Long-term yields of short-rate models as Feynman-Kac ground states: a variational quantum eigensolver with single-setting energy estimation on two NISQ platforms

In der Welt der Finanzen ist die Vorhersage des zukünftigen Geldwertes eine ständige Herausforderung. Banken und Investoren verlassen sich auf mathematische Modelle, um Zinssätze zu schätzen, die die Kosten für Kredite und die Rendite von Ersparnissen bestimmen. Diese Modelle behandeln den Zinssatz oft als eine einzelne Zahl, die im Laufe der Zeit auf und ab wandert, beeinflusst durch zufällige Marktkräfte. Um dieses Wandern begreifbar zu machen, verwenden Mathematiker Gleichungen, die beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeit verschiedener Zinssätze im Laufe der Zeit verändert. Jahrzehntelang wurden diese Gleichungen mit leistungsstarken klassischen Computern gelöst, doch da Finanzmodelle immer komplexer werden, fordern sie mehr Rechenleistung, als selbst die schnellsten Supercomputer problemlos bereitstellen können. Dies hat Forscher dazu veranlasst, sich der Quantencomputer zuzuwenden – Maschinen, die die seltsamen Gesetze der Quantenphysik nutzen, um Informationen auf eine Weise zu verarbeiten, die für klassische Maschinen nicht möglich ist. Aktuelle Quantencomputer befinden sich jedoch noch in einem frühen Stadium, sind fehleranfällig und begrenzt in ihrer Größe, was es schwierig macht, ihren Ergebnissen für reale Finanzentscheidungen zu vertrauen.

Ein Forschungsteam hat nun einen neuen Weg aufgezeigt, wie diese frühen Quantenmaschinen genutzt werden können, um eine spezifische, langjährige Finanzfrage zu lösen: Worauf werden sich die Zinssätze in ferner Zukunft einpendeln? Anstatt zu versuchen, die gesamte Geschichte des Marktes zu simulieren, konzentrierten sie sich auf den „Grundzustand“ des Systems, ein aus der Physik entlehntes Konzept, das die stabilste, energetisch niedrigste Konfiguration eines Systems darstellt. Durch die Übersetzung des Finanzproblems in eine Sprache, die Quantencomputer verstehen, zeigten sie, dass der langfristige Zinssatz im Wesentlichen die Energie dieses stabilen Zustands ist. Die Forscher testeten diese Idee an drei verschiedenen Finanzmodellen, darunter eines, das zuvor noch nie mit einer geschlossenen Formel gelöst worden war. Sie führten ihre Berechnungen auf zwei verschiedenen Arten von Quantenhardware durch – eine unter Verwendung supraleitender Schaltkreise und eine andere mit gefangenen Ionen (trapped ions) – und fanden heraus, dass ihre Methode den langfristigen Zinssatz mit bemerkenswerter Genauigkeit schätzen konnte, wobei sie Standard-Quantentechniken weit übertraf.

Der Kern dieser Arbeit liegt in einer geschickten Transformation einer Standard-Finanzgleichung. Normalerweise beinhaltet die Berechnung des Preises einer Anleihe die Verfolgung der Frage, wie sich die Zinssätze über die Zeit verändern, ein Prozess, der die Simulation eines Pfades durch viele mögliche Zukünfte erfordert. Die Forscher erkannten, dass für die spezifische Frage der langfristigen Rendite diese komplexe Zeitentwicklung durch ein einfacheres statisches Problem ersetzt werden kann. Sie transformierten die Finanzgleichung in eine Form, die einer Schrödinger-Gleichung ähnelt, einer fundamentalen Gleichung der Quantenmechanik, die beschreibt, wie sich Teilchen verhalten. In dieser neuen Form wirkt der Zinssatz wie eine Landschaft oder ein Potenzialfeld, und die langfristige Rendite entspricht dem tiefsten Punkt in dieser Landschaft, bekannt als Grundzustandsenergie. Dieser Wechsel ist entscheidend, da das Finden des niedrigsten Energiezustands eine Aufgabe ist, für die Quantencomputer von Natur aus konzipiert sind, während die Simulation der Zeitentwicklung für sie viel schwieriger ist.

Um dies auf realer, unvollkommener Hardware umzusetzen, musste das Team das Rauschen überwinden, das aktuelle Quantengeräte belastet. Quantenbits, oder Qubits, sind zerbrechlich und werden leicht durch ihre Umgebung gestört, was zu Fehlern in der Berechnung führt. Die Forscher entdeckten, dass auf dem von ihnen verwendeten supraleitenden Prozessor die häufigsten Fehler „Bit-Flips“ waren, bei denen ein Qubit versehentlich von einer Null auf eine Eins oder umgekehrt wechselt. Diese Flips neigten dazu, die Berechnung an die Ränder des möglichen Bereichs zu drücken, was eine Verzerrung (Bias) erzeugte, die die Ergebnisse verfälschte. Um dies zu beheben, entwickelten sie eine statistische Methode, um diese Fehler zu identifizieren und zu entfernen. Sie nutzten ein Prinzip aus der Physik, um vorherzusagen, wo das wahre Ergebnis Null sein sollte, und „dekonvolvierten“ die verrauschten Daten mathematisch, um das Ergebnis zurück zur Mitte zu ziehen. Diese Technik ermöglichte es ihnen, die Unvollkommenheiten der Hardware zu korrigieren, ohne die exakte Antwort im Voraus kennen zu müssen.

Das Team testete seinen Ansatz an drei Modellen: dem Vasicek-Modell, dem Cox–Ingersoll–Ross-Modell und dem Black–Karasinski-Modell. Die ersten beiden haben bekannte Lösungen, die als Kontrolle dienten, um sicherzustellen, dass ihre Methode korrekt funktioniert. Das dritte Modell, Black–Karasinski, ist komplexer und besitzt keine bekannte einfache Formel, was ein wahrer Test für die Leistungsfähigkeit der Methode ist. Sie kalibrierten diese Modelle an realen historischen Daten des US-Treasury-Marktes, die von 1 vor 1985 bis 2026 reichen. In Simulationen ohne Rauschen reproduzierte ihr Sechs-Qubit-Quanten-Setup die bekannten Antworten mit einem Fehler von weniger als einem Hundertstel einer Basispunkt-Einheit, einer Einheit, die zur Messung winziger Zinsunterschiede verwendet wird. Als sie zu tatsächlicher Hardware übergingen, blieben die Ergebnisse beeindruckend nah an den Werten. Auf dem supraleitenden Prozessor schätzten ihre Vier-Qubit-Schaltkreise die langfristige Rendite mit einem Fehler zwischen 33 und 125 Basispunkten. Auf dem Ionenfallen-Prozessor wurde der Fehler durch ihre Korrekturmethode von über 1.000 Basispunkten auf etwa 250 Basispunkte reduziert.

Vielleicht der bedeutendste Befund war die Effizienz ihres Ansatzes im Vergleich zu Standardmethoden. Typischerweise muss man, um die Energie eines Quantensystems zu messen, viele verschiedene Kombinationen von Eigenschaften messen, was neun separate Messeinstellungen für diese Modelle erfordert. Die Methode der Forscher beruhte jedoch auf einer einzigen Messeinstellung, da die mathematische Struktur ihres Problems garantierte, dass die Antwort gefunden werden konnte, indem man einfach zählt, wie oft das System in jedem Zustand landet. Dieser Single-Setting-Ansatz senkte nicht nur die Messzeit um den Faktor neun, sondern reduzierte auch den endgültigen Fehler um den Faktor zehn im Vergleich zur Standardmethode. Dies deutet darauf an, dass Quantencomputer für bestimmte Arten von Finanzproblemen selbst in ihrem derzeitigen, verrauschten Zustand nützlich sein können, sofern das Problem korrekt gerahmt und die Fehler mit den richtigen statistischen Werkzeugen behandelt werden.

Die Forscher demonstrierten auch, dass ihre Methode über verschiedene Arten von Quantenhardware hinweg funktioniert. Die Tatsache, dass dieselben Fehlermuster und Korrekturtechniken sowohl auf den supraleitenden als auch auf den Ionenfallen-Maschinen funktionierten, deutet darauf hin, dass der von ihnen identifizierte Bias ein fundamentales Merkmal des Algorithmus und der verwendeten Kodierung ist und kein Eigenartigkeit einer spezifischen Maschine. Darüber hinaus zeigten sie, dass die Methode direkt auf dem Quantengerät trainiert werden konnte. Durch die Anpassung der Parameter des Quantenschaltkreises, während er auf der Hardware lief, verbesserten sie die Genauigkeit des Ergebnisses von einem anfänglichen Fehler von fast 5.000 Basispunkten auf nur 130 Basispunkte. Dieses „On-Device“-Training beweist, dass der Quantencomputer lernen kann, die beste Antwort zu finden, selbst wenn er von einer schlechten Vermutung ausgeht – eine lebenswichtige Fähigkeit für praktische Anwendungen.

Letztendlich verbindet diese Arbeit die abstrakte Welt der Quantenalgorithmen mit der konkreten Realität der Finanzmärkte. Durch die Kalibrierung ihrer Modelle auf die US-Treasury-Kurve von Oktober 2026 zeigten die Forscher, dass ihre hardwarebasierten Schätzungen mit den theoretischen Gitterwerten innerhalb von 23 bis 67 Basispunkten übereinstimmten. Dies vervollständigt eine vollständige Kette von Marktdaten zu einer hardwarebasierten Schätzung und demonstriert, dass die langfristige Rendite eines Kurzfristenzinsmodells tatsächlich als Grundzustandsenergie berechnet werden kann. Während die aktuellen Ergebnisse auf Ein-Faktor-Modelle beschränkt sind, die einfacher als die Multi-Faktor-Modelle sind, die von großen Banken verwendet werden, öffnet der Erfolg dieses Ansatzes die Tür für komplexere Anwendungen. Die Studie legt nahe, dass Quantencomputer mit besserer Fehlerkorrektur und mehr Qubits schließlich in der Lage sein könnten, die schwierigsten Probleme der Zinsmodellierung anzugehen und so ein neues Werkzeug zum Verständnis des langfristigen Verhaltens der Weltwirtschaft zu bieten.