⚛️ 量子物理

Long-term yields of short-rate models as Feynman-Kac ground states: a variational quantum eigensolver with single-setting energy estimation on two NISQ platforms

本文证明了通过使用具有单设置能量估计器的变分量子特征值求解器，可以将短利率模型的长期收益率计算为基态能量，并且与传统的泡利测量方法相比，在 NISQ 硬件上实现了显著更高的精度和更低的误差。

原作者： Doyeol "David" Ahn (Department of Electrical,Computer Engineering, University of Seoul, Seoul 02504, Republic of Korea,,Singularity Quantum Inc., Newport Beach, CA 92660, USA)

发布于 2026-11-03

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CC BY 4.0

原作者： Doyeol "David" Ahn (Department of Electrical,Computer Engineering, University of Seoul, Seoul 02504, Republic of Korea,,Singularity Quantum Inc., Newport Beach, CA 92660, USA)

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在金融领域，预测货币的未来价值是一个持续存在的挑战。银行和投资者依赖数学模型来估算利率，而利率决定了借贷成本和储蓄回报。这些模型通常将利率视为一个随时间上下波动的单一数值，受随机市场力量的影响。为了理解这种波动，数学家使用描述不同利率的概率如何随时间变化的方程。几十年来，这些方程一直使用强大的经典计算机进行求解，但随着金融模型变得更加复杂，它们对计算能力的需求甚至超过了最快的超级计算机所能轻松提供的水平。这促使研究人员转向量子计算机，这种机器利用量子物理学的奇特规律，以经典机器无法实现的方式处理信息。然而，目前的量子计算机仍处于早期阶段，容易出错且规模有限，这使得人们很难信任其结果用于现实世界的金融决策。

一支研究团队现在展示了一种利用这些早期量子机器解决特定且长期存在的金融问题的全新方法：利率在极长时期内会稳定在什么水平？他们没有试图模拟整个市场的历史，而是专注于系统的“基态”（ground state）——这是一个借鉴自物理学的概念，代表系统最稳定、能量最低的构型。通过将金融问题转化为量子计算机能够理解的语言，他们展示了长期利率本质上是这个稳定状态的能量。研究人员在三种不同的金融模型上测试了这个想法，其中一个模型此前从未有过闭式解公式。他们在两种不同类型的量子硬件上运行了计算——一种使用超导电路，另一种使用俘获离子——并发现，他们的方法能够以卓越的准确度估算长期利率，表现远优于标准的量子技术。

这项工作的核心在于对标准金融方程进行了一次巧妙的转换。通常，计算债券价格需要追踪利率如何随时间变化，这一过程需要模拟穿越许多种可能未来的路径。研究人员意识到，对于长期收益率这一特定问题，这种复杂的随时间演化过程可以被一个更简单的静态问题所取代。他们将金融方程转换为一种看起来像薛定谔方程（描述粒子行为的基础方程）的形式。在这种新形式中，利率充当了景观或势场，而长期收益率则对应于该景观中的最低点，即基态能量。这种转变至关重要，因为寻找最低能量状态是量子计算机天生擅长处理的任务，而模拟随时间演化对它们来说要困难得多。

为了在真实且不完美的硬件上实现这一目标，团队必须克服困扰当前量子设备的噪声。量子比特（qubits）非常脆弱，极易受到环境干扰，从而导致计算错误。研究人员发现，在他们使用的超导处理器上，最常见的错误是“比特翻转”，即量子比特意外地从零切换到一，或从一切换到零。这些翻转倾向于将计算推向可能范围的边缘，产生一种扭曲结果的偏差。为了解决这个问题，他们开发了一种统计方法来识别并消除这些错误。他们利用物理学原理来预测真实答案应为零的位置，然后通过数学上的“反卷积”（deconvolution）处理这些带噪声的数据，从而将结果拉回中心。这种技术使他们能够在不需要预先知道确切答案的情况下，纠正硬件的缺陷。

团队在三种模型上测试了其方法：Vasicek模型、Cox–Ingersoll–Ross模型以及Black–Karasinski模型。前两个模型具有已知解，这作为检查以确保其方法运作正确。第三个模型Black–Karasinski更为复杂，且没有已知的简单公式，这成为了对其方法能力的真正考验。他们将这些模型与来自美国国债市场的真实历史数据进行了校准，时间跨度从1985年到2026年。在无噪声的模拟中，他们的六量子比特量子设置重现已知答案时的误差小于一个基点（basis point，衡量微小利率差异的单位）。当他们转移到实际硬件上时，结果依然保持得令人印象深刻。在超导处理器上，他们的四量子比特电路估算的长期收益率误差范围在33到125个基点之间。在俘获离子处理器上，使用其纠错方法后，误差从超过1,000个基点降低到了约250个基点。

或许最显著的发现是其方法相对于标准方法的效率。通常，为了测量量子系统的能量，必须测量许多不同属性的组合，这需要九种不同的测量设置。然而，研究人员的方法仅依赖于单一的测量设置，因为他们问题的数学结构保证了只需通过简单计数系统落在每个状态的频率即可找到答案。这种单设置方法不仅将测量时间缩短了九倍，还将最终误差比标准方法降低了十倍。这表明，对于某些类型的金融问题，只要框架构建得当且通过正确的统计工具处理错误，量子计算机即使在当前的噪声状态下也是有用的。

研究人员还证明了其方法在不同类型量子硬件上的通用性。由于相同的错误模式和纠错技术在超导和俘获离子机器上均有效，这表明他们识别出的偏差是算法和编码本身的根本特征，而非特定机器的特性。此外，他们展示了该方法可以直接在量子设备上进行训练。通过在硬件上运行时调整量子电路的参数，他们将初始接近5,000个基点的误差降低到了仅130个基点。这种“设备端”训练证明了量子计算机即使从一个糟糕的猜测开始，也能学会找到最佳答案，这是实际应用中的一项至关重要的能力。

最终，这项工作将抽象的量子算法世界与具体的金融市场现实联系了起来。通过将模型校准至2026年10月的美国国债曲线，研究人员展示了其硬件估算值与理论网格值之间的误差在23至67个基点之内。这完成了一个从市场数据到基于硬件的估算的完整链条，证明了短期利率模型的长期收益率确实可以被计算为基态能量。虽然目前的结果局限于单因子模型（比主要银行使用的多因子模型更简单），但这一方法的成功为更复杂的应用打开了大门。研究表明，随着更好的误差纠正和更多量子比特的应用，量子计算机最终将能够应对利率建模中最困难的问题，为理解全球经济的长期行为提供新的工具。

技术摘要：作为 Feynman–Kac 基态的长期收益率

1. 问题陈述

本文探讨了利用量子算法计算短利率模型长期收益率的挑战。虽然大多数量子金融方案侧重于通过振幅估计或变分虚时演化进行期权定价，但变分量子特征值求解器（VQE）在衍生品定价中的应用仍然有限，因为标准定价算子（如 Black–BS 模型）的基态并不直接编码期权价格。此外，现有的变分虚时演化方法在每个时间步都需要复杂的测量（辅助控制的 Hadamard 测试）来获取度量张量和能量梯度。

作者确定了一个特定的金融量——单因子短利率模型的长期收益率——它恰好对应于一个厄米算子的基态能量。这使得该问题可以被构建为一个基态搜索问题，可以直接通过 VQE 求解，而无需中间的时间演化步骤。

2. 方法论

理论公式化：
作者从 Feynman–Kac 债券定价方程中推导出一个薛定谔算子 $H$ 。从一个单因子短利率模型 $dr_t = b(r_t)dt + s(r_t)dW_t$ 开始，他们应用了：

Lamperti 变换： 将状态相关的扩散系数转换为常数。
相似变换： 消去一阶导数项，从而得到一个厄米哈密顿量 $H = -\frac{s_\infty^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + V(y)$ 。
长期收益率 $y_\infty$ 被证明是该哈密顿量的基态能量 $E_0$ 。分析的模型包括 Vasicek、Cox–Ingersoll–Ross (CIR) 和 Black–Karasinski 模型。

定性（Stoquastic）特性与单设置估计器：
推导出的哈密顿量的一个关键特征是它是定性的（所有非对角线元素均为非正）。根据 Perron–Frobenius 定理，基态 $\psi_0$ 可以选择为具有严格正分量的形式（ $\psi_0 = \sqrt{p_0}$ ）。

含义： 能量可以通过来自单个测量设置的计算基态样本（比特串）来估计。
估计器： 能量计算为 $E[p] = \langle \sqrt{p} | H | \sqrt{p} \rangle$ ，其中 $p$ 是测得的概率分布。该估计器是真实基态能量的一个变分上界。

误差缓解策略：
作者诊断出超导硬件上的门噪声主要表现为高阶比特的比特翻转，这会将概率质量转移到“尾部”（高势能边缘），从而显著抬高能量估计值。

尾部约束比特翻转反卷积： 他们提出了一种纠正此类噪声的方法。利用 WKB 准则（基于势能 $V(y)$ 和能量估计）定义一个“尾部集” $T$ ，以识别基态权重可以忽略不计的箱体（bins）。
程序： 在假设独立比特翻转的条件下对测得的分布进行反卷积，并约束生成的分布在尾部集 $T$ 上消失。该过程结合了读取误差缓解技术和通过 CNOT 折叠实现的零噪声外推（ZNE）。

实验设置：

拟设（Ansatz）： 使用包含 $L$ 层单比特旋转和 CNOT 梯度的浅层实振幅拟设。
硬件： 实验在 IBM 超导处理器 ibm_cleveland 和 IonQ 俘获离子处理器 Forte Enterprise 上进行。
校准： 模型根据美国国债零息曲线（1985–2026）进行了校准。

3. 核心贡献

公式化： 本文将单因子短利率模型的长期收益率表述为量子比特哈密顿量的基态能量，并为 Vasicek、CIR 和 Black–Karasinski 模型提供了明确的 Lamperti 和相似变换。
单设置估计器： 针对定性哈密顿量引入了单测量设置能量估计器，利用基态的正性避免了 Pauli 字符串分解带来的开销。
噪声表征与纠正： 作者指出，二进制编码电路中的硬件噪声主要表现为高阶比特的比特翻转。他们提出了一种尾部约束反卷积方法，该方法利用 WKB 准则定义尾部集，在不需要精确解的情况下纠正这种偏差。
硬件演示： 该方法在两种不同的量子平台（IBM 和 IonQ）上得到了验证，展示了一致的偏差结构和跨平台的误差降低效果。
端到端流水线： 本文展示了从市场数据（美国国债曲线）到基于硬件的长期收益率估计的完整链条。

4. 结果

经典模拟：

在无噪声模拟中，六比特实振幅拟设对 Vasicek 模型的网格基态能量的重现误差在 0.06 个基点 (bp) 以内。
网格误差随 $h^2$ （其中 $h$ 为网格间距）收敛。
对于没有闭式解的 Black–Karasinski 模型，该方法提供的数值基态能量与精细网格基准保持一致。

硬件实验 (IBM ibm_cleveland)：

四比特电路： 在针对所有三个模型的两次会话中的十次运行中，经过读取误差缓解、尾部约束反卷积和 ZNE 处理后的硬件估计误差相对于网格基态能量在 33 到 125 bp 之间波动。
与标准 VQE 的比较： 在相同条件下，采用读取误差缓解和 ZNE 的标准 Pauli 测量 VQE 产生的误差为 791–1,291 bp。单设置估计器仅使用一个测量设置（对比 Pauli 分组的九个设置）就实现了约十倍小的误差。
设备端训练： 使用 SPSA 在设备端训练的 VQE 在 150 次迭代中将无噪声能量误差从 4,939 bp 降低到了 130 bp。

跨平台验证 (IonQ)：

在 IonQ Forte Enterprise 处理器上，相同的分析流程将 Vasicek 电路的误差从约 1,021 bp 降低到 254 bp（在 $\lambda=1$ 时），证明了偏差结构（高阶比特比特翻转）并非超导硬件所特有。

市场校准：

当参数校准至 2026 年 10 月的美国国债曲线时，硬件估计值与网格基态能量的偏差在 23–67 bp 之间。
由模型导出的长期收益率遵循 30 年期市场收益率，样本内相关性为 0.98。

5. 意义与主张

作者认为，长期收益率是量子基态算法的一个天然且有效的目标，原因如下：

它精确地对应于基态能量，避免了时间演化的复杂性。
相关的哈密顿量是定性的，从而能够实现计算成本更低的单设置测量策略。
即使在经过读取误差缓解和反卷积处理后，估计器的变分性质（ $E[p] \ge E_0$ ）依然得以保持，因为这些操作返回的是有效的概率分布。

作者对于计算优势的描述较为审慎，指出对于单因子模型，经典求解器已经非常高效。其意义在于展示了该方法在当前 NISQ 硬件上的可行性，建立了一套稳健的针对定性问题的误差缓解流程，并在不同硬件架构上验证了该方法。这项工作为将这些技术扩展到经典解难以处理的多因子模型和非仿射系统提供了概念验证。