Quantifying the advantages of applying quantum approximate algorithms to portfolio optimisation

Les investisseurs cherchent depuis longtemps un moyen de constituer un portefeuille d'actifs qui minimise le risque tout en respectant les réalités complexes du marché. Dans le monde idéal de la théorie, on pourrait acheter n'importe quelle fraction d'une action ou d'une obligation pour atteindre un équilibre parfait. Dans le monde réel, cependant, les actifs sont vendus par blocs discrets ; on ne peut pas acheter une demi-action d'une entreprise ou une fraction d'un contrat à terme. Cette exigence de nombres entiers transforme la recherche de la combinaison d'investissement la plus sûre en un casse-tête mathématique notoirement difficile. Résoudre ce casse-tête, connu sous le nom de problème de portefeuille à variance minimale discrète, est essentiel pour les analystes quantitatifs et les gestionnaires de fonds, mais il est si complexe que même les ordinateurs classiques les plus puissants peinent à trouver la solution absolue rapidement. À mesure que le nombre d'actifs augmente, le nombre de combinaisons possibles explose, faisant de la recherche du portefeuille parfait une quête semblable à la recherche d'un grain de sable spécifique sur une plage qui ne cesse de s'agrandir.

Une équipe de chercheurs de l'Université de Cambridge a exploré si les ordinateurs quantiques, qui fonctionnent selon les principes de la mécanique quantique, peuvent résoudre ce casse-tête financier spécifique plus efficacement que les machines traditionnelles. Ils ont développé une méthode complète utilisant un algorithme quantique appelé Algorithme d'Optimisation Approchée Quantique, ou QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm). Cette approche ne garantit pas une réponse parfaite à chaque fois, mais elle est conçue pour trouver une très bonne approximation en naviguant dans le paysage des solutions d'une manière que les ordinateurs classiques ne peuvent pas égaler. Les chercheurs ont construit un pipeline complet pour cette méthode, partant de la manière de traduire le problème financier dans un langage compréhensible par un ordinateur quantique, en concevant les étapes spécifiques que l'ordinateur doit suivre, et en testant la performance du système sous diverses conditions. Leur travail fournit un schéma directeur complet de la manière dont un ordinateur quantique pourrait un jour gérer la nature discrète du trading réel.

Les chercheurs ont commencé par déterminer comment représenter le poids de chaque actif dans un portefeuille à l'aide de variables binaires, convertissant essentiellement le problème en une série d'interrupteurs marche/arrêt. Ils ont ensuite conçu un ensemble spécifique d'instructions, appelé ansatz, qui guide l'ordinateur quantique à travers une séquence d'opérations. Ce processus implique la préparation d'une estimation initiale du portefeuille, l'application d'une fonction de coût qui mesure le risque d'un mélange particulier, et l'utilisation d'un opérateur de mélange pour remuer les possibilités à la recherche d'une meilleure solution. Crucialement, ils ont conçu un opérateur de mélange à « contrainte stricte » qui garantit que l'ordinateur ne considère jamais de portefeuilles invalides, tels que ceux qui ne respectent pas le budget total ou qui violent la règle selon laquelle les actifs doivent être achetés en unités entières. Cette contrainte est vitale car elle permet de concentrer la recherche sur des stratégies d'investissement réalistes plutôt que de perdre du temps sur des scénarios impossibles.

Pour tester leur méthode, l'équipe a effectué de nombreuses simulations numériques sur des modèles de marchés financiers avec des nombres d'actifs variables et différents niveaux de précision. Ils ont comparé plusieurs stratégies pour trouver les meilleurs réglages de leur circuit quantique, testant différents types d'estimations initiales et de routines d'optimisation. Ils ont constaté que commencer avec un état « pré-échauffé » (warm-started) — une estimation initiale dérivée d'une version simplifiée et continue du problème — menait souvent à de meilleurs résultats qu'en commençant par une estimation totalement aléatoire. De plus, ils ont découvert qu'une technique d'optimisation spécifique appelée recuit dual (dual annealing), combinée à une approche couche par couche pour construire le circuit quantique, offrait la performance la plus robuste. Cette combinaison a permis à l'algorithme de naviguer plus efficacement dans le paysage complexe des solutions, même lorsque les données étaient bruitées.

Les simulations ont révélé une tendance prometteuse concernant l'efficacité de l'approche quantique, bien qu'avec des nuances importantes. Lorsque les chercheurs ont examiné comment le nombre de mesures nécessaires pour trouver la meilleure solution évoluait à mesure que le problème s'étendait, ils ont observé un schéma favorable spécifiquement lors de l'utilisation de l'état initial pré-échauffé. Dans ce régime, le nombre de mesures nécessaires pour trouver le minimum global — le portefeuille le plus sûr — augmentait beaucoup plus lentement pour leur algorithme quantique que pour une méthode standard qui se contente d'échantillonner des portefeuilles valides de manière aléatoire. Cela suggère que, pour des portefeuilles larges et complexes, la méthode quantique pourrait éventuellement nécessiter beaucoup moins de tentatives pour trouver la solution optimale que les méthodes d'échantillonnage uniforme contraint. Cependant, les chercheurs ont noté que cet avantage de mise à l'échelle n'a pas été observé avec l'état initial à biais maximal (max-bias), et que l'échantillonnage uniforme contraint ne fournit qu'une borne inférieure pour la complexité de l'échantillonnage classique, laissant la comparaison avec des algorithmes classiques améliorés aux travaux futurs.

Toutefois, l'étude a également apporté un rappel à la réalité cinglant concernant l'état actuel du matériel. Lorsque les chercheurs ont introduit des niveaux de bruit réalistes, spécifiquement la relaxation thermique qui imite la façon dont les états quantiques se dégradent au fil du temps, la performance de l'algorithme a chuté brutalement. Le bruit était assez fort pour occulter le signal, rendant impossible l'observation d'un avantage sur les méthodes classiques avec la technologie actuelle. Les chercheurs ont constaté que même avec des techniques pour filtrer les résultats invalides, le bruit nécessitait tellement de mesures supplémentaires qu'il annulait tout gain de vitesse. Cela indique que, pour que la finance quantique devienne une réalité pratique, les taux d'erreur du matériel quantique doivent s'améliorer de plusieurs ordres de grandeur. D'ici là, les avantages théoriques restent justement cela : théoriques.

Malgré les limites matérielles, ce travail constitue une avancée significative dans la compréhension de la manière dont les algorithmes quantiques peuvent être appliqués à la finance. Les chercheurs ont démontré qu'une solution complète et de bout en bout pour le problème du portefeuille discret est possible et ont identifié les composants spécifiques, tels que l'opérateur de mélange à contrainte stricte et l'optimiseur de recuit dual, qui permettent d'obtenir les meilleurs résultats en simulation. Ils ont montré que, bien que les machines actuelles soient trop bruitées pour être utiles pour cette tâche, la voie vers un avantage futur est claire. Si le matériel s'améliore au point où le bruit thermique n'est plus un facteur dominant, le bruit de mesure stochastique deviendra le principal défi. Dans ce régime futur, l'évolution favorable observée dans leurs simulations — spécifiquement en utilisant l'état initial pré-échauffé — suggère que les ordinateurs quantiques pourraient effectivement constituer un outil puissant pour la gestion des risques dans les marchés financiers complexes, offrant un moyen de naviguer les contraintes discrètes du monde réel avec une rapidité que les méthodes d'échantillonnage classiques ne peuvent égaler.