Quantifying the advantages of applying quantum approximate algorithms to portfolio optimisation

투자자들은 시장의 복잡한 현실을 준수하면서도 위험을 최소화하는 자산 포트폴리오를 구축하기 위한 방법을 오랫동안 모색해 왔습니다. 이론적인 이상 세계에서는 완벽한 균형을 맞추기 위해 주식이나 채권의 어떤 소수점 단위도 구매할 수 있습니다. 그러나 현실 세계에서 자산은 불연속적인 덩어리로 판매됩니다. 회사의 주식 절반이나 선물 계약의 일부를 살 수는 없습니다. 이러한 정수 단위의 요구 사항은 가장 안전한 투자 조합을 찾는 과정을 악명 높게 어려운 수학적 퍼즐로 만듭니다. '이산적 전역 최소 분산 포트폴리오 문제(discrete global minimum variance portfolio problem)'라고 알려진 이 퍼즐을 해결하는 것은 퀀트 분석가와 펀드 매니저들에게 필수적이지만, 너무나 복잡하여 가장 강력한 고전 컴퓨터조차 최적의 해답을 빠르게 찾아내는 데 어려움을 겪습니다. 자산의 수가 증가함에 따라 가능한 조합의 수는 폭발적으로 늘어나며, 이는 완벽한 포트폴리오를 찾는 과정을 계속해서 커지는 해변에서 특정한 모래알 하나를 찾는 것처럼 느끼게 만듭니다.

케임브리지 대학교의 연구진은 양자 역학의 원리에 따라 작동하는 양자 컴퓨터가 전통적인 기계보다 이 특정 금융 퍼즐을 더 효과적으로 해결할 수 있는지 탐구했습니다. 그들은 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)이라는 양자 알고리즘을 사용하여 완전한 방법론을 개발했습니다. 이 접근 방식은 매번 완벽한 답을 보장하지는 않지만, 고전 컴퓨터가 할 수 없는 방식으로 가능한 해답의 지형을 탐색함으로써 매우 훌륭한 근사치를 찾도록 설계되었습니다. 연구진은 금융 문제를 양자 컴퓨터가 이해할 수 있는 언어로 번역하는 방법부터 시작하여, 컴퓨터가 수행해야 할 구체적인 단계를 설계하고, 다양한 조건 하에서 시스템의 성능을 테스트하는 것에 이르기까지 이 방법의 전체 파이프라인을 구축했습니다. 그들의 연구는 양자 컴퓨터가 언젠가 실세계 거래의 이산적 특성을 어떻게 처리할 수 있는지에 대한 명확하고 엔드 투 엔드(end-to-end) 방식의 청사진을 제공합니다.

연구진은 먼저 각 자산의 가중치를 이진 변수를 사용하여 표현하는 방법을 찾아냈는데, 이는 본질적으로 문제를 일련의 온/오프 스위치로 변환하는 것입니다. 그런 다음 그들은 양자 컴퓨터를 일련의 연산 과정으로 안내하는 '안사츠(ansatz)'라고 불리는 특정 명령 세트를 설계했습니다. 이 과정은 포트폴리오에 대한 초기 추측을 준비하고, 특정 조합이 얼마나 위험한지를 측정하는 비용 함수를 적용하며, 더 나은 해답을 찾기 위해 가능성을 섞는 혼합 연산자(mixing operator)를 사용하는 과정을 포함합니다. 결정적으로, 그들은 컴퓨터가 총 예산을 초과하거나 자산을 반드시 정수 단위로 구매해야 한다는 규칙을 위반하는 것과 같은 유효하지 않은 포트폴리오를 고려하지 않도록 보장하는 '하드 제약(hard-constraint)' 혼합 연산자를 설계했습니다. 이 제약 조건은 컴퓨터가 불가능한 시나리오에 시간을 낭비하는 대신 현실적인 투자 전략에 집중할 수 있도록 유지하는 데 매우 중요합니다.

이 방법을 테스트하기 위해 연구진은 다양한 자산 수와 다양한 정밀도를 가진 금융 시장 모델에 대해 광범akan적인 수치 시뮬레이션을 실행했습니다. 그들은 최적의 양자 회로 설정을 찾기 위한 여러 전략을 비교하며, 다양한 유형의 초기 추측과 최적화 루틴을 테스트했습니다. 연구진은 단순화된 연속 버전의 문제로부터 도출된 초기 추측인 '웜 스타티드(warm-started)' 상태로 시작하는 것이 완전히 무작위적인 추측에서 시작하는 것보다 종종 더 나은 결과를 가져온다는 것을 발견했습니다. 또한, 듀얼 어닐링(dual annealing)이라 불리는 특정 최적화 기술을 양자 회로를 구축하는 계층별 접근 방식과 결래했을 때 가장 견고한 성능을 제공한다는 것을 발견했습니다. 이 조합은 알고리즘이 데이터에 노이즈가 섞여 있는 상황에서도 복잡한 해답의 지형을 더 효과적으로 탐색할 수 있게 해주었습니다.

시뮬레이션 결과는 중요한 주의 사항과 함께 유망한 경향을 보여주었습니다. 연구진이 문제가 커짐에 따라 최적의 해를 찾는 데 필요한 측정 횟수가 어떻게 변화하는지 살펴보았을 때, 특히 '웜 스타티드' 초기 상태를 사용할 때 유리한 패턴을 관찰했습니다. 이 영역에서 전역 최소값(가장 안전한 포트폴리오)을 찾는 데 필요한 측정 횟수는 단순히 유효한 포트폴리오를 무작위로 샘플링하는 표준 방식보다 양자 알고리즘에서 훨씬 더 느리게 증가했습니다. 이는 대규모의 복잡한 포트폴리오의 경우, 양자 방식이 제약된 균등 샘플링(constrained uniform sampling) 방법보다 최적의 해를 찾기 위해 훨씬 적은 시도를 필요로 할 수 있음을 시사합니다. 그러나 연구진은 '맥스 바이어스(max-bias)' 초기 상태에서는 이러한 스케일링 이점이 관찰되지 않았으며, 제약된 균등 샘플링은 고전적 샘플링 복잡성의 하한선만을 제공하므로 개선된 고전 알고리즘과의 비교는 향로 과제로 남겨두었다고 언급했습니다.

하지만 이 연구는 현재 하드웨어의 상태에 대한 냉혹한 현실을 전달하기도 했습니다. 연구진이 양자 상태가 시간이 지남에 따라 붕괴되는 방식을 모사하는 열적 완화(thermal relaxation)와 같은 현실적인 수준의 노이즈를 도입했을 때, 알고리즘의 성능은 급격히 저하되었습니다. 노이즈가 신호를 가릴 정도로 강력하여 현재의 기술로는 고전적 방법보다 우위를 점하는 것을 불가능하게 만들었습니다. 연구진은 유효하지 않은 결과를 걸러내는 기술을 사용하더라도, 노이즈 때문에 추가적인 측정이 너무 많이 필요하게 되어 속도 이점이 상쇄된다는 것을 발견했습니다. 이는 양자 금융이 실질적인 현실이 되기 위해서는 양자 하드웨어의 오류율이 몇 단계 더 개선되어야 함을 나타냅니다. 그때까지 이론적인 이점은 말 그대로 이론적인 상태로 남을 것입니다.

하드웨어의 한계에도 불구하고, 이 연구는 양자 알고리즘이 금융에 어떻게 적용될 수 있는지 이해하는 데 있어 중요한 진전을 제공합니다. 연구진은 이산적 포트폴리오 문제에 대한 완전한 엔드 투 엔드 솔루션이 가능하다는 것을 입증했으며, 무엇이 이를 가장 잘 작동하게 만드는지(예: 하드 제약 혼합 연산자와 듀얼 어닐링 최적화 도구 등) 구체적인 구성 요소를 확인했습니다. 그들은 현재의 기계들이 너무 노이즈가 많아 이 작업에 유용하지는 않지만, 미래의 이점을 향한 경로가 명확하다는 것을 보여주었습니다. 만약 하드웨어가 개선되어 열적 노이즈가 더 이상 지배적인 요인이 되지 않는 수준에 도달한다면, 확률적 측정 노이즈(stochastic measurement noise)가 주요 과제가 될 것입니다. 그 미래의 영역에서, 연구진의 시뮬레이션에서 관찰된 유리한 스케일링(특히 웜 스타티드 초기 상태를 활용할 때)은 양자 컴퓨터가 복잡한 금융 시장에서 리스크를 관리하기 위한 강력한 도구를 제공할 수 있으며, 고전적 샘플링 방식이 따라올 수 없는 속도로 현실 세계의 이산적 제약을 탐색할 수 있는 방법을 제시할 것임을 시사합니다.