Quantifying the advantages of applying quantum approximate algorithms to portfolio optimisation

投資家は、市場の複雑な現実を遵守しながら、リスクを最小限に抑える資産ポートフォリオを構築する方法を長らく模索してきました。理論上の理想の世界では、完璧なバランスを実現するために、あらゆる株式や債券の端数（分数）を購入することができます。しかし、現実の世界では、資産は離散的な単位で売買されます。企業の株を半分だけ購入したり、先物契約の一部を購入したりすることはできません。この整数を求めるという要件が、最も安全な投資ミックスの探索を、極めて困難な数学的パズルへと変えてしまいます。「離散的グローバル最小分散ポートフォリオ問題」として知られるこのパズルを解くことは、クオンツ・アナリストやファンドマネージャーにとって不可欠ですが、あまりにも複雑であるため、最も強力な古典的コンピュータでさえ、絶対的な最適解を迅速に見つけ出すのに苦労します。資産の数が増えるにつれ、考え得る組み合わせの数は爆発的に増加し、完璧なポートフォリオの探索は、増え続ける砂浜の中から特定のたった一粒の砂を探し出すような感覚になります。

ケンブリッジ大学の研究チームは、量子力学の原理に基づいて動作する量子コンピュータが、この特定の金融パズルを従来のコンピュータよりも効果的に解決できるかどうかを調査しました。彼らは、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）と呼ばれる量子アルゴリズムを用いた完全な手法を開発しました。このアプローチは、常に完璧な答えを保証するものではありませんが、古典的なコンピュータにはできない方法で可能な解の領域をナビゲートすることで、非常に優れた近似解を見つけ出すように設計されています。研究者たちは、金融問題を量子コンピュータが理解できる言語へと翻訳する方法から、コンピュータが踏むべき具体的なステップの設計、そして様々な条件下でのシステムの性能テストに至るまで、この手法の完全なパイプラインを構築しました。彼らの研究は、量子コンピュータがいかにして将来的に実世界の取引の離散的な性質を扱うことができるかについて、明確かつエンドツーエンドの設計図を提供しています。

研究者たちはまず、各資産のポートフォリオにおけるウェイト（重み）をバイナリ変数（二進変数）を用いて表現する方法、つまり、この問題を一連の「オン」と「オフ」のスイッチへと変換する方法を考案しました。次に、量子コンピュータを一連の操作へと導く「アンザッツ（ansatz）」と呼ばれる特定の指示セットを設計しました。このプロセスには、ポートフォリオの初期推測の準備、特定の組み合わせがどれほどリスクが高いかを測定するコスト関数の適用、そしてより良い解を求めて可能性をシャッフルするための混合演算子の使用が含まれます。極めて重要な点として、彼らは「ハード制約」を持つ混合演算子を設計しました。これにより、予算の合計に達しない、あるいは資産を整数単位で購入するというルールに違反するといった、無効なポートフォリオをコンピュータが検討することのないようにしています。この制約は、現実的な投資戦略に探索を集中させ、不可能なシナリオに時間を浪費することを防ぐために不可欠です。

手法をテストするために、チームは資産数や精度のレベルが異なる金融市場のモデルを用いて、広範な数値シミュレーションを実施しました。彼らは、量子回路の最適な設定を見つけるためのいくつかの戦略を比較し、異なる種類の初期推測や最適化ルーチンをテストしました。その結果、「ウォームスタート（warm-started）」された状態（簡略化された連続的な問題から導き出された初期推測）から開始することが、完全にランダムな推測から開始する場合よりも優れた結果をもたらすことが多いことが分かりました。さらに、デュアルアニーリングと呼ばれる特定の最適化技術を、量子回路を構築するためのレイヤーごとのアプローチと組み合わせることで、最も堅牢なパフォーマンスが得られることを発見しました。この組み合わせにより、データにノイズが含まれている場合でも、アルゴリズムは複雑な解の領域をより効果的にナビゲートすることができました。

シミュレーションの結果、量子アプローチの効率性に関して有望な傾向が見られましたが、重要な注意点もありました。問題の規模が大きくなるにつれて、最適な解を見つけるために必要な測定回数がどのようにスケールするかを調査したところ、ウォームスタートされた初期状態を使用した場合にのみ、好ましいパターンが観察されました。この領域において、グローバルな最小値（絶対的に最も安全なポートフォリオ）を見つけるために必要な測定回数は、単に有効なポートフォリオをランダムにサンプリングする標準的な手法よりも、はるかに緩やかに増加しました。これは、大規模で複雑なポートフォリオにおいて、量子手法が、制約付き一様サンプリング法よりも最終的にはるかに少ない試行回数で最適解を見つけられる可能性があることを示唆しています。ただし、研究者たちは、このスケーリングの優位性はマックスバイアス（max-bias）初期状態では観察されなかったこと、また、制約付き一様サンプリングは古典的なサンプリングの複雑さの下限を提供するに過ぎないことから、改良された古典的アルゴリズムとの比較については今後の課題であることも指摘しています。

しかし、本研究は現在のハードウェアの現状に関する厳しい現実も突きつけました。研究者が、量子状態が時間とともに減衰する様子を模した熱緩和などの現実的なレベルのノイズを導入したところ、アルゴリオリズムの性能は急激に低下しました。ノイズは信号をかき消すほど強力であり、現在のテクノロジーでは古典的手法に対する優位性を見出すことを不可能にしていました。研究者たちは、無効な結果をフィルタリングする技術を用いても、ノイズによって追加の測定が必要となり、速度面のメリットが相殺されてしまうことを明らかにしました。これは、量子ファイナンスが実用的な現実となるためには、量子ハードウェアのエラー率が数桁レベルで改善される必要があることを示しています。それまでは、理論的な利点はあくまでも「理論上」のままです。

ハードウェアの制限はあるものの、本研究は量子アルゴリズムをいかに金融に応用できるかを理解する上で、大きな前進をもたらしました。研究者たちは、離散的ポートフォリオ問題に対する完全なエンドツーエンドのソリューションが可能であることを実証し、ハード制約混合演算子やデュアルアニーリング最適化といった、シミュレーションにおいて最も効果的に機能する特定の構成要素を特定しました。彼らは、現在のマシンがノイズの影響で有用ではないものの、将来の優位性への道筋は明確であることを示しました。もしハードウェアが改善され、熱ノイズが支配的な要因ではなくなれば、確率的な測定ノイズが主要な課題となるでしょう。その未来の領域において、彼らのシミュレーションで見られた好ましいスケーリング（特にウォームスタートされた初期状態を利用した場合）は、量子コンピュータが複雑な金融市場におけるリスク管理のための強力なツールとなり、古典的なサンプリング手法では到達できないスピードで現実世界の離散的な制約を乗り越える手段を提供できることを示唆しています。