Long-term yields of short-rate models as Feynman-Kac ground states: a variational quantum eigensolver with single-setting energy estimation on two NISQ platforms

기술 요약: 파인만-카크(Feynman–Kac) 바닥 상태로서의 단기 이율 모델의 장기 수익률

1. 문제 정의

본 논문은 양자 알고리즘을 사용하여 단기 이율(short-rate) 모델의 장기 수익률(long-term yield)을 계산하는 과제를 다룹니다. 대부분의 양자 금융 제안이 진폭 추정(amplitude estimation)이나 변분 허수 시간 진화(variational imaginary-time evolution)를 통한 옵션 가격 결정에 집중하는 반면, 변분 양자 고유치 솔버(VQE)는 표준 가격 결정 연산자(예: 블랙-숄즈)의 바닥 상태가 옵션 가격을 직접적으로 인코딩하지 않기 때문에 파생상품 가격 결정에 적용되는 사례가 제한적이었습니다. 또한, 기존의 변분 허수 시간 진화 방법은 매 타임 스텝마다 메트릭 텐서와 에너지 구배를 구하기 위해 복잡한 측정(보조 큐비트 제어 헤더드 테스트)을 필요로 합니다.

저자들은 단기 이율 모델의 장기 수익률이라는 특정 금융 지표가 헤르미트 연산자의 바닥 상태 에너지와 정확히 일치한다는 점을 식별했습니다. 이를 통해 이 문제를 중간 시간 진화 단계 없이 VQE를 통해 직접 해결할 수 있는 바닥 상태 탐색 문제로 프레임화할 수 있습니다.

2. 방법론

이론적 정식화:
저자들은 파인만-카크 채권 가격 결정 방정식으로부터 슈뢰딩거 연산자 $H$를 유도합니다. 하나의 요인을 가진 단기 이율 모델 $dr_t = b(r_t)dt + s(r_t)dW_t$에서 시작하여 다음을 적용합니다:

1. 람퍼티 변환(Lamperti Transform): 상태 의존적 확산 계수를 상수로 변환합니다.
2. 유사 변환(Similarity Transform): 1차 미분 항을 제거하여 헤르미트 해밀토니안 $H = -\frac{s_\infty^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + V(y)$를 생성합니다.
   장기 수익률 $y_\infty$는 이 해밀토니안의 바닥 상태 에너지 $E_0$와 같음이 입증되었습니다. 분석된 모델은 Vasicek, Cox–Ingersoll–Ross (CIR), 그리고 Black–Karasinski입니다.

스토카스틱(Stoquastic) 특성 및 단일 설정 추정기:
유도된 해밀토니안의 핵심 특징은 이것이 스토카스틱(모든 비대각 요소가 음이 아닌 값)이라는 점입니다. 페론-프로베니우스(Perron–Frobenius) 정리에 의해, 바닥 상태 $\psi_0$는 엄격히 양수인 성분을 갖도록 선택될 수 있습니다 ($\psi_0 = \sqrt{p_0}$).

• 함의: 에너지는 파울리 문자열(Pauli strings)로 해밀토니안을 분해하는 대신, 단일 측정 설정(computational-basis samples/bitstrings)만을 사용하여 추정할 수 있습니다.
• 추정기: 에너지는 $E[p] = \langle \sqrt{p} | H | \sqrt{p} \rangle$로 계산되며, 여기서 $p$는 측정된 확률 분포입니다. 이 추정량은 실제 바닥 상태 에너지에 대한 변분 상한(variational upper bound)이 됩니다.

오차 완화 전략:
저자들은 초전도 하드웨어의 게이트 노이즈가 주로 고차 큐비트의 비트 플립(bit flips)으로 나타나, 확률 질량을 "꼬리(tails)" 부분(고전위 엣지)으로 이동시켜 에너지 추정치를 크게 부풀린다는 점을 진단했습니다.

• 꼬리 제약 비트 플립 디컨볼루션(Tail-Constrained Bit-Flip Deconvolution): 이 노이즈를 교정하기 위한 방법을 제안합니다. WKB 기준(포텐셜 $V(y)$와 에너지 추정치 기반)을 사용하여 실제 바닥 상태 가중치가 무시할 만한 수준인 "꼬리 집합(tail set)" $T$를 정의합니다.
• 절차: 측정된 분포는 독립적인 비트 플립을 가정하여 디컨볼루션되며, 결과 분포가 꼬리 집합 $T$에서 0이 되도록 제약됩니다. 이는 판독 완화(readout mitigation) 및 CNOT 폴딩을 통한 영-노이즈 외삽(Zero-Noise Extrapolation, ZNE)과 결합됩니다.

실험 설정:

• 안사츠(Ansatz): $L$개의 단일 큐비트 회전과 CNOT 래더(ladder)로 구성된 얕은 실수 진폭 안사츠를 사용합니다.
• 하드웨어: 실험은 IBM 초전도 프로세서 ibm_cleveland와 IonQ 트랩 이온 프로세서 Forte Enterprise에서 수행되었습니다.
• 캘리브레이션: 모델은 미국 국채 제로 커브(1985~2026)에 맞춰 캘리브레이션되었습니다.

3. 주요 기여

1. 정식화: Vasicek, CIR, Black–Karasinski 모델에 대한 명시적인 람퍼티 및 유사 변환을 제공함으로써, 하나의 요인을 가진 단기 이율 모델의 장기 수익률을 큐비트 해밀토니안의 바닥 상태 에너지로 정식화했습니다.
2. 단일 설정 추정기: 바닥 상태의 양수성을 활용하여 파울리 문자열 분해의 오버헤드를 피할 수 있는 스토카스틱 해밀토니안용 단일 측정 설정 에너지 추정기를 도입했습니다.
3. 노이즈 특성화 및 교정: 하드웨어 노이즈가 이진 인코딩된 회로에서 고차 큐비트의 비트 플립으로 작용함을 확인했습니다. 또한, 정확한 해를 요구하지 않고 WKB 기준을 사용하여 꼬리 집합을 정의하는 꼬리 제약 디컨볼루션 방법을 제안했습니다.
4. 하드웨어 시연: 이 방법은 두 가지 서로 다른 양자 플랫폼(IBM 및 IonQ)에서 시연되었으며, 일관된 편향 구조와 오류 감소를 보여주었습니다.
5. 엔드 투 엔드 파이프라인: 시장 데이터(미국 국채 커브)로부터 하드웨어 기반의 장기 수익률 추정치에 이르는 완전한 체인을 입증했습니다.

4. 결과

고전적 시뮬레이션:

• 노이즈가 없는 시뮬레이션에서, 6-큐비트 실수 진폭 안사츠는 Vasicek 모델의 그리드 바닥 상태 에너지를 0.06 베이시스 포인트(bp) 이내의 오차로 재현했습니다.
• 그리드 오차는 $h^2$ (여기서 $h$는 그리드 간격)에 따라 수렴합니다.
• 폐쇄형 해(closed-form solution)가 없는 Black–Karasinski 모델의 경우, 본 방법은 미세 그리드 벤치마크와 일치하는 수치적 바닥 상태 에너지를 제공합니다.

하드웨어 실험 (IBM ibm_cleveland):

• 4-큐비트 회로: 세 가지 모델 모두에 대해 두 세션의 10회 실행 동안, 판독 완화, 꼬리 제약 디컨볼루션 및 ZNE를 거친 하드웨어 추정치의 오차는 그리드 바닥 상태 에너지 대비 33 ~ 125 bp 범위였습니다.
• 표준 VQE와의 비교: 동일한 조건에서 판독 완화 및 ZNE를 적용한 표준 파울리 측정 VQE는 791–1,129 bp의 오차를 보였습니다. 단일 설정 추정기는 (파울리 그룹화의 9개 측정 설정 대비) 단 하나의 측정 설정만으로 약 10배 더 작은 오차를 달 de 달성했습니다.
• 온-디바이스 훈련: SPSA로 훈련된 온-디바이스 VQE는 150회의 반복을 통해 노이즈 없는 에너지 오차를 4,939 bp에서 130 bp로 줄였습니다.

교차 플랫폼 검증 (IonQ):

• IonQ Forte Enterprise 프로세서에서 동일한 분석 파이프라인을 적용한 결과, Vasicek 회로의 오차를 ~1,021 bp에서 254 bp($\lambda=1$ 시)로 줄였으며, 이는 편향 구조(고차 큐비트 비트 플립)가 초전도 하드웨어에 국한된 것이 아님을 입증합니다.

시장 캘리브레이션:

• 2026년 10월 미국 국채 커브에 맞춰 파라미터를 캘리브레이션했을 때, 하드웨어 추정치는 그리드 바닥 상태 에너지와 23–67 bp 이내로 일치했습니다.
• 모델에서 도출된 장기 수익률은 30년 시장 수익률과 0.98의 인샘플 상관관계를 보였습니다.

5. 의의 및 주장

본 논문은 장기 수익률이 다음과 같은 이유로 바닥 상태 양자 알고리즘의 자연스럽고 효과적인 목표라고 주장합니다:

1. 그것은 정확히 바닥 상태 에너지이므로, 시간 진화의 복잡성을 피할 수 있습니다.
2. 관련 해밀토니안이 스토카스틱이므로, 계산 비용이 저렴한 단일 설정 측정 전략을 사용할 수 있습니다.
3. 판독 완화 및 디컨볼루션 후에도 추정량의 변분적 성질($E[p] \ge E_0$)이 유지됩니다(이러한 작업들이 유효한 확률 분포를 반환하기 때문).

저자들은 1요인 모델의 경우 이미 고전적 솔버가 저렴하다는 점을 언급하며 계산적 우위에 대해서는 신중한 태도를 취했습니다. 본 연구의 의의는 현재의 NISQ 하드웨어에서 이 방법의 실행 가능성을 입증하고, 스토카스틱 문제를 위한 견고한 오차 완화 파이프라인을 구축하며, 다양한 하드웨어 아키텍처 전반에서 접근법을 검증하는 데 있습니다. 이 작업은 이러한 기술을 다요인 모델 및 고전적 솔루션이 까다로운 비선형 시스템으로 확장하기 위한 개념 증명 역할을 합니다.