Von Neumann's Two Quantum Entropies

L'entropia è la misura del disordine in un sistema, il motivo per cui una tazza di caffè si raffredda e perché un bicchiere infranto non si ricompone mai spontaneamente. Per oltre un secolo, i fisici hanno cercato di capire come questo comportamento familiare e caotico emerga dalle leggi pulite e precise che governano i singoli atomi. Quando le regole del mondo quantistico furono scoperte all'inizio del ventesimo secolo, sorse una nuova domanda: come definiamo questo disordine per una singola particella quantistica? La risposta sembrò semplice all'inizio, ma uno sguardo più approfondito rivela che la definizione che la maggior parte degli scienziati ha utilizzato per quasi cento anni potrebbe misurare qualcosa di completamente diverso.

Nel 1927, il leggendario fisico John von Neumann propose un modo per calcolare l'entropia di un sistema quantistico. La sua formula, oggi nota come entropia di von Neumann, è diventata una pietra miliare della fisica quantistica. Funziona magnificamente per descrivere come diverse parti di un sistema quantistico diventino legate, un fenomeno chiamato entanglement. Tuttavia, la stessa formula presenta un difetto strano quando applicata al calore e al disordine di un oggetto del mondo reale. Se un sistema quantistico si trova in uno stato "puro" — una condizione in cui è perfettamente definito e non mescolato con nient'altro — questa famosa formula afferma che la sua entropia è esattamente zero. Ciò crea un paradosso. Nel mondo reale, anche un gas di atomi perfettamente preparato finirà inevitabilmente per diffondersi e mescolarsi, un processo che chiaramente aumenta il disordine. Eppure, secondo la formula del 1927, un sistema quantistico puro non cambia mai la sua entropia; rimane a zero per sempre, indipendentemente da quanto si diffonda o si mescoli.

Decenni dopo, nel 1929, von Neumann si rese conto di questo problema e propose una formula diversa per risolverlo. Introdusse un secondo tipo di entropia, che possiamo chiamare entropia di Wigner–von Neumann. A differenza della prima formula, questa non rimane a zero per gli stati puri. Al contrario, aumenta man mano che il sistema evolve, catturando la diffusione reale e irreversibile delle particelle che osserviamo nella natura. Nonostante sia lo strumento migliore per descrivere il calore termodinamico e il disordine, questa seconda formula è stata ampiamente dimenticata. Per quasi un secolo, la comunità scientifica ha continuato a usare la versione del 1927 per quasi tutto, trattandola come la misura universale del disordine quantistico, mentre la versione del 1929 giaceva negli archivi, ignorata e non apprezzata.

Un recente articolo del fisico Biao Wu cerca di correggere questa svista storica. L'autore sostiene che abbiamo usato lo strumento sbagliato per il compito assegnato. Lo studio esamina la storia e le proprietà matematiche di entrambe le formule per dimostrare che sono state progettate per due scopi completamente diversi. L'entropia del 1927, conclude l'autore, non è affatto una misura del calore termodinamico. È invece una misura precisa dell'entanglement, il legame invisibile tra le particelle quantistiche. Ci dice quanto informazione è condivisa tra due parti di un sistema, ma non riesce a dirci nulla sul calore o sul disordine dell'intero sistema.

L'articolo dimostra che l'entropia del 1929 è la vera entropia termodinamica per i sistemi quantistici. Per provarlo, l'autore esamina uno scenario semplice: un gas di particelle confinato in un lato di un contenitore che viene poi lasciato espandere per riempire tutto lo spazio. Questo è un classico processo irreversibile in cui il disordine aumenta. La formula del 1927 osserva questo processo e riporta nessun cambiamento, poiché lo stato quantistico del gas rimane puro e la formula è cieca alla diffusione. Al contrario, la formula del 1929 registra correttamente un aumento dell'entropia, rispecchiando il comportamento di un gas reale. Essa tiene conto del fatto che, sebbene potremmo conoscere lo stato quantistico esatto del sistema, noi, come osservatori macroscopici, possiamo misurare solo un insieme limitato di proprietà, come la posizione e la quantità di moto. La formula del 1929 è costruita su questa limitazione, misurando il disordine che noi effettivamente sperimentiamo.

Uno degli argomenti più convincenti dell'articolo è che l'entropia del 1929 si comporta come dovrebbe comportarsi una vera quantità termodinamica: è estensiva. Ciò significa che se si combinano due sistemi separati, l'entropia totale è semplicemente la somma delle loro entropie individuali. La formula del 1927 non sempre fa questo, il che è un motivo importante per cui non può rappresentare il calore e il disordine di una grande collezione di atomi. L'autore affronta anche il motivo per cui la formula del 1929 è stata dimenticata in primo luogo. Richiedeva un modo specifico di dividere il mondo quantistico in piccoli pezzi gestibili, un metodo che sembrava difficile da calcolare e implementare. Tuttavia, le moderne tecniche computazionali hanno risolto questi ostacoli tecnici, rendendo possibile calcolare questa entropia in modo efficiente.

L'articolo suggerisce che il motivo per cui la formula del 1927 ha funzionato così bene in passato sia una coincidenza matematica. In molti esperimenti comuni, un piccolo sistema interagisce con un ambiente molto più grande, come un bagno termico. In queste situazioni specifiche, le due formule danno risultati numerici uguali. Questo ha portato gli scienziati a credere che fossero intercambiabili. La nuova analisi mostra che questo accordo è un incidente dovuto alle condizioni specifiche, non un segno che le formule siano le stesse. Quando le condizioni cambiano, come nel caso del gas che si espande, le formule divergono, e solo la versione del 1929 dice la verità sul mondo fisico.

In definitiva, questo lavoro è un invito a riorganizzare il nostro modo di pensare al disordine quantistico. Propone una chiara divisione del lavoro: usa la formula del 1927 quando vuoi comprendere i misteriosi collegamenti tra le particelle quantistiche, e usa la formula del 1929 quando vuoi comprendere il calore, la temperatura e il flusso irreversibile del tempo. Rivivificando la dimenticata entropia del 1929, l'articolo ripristina il corretto legame tra il mondo microscopico quantistico e il mondo termodinamico macroscopico in cui viviamo, assicurando che i nostri strumenti matematici corrispondano alla realtà fisica che intendono descrivere.