Von Neumann's Two Quantum Entropies

熵是衡量系统无序程度的度量，它解释了为什么咖啡会变凉，以及为什么破碎的玻璃杯永远不会自发重新组合。一个多世纪以来，物理学家一直试图理解这种熟悉的、混乱的行为是如何从支配单个原子的简洁、精确的定律中涌现出来的。当二十世纪初量子世界的规则被发现时，一个新的问题出现了：我们该如何为单个量子粒子定义这种无序？答案起初看起来似乎很直观，但深入观察就会发现，近百年来大多数科学家所使用的定义，可能完全是在测量错误的对象。

1927年，传奇物理学家约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）提出了一种计算量子系统熵的方法。他的公式现在被称为冯·诺依曼熵，成为了量子物理学的基石。它在描述量子系统的不同部分如何变得相互关联（一种被称为“纠缠”的现象）方面表现得非常出色。然而，当应用于现实世界物体的热量和无序时，这个公式却存在一个奇怪的缺陷。如果一个量子系统处于“纯态”——即一种完美定义且未与其他事物混合的状态——这个著名的公式会判定其熵恰好为零。这造成了一个悖默。在现实世界中，即使是一个准备完美的原子气体，最终也会扩散并混合，这是一个明显的增加无序的过程。然而，根据1927年的公式，一个纯量子系统的熵永远不会改变；无论它如何扩散或混合，其熵始终保持为零。

几十年后，在1929年，冯·诺依曼意识到了这个问题，并提出了另一种公式来修正它。他引入了第二种熵，我们可以称之为维格纳-冯·诺依曼熵（Wigner–von Neumann entropy）。与第一个公式不同，这个公式在纯态下不会保持为零。相反，它会随着系统的演化而增加，捕捉到了自然界中真实存在的、不可逆的粒子扩散过程。尽管这个第二公式是描述热力学热量和无序的更好工具，但它在很大程度上被遗忘了。近一个世纪以来，科学界继续使用1927年的版本来处理几乎所有问题，将其视为量子无序的通用度量，而1929年的版本则在档案中被束之高阁，无人问津。

物理学家吴彪（Biao Wu）最近发表的一篇论文试图纠正这一历史性的疏忽。作者认为，我们一直在用错误的工具做错误的事。该研究回顾了两种公式的历史和数学特性，以证明它们是为两种完全不同的目的而设计的。作者得出结论，1927年的熵根本不是热力学热量的度量。相反，它是纠缠的一种精确度量，即量子粒子之间隐形的联系。它告诉我们两个系统部分之间共享了多少信息，但它无法告诉我们系统整体的热量或无序情况。

论文论证了1929年的熵才是量子系统的真正热力学熵。为了证明这一点，作者考察了一个简单的场景：一团被限制在容器一侧的粒子气体，随后被允许扩散并充满整个空间。这是一个经典的不可逆过程，其中无序度增加。1927年的公式观察到这一过程时报告没有变化，因为气体的量子态保持为纯态，而该公式对扩散现象视而不见。相比之下，1929年的公式正确地记录了熵的增加，镜像了真实气体的行为。它考虑到了这样一个事实：虽然我们可能知道系统的确切量子态，但作为宏观观察者，我们只能测量一组有限的属性，例如位置和动量。1929年的公式正是基于这种局限性构建的，它测量的是我们实际经历到的无序。

论文中最令人信服的论点之一是，1929年的熵表现得像一个真正的热力学量：它是“广延”的（extensive）。这意味着如果你结合两个独立的系统，总熵就是它们各自熵的和。1927年的公式并不总是能做到这一点，这是它无法代表大量原子集合的热量和无序的主要原因。作者还解释了为什么1929年的公式最初会被遗忘。它需要一种将量子世界划分为微小、可处理单元的特定方法，这种方法在当时看起来难以计算和实现。然而，现代计算技术已经解决了这些技术障碍，使得高效计算这种熵成为可能。

论文指出，1927年的公式在过去之所以运作良好，是一个数学上的巧合。在许多常见的实验中，一个小系统会与一个更大的环境（如热浴）发生相互作用。在这些特定情况下，两个公式恰好给出相同的数值结果。这导致科学家们误以为它们是可以互换的。新的分析表明，这种一致性是特定条件下的偶然现象，而非两者相同的迹象。当条件发生变化时（如在扩散气体示例中那样），两个公式就会产生分歧，而只有1929年的版本才讲述了关于物理世界的真相。

最终，这项工作是对我们如何思考量子无序的一次重新组织。它提出了一个明确的分工：当你想要理解量子粒子之间神秘的联系时，使用1927年的公式；当你想要理解热量、温度和时间的不可逆流动时，使用1929年的公式。通过复兴被遗忘的1929年熵，这篇论文恢复了微观量子世界与宏观热力学世界之间的正确联系，确保我们的数学工具能够匹配它们所旨在描述的物理现实。