Long-term yields of short-rate models as Feynman-Kac ground states: a variational quantum eigensolver with single-setting energy estimation on two NISQ platforms

वित्त की दुनिया में, धन के भविष्य के मूल्य की भविष्यवाणी करना एक निरंतर चुनौती है। बैंक और निवेशक ब्याज दरों का अनुमान लगाने के लिए गणितीय मॉडलों पर भरोसा करते हैं, जो उधार लेने की लागत और बचत पर मिलने वाले रिटर्न को निर्धारित करते हैं। ये मॉडल अक्सर ब्याज दर को एक एकल संख्या के रूप में देखते हैं जो समय के साथ ऊपर और नीचे घूमती रहती है, जो यादृच्छिक बाजार शक्तियों से प्रभावित होती है। इस उतार-चढ़ाव को समझने के लिए, गणितज्ञ समीकरणों का उपयोग करते हैं जो विभिन्न ब्याज दरों की संभावना के समय के साथ बदलने का वर्णन करते हैं। दशकों से, इन समीकरणों को शक्तिशाली शास्त्रीय कंप्यूटरों का उपयोग करके हल किया जाता रहा है, लेकिन जैसे-जैसे वित्तीय मॉडल अधिक जटिल होते जा रहे हैं, वे इतनी अधिक कंप्यूटिंग शक्ति की मांग करते हैं जो सबसे तेज़ सुपरकंप्यूटर भी आसानी से प्रदान नहीं कर सकते। इसने शोधकर्ताओं को क्वांटम कंप्यूटरों की ओर देखने के लिए प्रेरित किया है, जो सूचना को उन तरीकों से संसाधित करने के लिए क्वांटम भौतिकी के विचित्र नियमों का उपयोग करते हैं जो शास्त्रीय मशीनों के लिए संभव नहीं है। हालाँकि, वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर अभी भी अपने शुरुआती चरणों में हैं, त्रुटियों के प्रति संवेदनशील हैं और आकार में सीमित हैं, जिससे वास्तविक दुनिया के वित्तीय निर्णयों के लिए उनके परिणामों पर भरोसा करना कठिन हो जाता है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इन शुरुआती क्वांटम मशीनों का उपयोग करके एक विशिष्ट, लंबे समय से चले आ रहे वित्तीय प्रश्न को हल करने का एक नया तरीका प्रदर्शित किया है: लंबी अवधि में ब्याज दरें किस स्तर पर स्थिर होंगी? पूरी बाजार के इतिहास का अनुकरण करने के बजाय, उन्होंने सिस्टम के "ग्राउंड स्टेट" (ground state) पर ध्यान केंद्रित किया, जो भौतिकी से लिया गया एक सिद्धांत है जो किसी प्रणाली के सबसे स्थिर, निम्न-ऊर्जा विन्यास का प्रतिनिधित्व करता है। वित्तीय समस्या को क्वांटम कंप्यूटरों द्वारा समझी जाने वाली भाषा में अनुवादित करके, उन्होंने दिखाया कि दीर्घकालिक ब्याज दर अनिवार्य रूप से इस स्थिर अवस्था की ऊर्जा है। शोधकर्ताओं ने इस विचार का परीक्षण तीन अलग-अलग वित्तीय मॉडलों पर किया, जिसमें एक ऐसा मॉडल भी शामिल था जिसे पहले कभी क्लोज्ड-फॉर्म फॉर्मूला (closed-form formula) के साथ हल नहीं किया गया था। उन्होंने अपने गणनाओं को दो अलग-अलग प्रकार के क्वांटम हार्डवेयर पर चलाया—एक सुपरकंडक्टिंग सर्किट का उपयोग करने वाला और दूसरा ट्रैप्ड आयन (trapped ions) का उपयोग करने वाला—और पाया कि उनकी विधि दीर्घकालिक दर का उल्लेखनीय सटीकता के साथ अनुमान लगा सकती है, जो मानक क्वांटम तकनीकों से कहीं बेहतर प्रदर्शन करती है।

इस कार्य का मूल एक मानक वित्तीय समीकरण का चतुर रूपांतरण है। आमतौर पर, बॉन्ड की कीमत की गणना करने के लिए ब्याज दरों के समय के साथ बदलने को ट्रैक करना पड़ता है, जो कई संभावित भविष्यों के माध्यम से एक पथ का अनुकरण करने की प्रक्रिया है। शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि दीर्घकालिक यील्ड (yield) के विशिष्ट प्रश्न के लिए, इस जटिल समय-विकास (time-evolution) को एक सरल स्थिर समस्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उन्होंने वित्तीय समीकरण को एक ऐसे रूप में बदल दिया जो श्रोडिंगर समीकरण (Schrödinger equation) जैसा दिखता है, जो क्वांटम यांत्रिकी का एक मौलिक समीकरण है जो कणों के व्यवहार का वर्णन करता है। इस नए रूप में, ब्याज दर एक परिदृश्य या एक क्षमता क्षेत्र (potential field) के रूप में कार्य करती है, और दीर्घकालिक यील्ड उस परिदृश्य के सबसे निचले बिंदु के अनुरूप होती है, जिसे ग्राउंड-स्टेट एनर्जी कहा जाता है। यह बदलाव महत्वपूर्ण है क्योंकि निम्नतम ऊर्जा अवस्था को खोजना एक ऐसा कार्य है जिसे क्वांटम कंप्यूटर स्वाभाविक रूप से संभालने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, जबकि समय-विकास का अनुकरण करना उनके लिए बहुत कठिन है।

वास्तविक, अपूर्ण हार्डवेयर पर इसे काम करने के लिए, टीम को उस शोर (noise) से पार पाना पड़ा जो वर्तमान क्वांटम उपकरणों को प्रभावित करता है। क्वांटम बिट्स, या क्यूबिट्स (qubits), नाजुक होते हैं और अपने वातावरण से आसानी से विचलित हो जाते हैं, जिससे गणना में त्रुटियां होती हैं। शोधकर्ताओं ने पाया कि उनके द्वारा उपयोग किए गए सुपरकंडक्टिंग प्रोसेसर पर, सबसे आम त्रुटियां "बिट फ्लिप्स" (bit flips) थीं, जहाँ एक क्यूबिट गलती से शून्य से एक में या एक से शून्य में बदल जाता है। ये फ्लिप्स गणना को संभावित सीमा के किनारों की ओर धकेलते थे, जिससे एक पूर्वाग्रह (bias) पैदा होता था जो परिणामों को बिगाड़ देता था। इसे ठीक करने के लिए, उन्होंने इन त्रुटियों को पहचानने और हटाने के लिए एक सांख्यिकीय विधि विकसित की। उन्होंने एक सिद्धांत का उपयोग किया जो यह भविष्यवाणी करता है कि वास्तविक उत्तर शून्य कहाँ होना चाहिए और फिर डेटा को गणितीय रूप से "डीकनवॉल्व" (deconvolve) किया ताकि परिणाम को वापस केंद्र की ओर लाया जा सके। इस तकनीक ने उन्हें सटीक उत्तर जाने बिना भी हार्डवेयर की खामियों को ठीक करने की अनुमति दी।

टीम ने अपने दृष्टिकोण का परीक्षण तीन मॉडलों पर किया: वासेक मॉडल (Vasicek model), कॉक्स-इन्जर्सोल-रोस मॉडल (Cox–Ingersoll–Ross model), और ब्लैक-करासिन्स्की मॉडल (Black–Karasinski model)। पहले दो के ज्ञात समाधान हैं, जो यह सुनिश्चित करने के लिए एक जांच के रूप में कार्य करते हैं कि उनकी विधि सही ढंग से काम कर रही है। तीसरा मॉडल, ब्लैक-करासिन्की, अधिक जटिल है और इसका कोई ज्ञात सरल फॉर्मूला नहीं है, जो इस विधि की शक्ति का वास्तविक परीक्षण है। उन्होंने इन मॉडलों को अमेरिकी ट्रेजरी मार्केट के वास्तविक ऐतिहासिक डेटा के आधार पर कैलिब्रेट किया, जो 1985 से 2026 तक फैला हुआ है। शोर के बिना किए गए सिमुलेशन में, उनके छह-क्यूबिट क्वांटम सेटअप ने ज्ञात उत्तरों को एक सौवें के एक बेसिस पॉइंट (basis point) से भी कम की त्रुटि के साथ पुनरुत्पादित किया, जो ब्याज दरों के सूक्ष्म अंतर को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली एक इकाई है। जब वे वास्तविक हार्डवेयर पर गए, तो परिणाम आश्चर्यजनक रूप से करीब रहे। सुपरकंडक्टिंग प्रोसेसर पर, उनके चार-क्यूबिट सर्किट ने 33 से 125 बेसिस पॉइंट की त्रुटि के साथ दीर्घकालिक यील्ड का अनुमान लगाया। ट्रैप्ड-आयन प्रोसेसर पर, उनके सुधार पद्धति का उपयोग करने के बाद त्रुटि 1,000 बेसिस पॉइंट से घटकर लगभग 250 बेसिस पॉइंट रह गई।

सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष उनकी पद्धति की मानक विधियों की तुलना में दक्षता थी। आमतौर पर, एक क्वांटम सिस्टम की ऊर्जा को मापने के लिए, आपको गुणों के कई अलग-अलग संयोजनों को मापना होता है, जिसके लिए इन मॉडलों के लिए नौ अलग-अलग माप सेटिंग्स की आवश्यकता होती है। शोधकर्ताओं की विधि, हालांकि, एक एकल माप सेटिंग पर निर्भर थी क्योंकि उनके समस्या की गणितीय संरचना ने गारंटी दी थी कि उत्तर केवल इस बात से मिल सकता है कि सिस्टम कितनी बार प्रत्येक अवस्था में पहुँचता है। इस सिंगल-सेटिंग दृष्टिकोण ने न केवल माप के समय को नौ गुना कम कर दिया, बल्कि मानक पद्धति की तुलना में अंतिम त्रुटि को भी दस गुना कम कर दिया। यह सुझाव देता है कि कुछ प्रकार की वित्तीय समस्याओं के लिए, क्वांटम कंप्यूटर अपने वर्तमान, शोर वाले रूप में भी उपयोगी हो सकते हैं, बशर्ते समस्या को सही ढंग से फ्रेम किया जाए और त्रुटियों को सही सांख्यिकीय उपकरणों के साथ संभाला जाए।

शोधकर्ताओं ने यह भी प्रदर्शित किया कि उनकी विधि विभिन्न प्रकार के क्वांटम हार्डवेयर पर काम करती है। यह तथ्य कि समान त्रुटि पैटर्न और सुधार तकनीकें सुपरकंडक्टिंग और ट्रैप्ड-आयन दोनों मशीनों पर काम करती हैं, यह सुझाव देता है कि उनके द्वारा पहचाना गया पूर्वाग्रह एल्गोरिदम और उनके द्वारा उपयोग किए गए एनकोडिंग की एक मौलिक विशेषता है, न कि किसी विशिष्ट मशीन की खामी। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि विधि को सीधे क्वांटम डिवाइस पर प्रशिक्षित किया जा सकता है। हार्डवेयर पर चलते समय क्वांटम सर्किट के मापदंडों को समायोजित करके, उन्होंने लगभग 5,000 बेसिस पॉइंट की प्रारंभिक त्रुटि को घटाकर केवल 130 बेसिस पॉइंट तक सुधार दिया। यह "ऑन-डिवाइस" प्रशिक्षण सिद्ध करता है कि क्वांटम कंप्यूटर एक खराब अनुमान से शुरू होने पर भी सबसे अच्छा उत्तर खोजने के लिए सीख सकता है, जो व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए एक महत्वपूर्ण क्षमता है।

अंततः, यह कार्य अमूर्त क्वांटम एल्गोरिदम की दुनिया को वित्तीय बाजारों की ठोस वास्तविकता से जोड़ता है। अक्टूबर 2026 के अमेरिकी ट्रेजरी कर्व के आधार पर अपने मॉडलों को कैलिब्रेट करके, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि उनके हार्डवेयर-आधारित अनुमानों ने 23 से 67 बेसिस पॉइंट के भीतर सैद्धांतिक ग्रिड मानों के साथ सहमति व्यक्त की। यह बाजार डेटा से हार्डवेयर-आधारित अनुमान तक की एक पूर्ण श्रृंखला को पूरा करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि शॉर्ट-रेट मॉडल के दीर्घकालिक यील्ड को वास्तव में ग्राउंड-स्टेट एनर्जी के रूप में कंप्यूट किया जा सकता है। हालांकि वर्तमान परिणाम एक-कारक मॉडलों (one-factor models) तक सीमित हैं, जो प्रमुख बैंकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले मल्टी-फैक्टर मॉडलों की तुलना में सरल हैं, इस दृष्टिकोण की सफलता जटिल अनुप्रयोगों के लिए द्वार खोलती है। अध्ययन बताता है कि बेहतर त्रुटि सुधार और अधिक क्यूबिट के साथ, क्वांटम कंप्यूटर अंततः ब्याज दर मॉडलिंग की सबसे कठिन समस्याओं से निपटने के लिए सक्षम हो सकते हैं, जो वैश्विक अर्थव्यवस्था के दीर्घकालिक व्यवहार को समझने के लिए एक नया उपकरण प्रदान करते हैं।