Long-term yields of short-rate models as Feynman-Kac ground states: a variational quantum eigensolver with single-setting energy estimation on two NISQ platforms

Nel mondo della finanza, prevedere il valore futuro del denaro è una sfida costante. Banche e investitori si affidano a modelli matematici per stimare i tassi di interesse, che determinano il costo del prestito e il rendimento dei risparmi. Questi modelli spesso trattano il tasso di interesse come un singolo numero che oscilla verso l'alto e verso il basso nel tempo, influenzato da forze di mercato casuali. Per dare un senso a questo movimento erratico, i matematici utilizzano equazioni che descrivono come la probabilità di diversi tassi di interesse cambi con il passare del tempo. Per decenni, queste equazioni sono state risolte utilizzando potenti computer classici, ma poiché i modelli finanziari diventano più complessi, essi richiedono una potenza di calcolo superiore anche ai supercomputer più veloci. Ciò ha spinto i ricercatori a guardare verso i computer quantistici, macchine che utilizzano le strane leggi della fisica quantistica per elaborare informazioni in modi che le macchine classiche non possono fare. Tuttavia, gli attuali computer quantistici sono ancora nelle loro fasi iniziali, soggetti a errori e limitati nelle dimensioni, il che rende difficile fidarsi dei loro risultati per decisioni finanziarie del mondo reale.

Un team di ricercatori ha ora dimostrato un nuovo modo per utilizzare queste prime macchine quantistiche per risolvere una specifica, di lunga data, questione finanziaria: verso cosa si assesteranno i tassi di interesse nel lunghissimo periodo? Invece di cercare di simulare l'intera storia del mercato, si sono concentrati sullo "stato fondamentale" del sistema, un concetto preso in prestito dalla fisica che rappresenta la configurazione più stabile e a minore energia di un sistema. Traducendo il problema finanziario in un linguaggio che i computer quantistici comprendono, hanno dimostrato che il tasso di interesse a lungo termine è essenzialmente l'energia di questo stato stabile. I ricercatori hanno testato questa idea su tre diversi modelli finanziari, incluso uno che non era mai stato risolto con una formula in forma chiusa. Hanno eseguito i loro calcoli su due diversi tipi di hardware quantistico, uno che utilizza circuiti superconduttori e un altro che utilizza ioni intrappolati, e hanno scoperto che il loro metodo poteva stimare il tasso a lungo termine con una precisione straordinaria, superando di gran lunga le tecniche quantistiche standard.

Il cuore di questo lavoro risiede in una intelligente trasformazione di una standard equazione finanziaria. Di solito, calcolare il prezzo di un'obbligazione comporta il tracciamento di come i tassi di interesse cambiano nel tempo, un processo che richiede la simulazione di un percorso attraverso molti futuri possibili. I ricercatori si sono resi conto che, per la specifica domanda del rendimento a lungo termine, questa complessa evoluzione temporale poteva essere sostituita da un problema statico più semplice. Hanno trasformato l'equazione finanziaria in una forma che assomiglia all'equazione di Schrödinger, un'equazione fondamentale nella meccanica quantistica che descrive come si comportano le particelle. In questa nuova forma, il tasso di interesse agisce come un paesaggio o un campo di potenziale, e il rendimento a lungo termine corrisponde al punto più basso di quel paesaggio, noto come energia dello stato fondamentale. Questo spostamento è cruciale perché trovare lo stato di energia minima è un compito che i computer quantistici sono naturalmente progettati per gestire, mentre simulare l'evoluzione temporale è molto più difficile per loro.

Per far sì che questo funzionasse su hardware reale e imperfetto, il team ha dovuto superare il rumore che affligge gli attuali dispositivi quantistici. I bit quantistici, o qubit, sono fragili e facilmente disturbati dal loro ambiente, portando a errori nel calcolo. I ricercatori hanno scoperto che sul processore superconduttore che hanno utilizzato, gli errori più comuni erano i "bit flip", in cui un qubit passa accidentalmente da zero a uno o viceversa. Questi flip tendevano a spingere il calcolo verso i bordi dell'intervallo possibile, creando un bias che distorceva i risultati. Per correggere questo, hanno sviluppato un metodo statistico per identificare e rimuovere questi errori. Hanno utilizzato un principio della fisica per prevedere dove la risposta vera dovrebbe essere zero e poi hanno matematicamente "deconvoluto" i dati rumorosi per riportare il risultato verso il centro. Questa tecnica ha permesso loro di correggere le imperfezioni dell'hardware senza dover conoscere la risposta esatta in anticipo.

Il team ha testato il loro approccio su tre modelli: il modello Vasicek, il modello Cox–Ingersoll–Ross e il modello Black–Karasinski. I primi due hanno soluzioni note, che hanno servito come controllo per garantire che il loro metodo funzionasse correttamente. Il terzo modello, Black–Karasinski, è più complesso e non ha una formula semplice nota, rendendolo un vero test del potere del metodo. Hanno calibrato questi modelli su dati storici reali del mercato del Tesoro degli Stati Uniti, che spaziano dal 1985 al 2026. Nelle simulazioni senza rumore, la loro configurazione quantistica a sei qubit ha riprodotto le risposte note con un errore inferiore a un centesimo di un punto base, un'unità utilizzata per misurare minuscole differenze nei tassi di interesse. Quando si sono spostati sull'hardware reale, i risultati sono rimasti sorprendentemente vicini. Sul processore superconduttore, i loro circuiti a quattro qubit hanno stimato il rendimento a lungo termine con un errore compreso tra 33 e 125 punti base. Sul processore a ioni intrappolati, l'errore è stato ridotto da oltre 1.000 punti base a circa 250 punti base utilizzando il loro metodo di correzione.

Forse il risultato più significativo è stata l'efficienza del loro approccio rispetto ai metodi standard. Tipicamente, per misurare l'energia di un sistema quantistico, è necessario misurare molte diverse combinazioni di proprietà, richiedendo nove diverse impostazioni di misurazione per questi modelli. Il metodo dei ricercatori, tuttavia, si basava su un'unica impostazione di misurazione perché la struttura matematica del loro problema garantiva che la risposta potesse essere trovata semplicemente contando quante volte il sistema finiva in ciascuno stato. Questo approccio a singola impostazione non solo ha ridotto il tempo di misurazione di un fattore nove, ma ha anche ridotto l'errore finale di un fattore dieci rispetto al metodo standard. Ciò suggerisce che, per certi tipi di problemi finanziari, i computer quantistici possono essere utili anche nel loro stato attuale, rumoroso, a condizione che il problema sia inquadrato correttamente e che gli errori siano gestiti con gli strumenti statistici giusti.

I ricercatori hanno anche dimostrato che il loro metodo funziona su diversi tipi di hardware quantistico. Il fatto che gli stessi schemi di errore e le stesse tecniche di correzione abbiano funzionato sia sulle macchine a superconduttori che su quelle a ioni intrappolati suggerisce che il bias che hanno identificato è una caratteristica fondamentale dell'algoritmo e della codifica utilizzata, piuttosto che un vezzo di una macchina specifica. Inoltre, hanno dimostrato che il metodo può essere addestrato direttamente sul dispositivo quantistico stesso. Regolando i parametri del circuito quantistico mentre era in esecuzione sull'hardware, hanno migliorato l'accuratezza del risultato da un errore iniziale di quasi 5.000 punti base a soli 130 punti base. Questo addestramento "on-device" dimostra che il computer quantistico può imparare a trovare la risposta migliore anche partendo da una supposizione errata, una capacità vitale per le applicazioni pratiche.

In definitiva, questo lavoro collega il mondo astratto degli algoritmi quantistici alla realtà concreta dei mercati finanziari. Calibrando i loro modelli sulla curva del Tesoro degli Stati Uniti di ottobre 2026, i ricercatori hanno mostrato che le stime dell'hardware quantistico concordavano con i valori della griglia teorica entro 23 a 67 punti base. Questo completa una catena completa dai dati di mercato a una stima basata sull'hardware, dimostrando che il rendimento a lungo termine di un modello di tasso breve può effettivamente essere computato come energia dello stato fondamentale. Sebbene i risultati attuali siano limitati ai modelli a un fattore, che sono più semplici dei modelli a più fattori utilizzati dalle grandi banche, il successo di questo approccio apre la porta ad applicazioni più complesse. Lo studio suggerisce che, con una migliore correzione degli errori e più qubit, i computer quantistici potrebbero eventualmente affrontare i problemi più difficili della modellazione dei tassi di interesse, offrendo un nuovo strumento per comprendere il comportamento a lungo termine dell'economia globale.