Long-term yields of short-rate models as Feynman-Kac ground states: a variational quantum eigensolver with single-setting energy estimation on two NISQ platforms

In de wereld van de financiële sector is het voorspellen van de toekomstige waarde van geld een constante uitdaging. Banken en investeerders vertrouwen op wiskundige modellen om rentestanden te schatten, die de kosten van lenen en het rendement op sparen bepalen. Deze modellen behandelen de rente vaak als een enkel getal dat door de tijd heen op en neer dwaalt, beïnvloed door willekeurige marktkrachten. Om dit dwalen begrijpelijk te maken, gebruiken wiskundigen vergelijkingen die beschrijven hoe de waarschijnlijkheid van verschillende rentestanden verandert naarmate de tijd verstrijkt. Decennialang zijn deze vergelijkingen opgelost met krachtige klassieke computers, maar naarmate financiële modellen complexer worden, eisen ze meer rekenkracht dan zelfs de snelste supercomputers gemakkelijk kunnen bieden. Dit heeft geleid tot een zoektocht naar quantumcomputers, machines die de vreemde wetten van de kwantumfysica gebruiken om informatie te verwerken op manieren die klassieke machines niet kunnen. De huidige quantumcomputers bevinden zich echter nog in een vroege fase, zijn foutgevoelig en beperkt in omvang, wat het moeilijk maakt om hun resultaten te vertrouwen voor echte financiële beslissingen.

Een team van onderzoekers heeft nu een nieuwe manier gedemonstreerd om deze vroege quantummachines te gebruiken om een specifieke, langlopende financiële vraag op te lossen: waar zullen de rentestanden zich op de zeer lange termijn stabiliseren? In plaats van te proberen de gehele geschiedenis van de markt te simuleren, concentreerden zij zich op de "grondtoestand" van het systeem, een concept geleend uit de natuurkunde dat de meest stabiele, laagste-energie configuratie van een systeem vertegenwoordigt. Door het financiële probleem te vertalen naar een taal die quantumcomputers begrijpen, toonden zij aan dat de langetermijnrente in essentie de energie van deze stabiele toestand is. De onderzoekers testten dit idee op drie verschillende financiële modellen, waaronder één die nooit eerder met een gesloten vorm-formule was opgelost. Ze voerden hun berekeningen uit op twee verschillende soorten quantumhardware — de een gebruikmakend van supergeleidende circuits en de andere van gevangen ionen — en vonden dat hun methode de langetermijnrente met opmerkelijke nauwkeurigheid kon schatten, waarbij zij standaard quantumtechnieken ver overtroffen.

De kern van dit werk ligt in een slimme transformatie van een standaard financiële vergelijking. Normaal gesproken houdt het berekenen van de prijs van een obligatie in dat men bijhoudt hoe rentestanden in de loop van de tijd veranderen, een proces dat het simuleren van een pad door vele mogelijke toekomsten vereist. De onderzoekers realiseerden zich dat voor de specifieke vraag naar de langetermijnopbrengst, deze complexe tijdsontwikkeling vervangen kon worden door een eenvoudiger statisch probleem. Ze transformeerden de financiële vergelijking naar een vorm die lijkt op een Schrödinger-vergelijking, een fundamentele vergelijking in de kwantummechanica die beschrijft hoe deeltjes zich gedragen. In deze nieuwe vorm fungeert de rente als een landschap of een potentiaalveld, en de langetermijnopbrengst komt overeen met het laagste punt in dat landschap, bekend als de grondtoestandsenergie. Deze verschuiving is cruciaal omdat het vinden van de laagste energietoestand een taak is waar quantumcomputers van nature goed in zijn, terwijl het simuleren van tijdsontwikkeling veel moeilijker voor hen is.

Om dit werkend te krijgen op echte, imperfecte hardware, moest het team de ruis overwinnen die de huidige quantumapparaten teistert. Quantumbits, of qubits, zijn fragiel en worden gemakkelijk verstoord door hun omgeving, wat leidt tot fouten in de berekening. De onderzoekers ontdekten dat op de gebruikte supergeleidende processor de meest voorkomende fouten "bitflips" waren, waarbij een qubit per ongeluk van een nul naar een één schakelt of andersom. Deze flips neigden de berekening naar de randen van het mogelijke bereik te duwen, wat een bias creëerde die de resultaten vertekende. Om dit op te lossen, ontwikkelden ze een statistische methode om deze fouten te identificeren en te verwijderen. Ze gebruikten een principe uit de natuurkunde om te voorspellen waar het ware antwoord nul zou moeten zijn en gebruikten vervolgens een wiskundige "deconvolutie" om de ruizige data terug naar het centrum te trekken. Deze techniek stelde hen in staat om de imperfecties van de hardware te corrigeren zonder het exacte antwoord vooraf te hoeven kennen.

Het team testte hun aanpak op drie modellen: het Vasicek-model, het Cox–Ingersoll–Ross-model en het Black–Karasinski-model. De eerste twee hebben bekende oplossingen, wat diende als controle om te verzekeren dat hun methode correct werkte. Het derde model, Black–Karasinski, is complexer en heeft geen bekende eenvoudige formule, wat een echte test vormt voor de kracht van de methode. Ze kalibreerden deze modellen aan de hand van echte historische gegevens uit de Amerikaanse schatkistmarkt, lopend van 1985 tot 2026. In simulaties zonder ruis reproduceerden hun zes-qubit quantumopstelling de bekende antwoorden met een fout van minder dan één honderdste van een basispunt, een eenheid die wordt gebruikt om minuscule verschillen in rentestanden te meten. Toen ze overgingen naar daadwerkelijke hardware, bleven de resultaten indrukwekkend dichtbij. Op de supergeleidende processor schatten hun vier-qubit circuits de langetermijnopbrengst met een fout variërend van 33 tot 125 basispunten. Op de gevangen-ionenprocessor werd de fout verminderd van meer dan 1.000 basispunten naar ongeveer 250 basispunten met behulp van hun correctiemethode.

Misschien wel de belangrijkste bevinding was de efficiëntie van hun aanpak vergeleken met standaardmethoden. Gewoonlijk moet men, om de energie van een quantumsysteem te meten, veel verschillende combinaties van eigenschappen meten, wat negen afzonderlijke meetinstellingen vereist voor deze modellen. De methode van de onderzoekers vertrouwde echter op een enkele meetinstelling omdat de wiskundige structuur van hun probleem garandeerde dat het antwoord gevonden kon worden door simpelweg te tellen hoe vaak het systeem in elke toestand terechtkwam. Deze aanpak met een enkele instelling verminderde de meettijd niet alleen met een factor negen, maar verminderde ook de uiteindelijke fout met een factor tien vergeleken met de standaardmethode. Dit suggereert dat quantumcomputers voor bepaalde typen financiële problemen nuttig kunnen zijn, zelfs in hun huidige, ruizige staat, mits het probleem correct is geformuleerd en de fouten met de juiste statistische instrumenten worden afgehandeld.

De onderzoekers demonstreerden ook dat hun methode werkt op verschillende typen quantumhardware. Het feit dat dezelfde foutpatronen en correctietechnieken werkten op zowel de supergeleidende als de gevangen-ionenmachines, suggereert dat de bias die zij identificeerden een fundamenteel kenmerk is van het algoritme en de codering die zij gebruikten, en geen eigenaardigheid van een specifieke machine. Bovendien toonden zij aan dat de methode direct op het quantumapparaat zelf getraind kan worden. Door de parameters van de quantumcircuit aan te passen terwijl deze op de hardware draaide, verbeterden zij de nauwkeurigheid van het resultaat van een initiële fout van bijna 5.000 basispunten naar slechts 130 basispunten. Deze "on-device" training bewijst dat de quantumcomputer kan leren om het beste antwoord te vinden, zelfs wanneer hij begint vanuit een slechte schatting, een vitale capaciteit voor praktische toepassingen.

Uiteindelijk verbindt dit werk de abstracte wereld van quantumalgoritmen met de concrete realiteit van de financiële markten. Door hun modellen te kalibreren aan de Amerikaanse schatkistcurve van oktober 2026, lieten de onderzoekers zien dat hun hardware-gebaseerde schattingen overeenkwamen met de theoretische roosterwaarden binnen 23 tot 67 basispunten. Dit voltooit een volledige keten van marktgegevens naar een hardware-gebaseerde schatting, waarmee wordt aangetoond dat de langetermijnopbrengst van een kortlopend model inderdaad berekend kan worden als een grondtoestandsenergie. Hoewel de huidige resultaten beperkt zijn tot één-factormodellen, die eenvoudiger zijn dan de multi-factormodellen die door grote banken worden gebruikt, opent het succes van deze aanpak de deur naar complexere toepassingen. De studie suggereert dat met betere foutcorrectie en meer qubits, quantumcomputers uiteindelijk de moeilijkste problemen in de rentevoetmodellering zouden kunnen aanpakken, wat een nieuwe tool biedt voor het begrijpen van het langetermijngedrag van de wereldeconomie.