den Prinzipien der Quantenmechanik arbeiten, in der Lage sind, dieses spezifische Finanzrätsel effektiver als herkömmliche Maschinen zu lösen. Sie entwickelten eine vollständige Methode unter Verwendung eines Quantenalgorithmus namens Quantum Approximate Optimization Algorithm, oder QAOA. Dieser Ansatz garantiert nicht jedes Mal eine perfekte Antwort, ist aber darauf ausgelegt, eine sehr gute Annäherung zu finden, indem er die Landschaft der möglichen Lösungen auf eine Weise durchquert, die für klassische Computer nicht möglich ist. Die Forscher entwickelten eine vollständige Pipeline für diese Methode, beginnend mit der Frage, wie man das Finanzproblem in eine Sprache übersetzt, die ein Quantencomputer versteht, dem Entwurf der spezifischen Schritte, die der Computer ausführen muss, und der Prüfung, wie gut das System unter verschiedenen Bedingungen abschneidet. Ihre Arbeit liefert einen klaren End-to-End-Blaupause dafür, wie ein Quantencomputer eines Tages mit der diskreten Natur des realen Handels umgehen könnte.

Die Forscher begannen damit, das Gewicht jedes Vermögenswertes in einem Portfolio mithilfe von Binärvariablen darzustellen, was im Wesentlichen die Umwandlung des Problems in eine Serie von An- und Aus-Schaltern bedeutet. Dann entwarfen sie eine spezifische Reihe von Anweisungen, bekannt als Ansatz, die den Quantencomputer durch eine Sequenz von Operationen leitet. Dieser Prozess beinhaltet das Vorbereiten einer ersten Schätzung für das Portfolio, das Anwenden einer Kostenfunktion, die misst, wie riskant eine bestimmte Mischung ist, und die Verwendung eines Mischoperators, um die Möglichkeiten auf der Suche nach einer besseren Lösung durchzumischen. Entscheidend ist, dass sie einen „Hard-Constraint“-Mischoperator entworfen haben, der sicherstellt, dass der Computer niemals ungültige Portfolios in Betracht zieht, wie etwa solche, die das Gesamtbudget nicht einhalten oder gegen die Regel verstoßen, dass Vermögenswerte in ganzen Einheiten gekauft werden müssen. Diese Einschränkung ist wichtig, da sie die Suche auf realistische Anlagestrategien konzentriert, anstatt Zeit mit unmöglichen Szenarien zu verschwenden.

Um ihre Methode zu testen, führten die Forscher umfangreiche numerische Simulationen an Modellen von Finanzmärkten mit einer variierenden Anzahl von Vermögenswerten und unterschiedlichen Präzisionsstufen durch. Sie verglichen verschiedene Strategien zur Findung der besten Einstellungen für ihren Quantenkreis und testeten verschiedene Arten von Anfangsschätzungen und Optimierungsroutinen. Sie fanden heraus, dass der Beginn mit einem „Warm-Started“-Zustand – einer ersten Schätzung, die aus einer vereinfachten, kontinuierlichen Version des Problems abgeleitet wurde – oft zu besseren Ergebnissen führte als der Beginn mit einer völlig zufälligen Schätzung. Darüber hinaus entdeckten sie, dass eine spezifische Optimierungstechnik namens Dual Annealing in Kombination mit einem Layer-für-Layer-Ansatz beim Aufbau des Quantenkreises die robusteste Leistung bot. Diese Kombination ermöglichte es dem Algorithmus, die komplexe Lösungslandschaft effektiver zu durchqueren, selbst wenn die Daten verrauscht waren.

Die Simulationen zeigten einen vielversprechenden Trend hinsichtlich der Effizienz des Quantenansatzes auf, wenngleich mit wichtigen Einschränkungen. Als die Forscher untersuchten, wie die Anzahl der Messungen, die erforderlich sind, um die beste Lösung zu finden, mit der Vergrößerung des Problems skalierte, beobachteten sie ein günstiges Muster speziell bei der Verwendung des Warm-Started-Initialzustands. In diesem Bereich wuchs die Anzahl der Messungen, die benötigt werden, um das globale Minimum – das absolut sicherste Portfolio – zu finden, für ihren Quantenalgorithmus wesentlich langsamer als bei einer Standardmethode, die einfach zufällige gültige Portfolios stichprobenartig auswählt. Dies deutet darauf hin, dass der Quantenansatz für große, komplexe Portfolios letztlich weit weniger Versuche benötigen könnte, um die optimale Lösung zu finden, als Methoden der eingeschränkten Gleichverteilung (Constrained Uniform Sampling). Die Forscher merkten jedoch an, dass dieser Skalierungsvorteil beim Max-Bias-Initialzustand nicht beobachtet wurde und dass die Gleichverteilung nur eine untere Schranke für die klassische Sampling-Komplexität darstellt, was die Vergleiche mit verbesserten klassischen Algorithmen künftiger Forschungsarbeit überlässt.

Dennoch lieferte die Studie auch eine ernüchternde Realitätsprüfung hinsichtlich des aktuellen Stands der Hardware. Als die Forscher realistische Rauschpegel einführten, insbesondere die thermische Relaxation, die simuliert, wie Quantenzustände im Laufe der Zeit zerfallen, sank die Leistung des Algorithmus drastisch. Das Rauschen war stark genug, um das Signal zu überlagern, was es unmöglich machte, einen Vorteil gegenüber klassischen Methoden mit der heutigen Technologie zu sehen. Die Forscher stellten fest, dass das Rauschen selbst unter Anwendung von Techniken zur Filterung ungültiger Ergebnisse so viele zusätzliche Messungen erforderte, dass es jeglichen Geschwindigkeitsvorteil zunichtemachte. Dies deutet darauf hin, dass die Fehlerraten der Quantenhardware um mehrere Größenordnungen verbessert werden müssen, damit Quantenfinanz zu einer praktischen Realität wird. Bis dahin bleiben die theoretischen Vorteile genau das: theoretisch.

Trotz der Hardwarebeschränkungen stellt die Arbeit einen bedeutenden Schritt nach vorn im Verständnis darüber, wie Quantenalgorithmen auf die Finanzwelt angewendet werden können. Die Forscher demonstrierten, dass eine vollständige End-to-End-Lösung für das diskrete Portfolio-Problem möglich ist, und identifizierten die spezifischen Komponenten, wie den Hard-Constraint-Mischoperator und den Dual-Annealing-Optimizer, die in der Simulation am besten funktionieren. Sie zeigten, dass Quantenmaschinen zwar derzeit zu verrauscht sind, um für diese Aufgabe nützlich zu sein, der Weg zu einem zukünftigen Vorteil jedoch klar ist. Wenn sich die Hardware so weit verbessert, dass thermisches Rauschen kein dominanter Faktor mehr ist, wird das stochastische Messrauschen die primäre Herausforderung darstellen. In diesem zukünftigen Regime deutet die in ihren Simulationen beobachtete günstige Skalierung – insbesondere bei Nutzung des Warm-Started-Initialzustands – darauf hin, dass Quantencomputer in der Tat ein leistungsfähiges Werkzeug für das Risikomanagement in komplexen Finanzmärkten sein könnten, indem sie einen Weg bieten, die diskreten Beschränkungen der realen Welt mit einer Geschwindigkeit zu navigieren, die klassische Sampling-Methoden nicht erreichen können.