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Von Neumann's Two Quantum Entropies

Cet article soutient que si la célèbre entropie de von Neumann de 1927 n'est qu'une mesure de l'intrication, l'entropie de 1929, souvent négligée, est la véritable entropie thermodynamique pour les états quantiques.

Auteurs originaux : Biao Wu

Publié 2026-09-28

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Biao Wu

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L'entropie est la mesure du désordre dans un système, la raison pour laquelle une tasse de café refroidit et pourquoi un verre brisé ne se réassemble jamais spontanément. Pendant plus d'un siècle, les physiciens ont cherché à comprendre comment ce comportement familier et chaotique émerge des lois propres et précises qui régissent les atomes individuels. Lorsque les règles du monde quantique ont été découvertes au début du XXe siècle, une nouvelle question est apparue : comment définir ce désordre pour une particule quantique unique ? La réponse semblait simple au premier abord, mais un examen plus approfondi révèle que la définition utilisée par la plupart des scientifiques depuis près de cent ans pourrait mesurer tout à fait la mauvaise chose.

En 1927, le légendaire physicien John von Neumann a proposé une manière de calculer l'entropie d'un système quantique. Sa formule, désormais connue sous le nom d'entropie de von Neumann, est devenue une pierre angulaire de la physique quantique. Elle fonctionne magnifiquement pour décrire comment différentes parties d'un système quantique deviennent liées, un phénomène appelé intrication. Cependant, cette même formule présente un étrange défaut lorsqu'elle est appliquée à la chaleur et au désordre d'un objet du monde réel. Si un système quantique est dans un état « pur » — une condition où il est parfaitement défini et non mélangé avec autre chose — cette célèbre formule indique que son entropie est exactement de zéro. Cela crée un paradoxe. Dans le monde réel, même un gaz d'atomes parfaitement préparé finira par se disperser et se mélanger, un processus qui augmente clairement le désordre. Pourtant, selon la formule de 1927, un système quantique pur ne change jamais son entropie ; elle reste à zéro pour toujours, peu importe à quel point il se disperse ou se mélange.

Des décennies plus tard, en 1929, von Neumann a réalisé ce problème et a proposé une formule différente pour le corriger. Il a introduit un second type d'entropie, que nous pouvons appeler l'entropie de Wigner–von Neumann. Contraursément à la première formule, celle-ci ne reste pas à zéro pour les états purs. Au lieu de cela, elle augmente à mesure que le système évolue, capturant la dispersion réelle et irréversible des particules que nous observons dans la nature. Malgré le fait qu'elle soit l'outil le mieux adapté pour décrire la chaleur thermodynamique et le désordre, cette seconde formule a été largement oubliée. Pendant près d'un siècle, la communauté scientifique a continué d'utiliser la version de 1927 pour presque tout, la traitant comme la mesure universelle du désordre quantique, tandis que la version de 1929 restait dans les archives, ignorée et méconnue.

Un article récent du physicien Biao Wu cherche à corriger cet oubli historique. L'auteur soutient que nous avons utilisé le mauvais outil pour la tâche. L'étude examine l'histoire et les propriétés mathématiques des deux formules pour montrer qu'elles ont été conçues pour deux objectifs complètement différents. L'entropie de 1927, conclut l'auteur, n'est pas du tout une mesure de la chaleur thermodynamique. Elle est plutôt une mesure précise de l'intrication, le lien invisible entre les particules quantiques. Elle nous indique quelle quantité d'information est partagée entre deux parties d'un système, mais elle ne nous dit rien sur la chaleur ou le désordre du système dans son ensemble.

L'article démontre que l'entropie de 1929 est la véritable entropie thermodynamique pour les systèmes quantiques. Pour le prouver, l'auteur examine un scénario simple : un gaz de particules confiné d'un côté d'un récipient, qui est ensuite autorisé à se disperser pour remplir tout l'espace. C'est un processus irréversible classique où le désordre augmente. La formule de 1927 observe ce processus et ne rapporte aucun changement, car l'état quantique du gaz reste pur et la formule est aveugle à la dispersion. En revanche, la formule de 1929 enregistre correctement une augmentation de l'entropie, reflétant le comportement d'un gaz réel. Elle rend compte du fait que, bien que nous puissions connaître l'état quantique exact du système, nous, en tant qu'observateurs macroscopiques, ne pouvons mesurer qu'un ensemble limité de propriétés, telles que la position et la quantité de mouvement. La formule de 1929 est construite sur cette limitation, mesurant le désordre que nous expérimentons réellement.

L'un des arguments les plus convaincants de l'article est que l'entropie de 1929 se comporte comme une véritable grandeur thermodynamique devrait le faire : elle est extensive. Cela signifie que si vous combinez deux systèmes séparés, l'entropie totale est simplement la somme de leurs entropies individuelles. La formule de 1927 ne fait pas toujours cela, ce qui est une raison majeure pour laquelle elle ne peut pas représenter la chaleur et le désordre d'une grande collection d'atomes. L'auteur explique également pourquoi la formule de 1929 a été oubliée en premier lieu. Elle nécessitait une manière spécifique de diviser le monde quantique en petits morceaux gérables, une méthode qui semblait difficile à calculer et à mettre en œuvre. Cependant, les techniques de calcul modernes ont résolu ces obstacles techniques, rendant possible le calcul efficace de cette entropie.

L'article suggère que la raison pour laquelle la formule de 1927 a si bien fonctionné par le passé est une coïncidence mathématique. Dans de nombreuses expériences courantes, un petit système interagit avec un environnement beaucoup plus vaste, comme un bain thermique. Dans ces situations spécifiques, les deux formules donnent par hasard le même résultat numérique. Cela a conduit les scientifiques à croire qu'elles étaient interchangeables. La nouvelle analyse montre que cet accord est un accident lié aux conditions spécifiques, et non un signe que les formules sont identiques. Lorsque les conditions changent, comme dans l'exemple du gaz qui se disperse, les formules divergent, et seule la version de 1929 dit la vérité sur le monde physique.

En fin de compte, ce travail est un appel à réorganiser notre façon de penser le désordre quantique. Il propose une division claire du travail : utilisez la formule de 1927 lorsque vous voulez comprendre les connexions mystérieuses entre les particules quantiques, et utilisez la formule de 1929 lorsque vous voulez comprendre la chaleur, la température et le flux irréversible du temps. En faisant revivre l'entropie oubliée de 1929, l'article rétablit le lien correct entre le monde quantique microscopique et le monde thermodynamique macroscopique dans lequel nous vivons, garantissant que nos outils mathématiques correspondent à la réalité physique qu'ils sont censés décrire.

Résumé technique : Les deux entropies quantiques de von Neumann

Énoncé du problème
L'article traite d'une ambiguïté historique et conceptuelle concernant la définition de l'entropie thermodynamique dans les systèmes quantiques. John von Neumann a proposé deux mesures d'entropie distinctes en 1927 et 1929, toutes deux destinées à définir l'entropie thermodynamique pour les états quantiques. L'entropie de 1927 (désormais connue sous le nom d'entropie de von Neumann ou entropie vN, $S_v = -\text{Tr}(\hat{\rho} \ln \hat{\rho})$ ) est la mesure standard en théorie de l'information quantique. Cependant, l'entropie de 1929 (appelée ici entropie de Wigner–von Neumann ou entropie WvN, $S_w = -\sum p_\alpha \ln p_\alpha$ ), qui repose sur des distributions de probabilités macroscopiques sur l'espace des phases, a été largement ignorée. Le problème central est de déterminer laquelle de ces deux quantités représente correctement l'entropie thermodynamique observée dans les systèmes macroscopiques, particulièrement étant donné que $S_v$ s'annule pour tous les états purs et reste invariante sous l'évolution unitaire, échouant apparemment à capturer les processus irréversibles caractéristiques de la thermodynamique.

Méthodologie et revue historique
L'auteur mène une revue exhaustive des dérivations et des propriétés des deux entropies :

Réévaluation de la dérivation de 1927 : L'article revisite l'expérience de pensée de von Neumann de 1927 impliquant un gaz idéal de molécules fictives et des parois semi-perméables. L'auteur soutient que cette dérivation équivaut l'entropie thermodynamique quantique à l'entropie de mélange d'un gaz classique. Il souligne une limitation physique critique : la construction des parois semi-perméables nécessaires pour mesurer l'opérateur spécifique $\hat{R}$ distinguant les états orthogonaux nécessite généralement une quantité exponentiellement grande de ressources physiques, rendant la mesure physiquement irréalisable pour des systèmes quantiques généraux.
Analyse de la dérivation de 1929 : L'auteur examine les travaux de von Neumann de 1929, où il a introduit l'entropie WvN pour prouver un théorème H quantique. Cette entropie est définie par le partitionnement de l'espace des phases en cellules de Planck et l'assignation de fonctions d'onde localisées (fonctions de base) à celles-ci. La distribution de probabilité est dérivée de la projection de l'état du système sur ces cellules. L'auteur note que, bien que von Neumann ait attribué cette idée à Wigner, les problèmes techniques concernant le choix de la base et la nature « laborieuse » du calcul ont depuis été résolus grâce à des méthodes numériques efficaces (par exemple, l'utilisation de fonctions de Wannier) et par la réalisation que le grossissement (coarse-graining) n'est pas strictement nécessaire pour le théorème H.
Comparaison des propriétés : L'article contraste les comportements mathématiques de $S_v$ et $S_w$ . Plus précisément, $S_v$ est nulle pour les états purs et est invariante sous l'évolution unitaire, tandis que $S_w$ est non nulle pour presque tous les états purs et évolue sous la dynamique unitaire.
Analyse du fondement physique : L'auteur introduit le concept de « base physique », définie comme un ensemble de fonctions orthonormales pour lesquelles les mesures correspondantes peuvent être effectuées sans ressources physiques exponentiellement grandes. Il soutient que les fonctions de base utilisées dans l'entropie WvN (localisées en position/impulsion) correspondent à des mesures macroscopiques (comme celles des chambres à brouillard) qui sont physiquement réalisables, contrairement à la base générique requise pour $S_v$ .

Contributions clés et résultats

Reclassification des rôles de l'entropie : La principale contribution est l'argument selon lequel l'entropie vN de 1927 ne doit pas être vue comme l'entropie thermodynamique, mais plutôt comme une mesure de l'intrication quantique. Cela s'aligne sur l'intuition d'Everett en 1957, selon laquelle l'entropie vN quantifie la corrélation (l'intrication) entre les sous-systèmes.
Identification de l'entropie thermodynamique : L'article affirme que l'entropie WvN de 1929 est la véritable entropie thermodynamique pour les systèmes quantiques. Contrairement à $S_v$ , $S_w$ augmente lors de processus irréversibles tels que la diffusion de gaz, même pour des systèmes isolés évoluant de manière unitaire. Elle capture l'étalement de la fonction d'onde dans l'espace des phases (tant dans la direction spatiale que dans celle de l'impulsion), reflétant ainsi l'irréversibilité macroscopique observée dans les expériences.
Extensivité : L'auteur démontre que l'entropie WvN est extensive ( $S_{A+B}^w \approx S_A^w + S_B^w$ ) pour de grands espaces de Hilbert, une propriété fondamentale de l'entropie thermodynamique que l'entropie vN ne possède généralement pas.
Explication de la cohérence historique : L'article explique pourquoi l'utilisation de l'entropie vN comme entropie thermodynamique n'a pas conduit à des contradictions expérimentales. Dans le scénario courant d'un petit système interagissant avec un grand réservoir thermique, l'entropie vN du petit système ( $S_v^S$ ) et l'entropie WvN ( $S_w^S$ ) sont mathématiquement coïncident ( $S_v^S \approx S_w^S \approx \ln D_S$ ), permettant aux deux de produire la distribution de Boltzmann-Gibbs via le principe de l'entropie maximale.

Signification et revendications
L'article soutient que la négligence historique de l'entropie de 1929 était due à des difficultés techniques de calcul et à un manque de clarté concernant le choix des fonctions de base. En résolvant ces problèmes techniques et en réévaluant la faisabilité physique des mesures requises pour chaque entropie, l'auteur plaide pour un changement de paradigme :

L'entropie vN est l'outil correct pour quantifier l'intrication dans l'information quantique.
L'entropie WvN est l'outil correct pour définir l'entropie thermodynamique en mécanique statistique quantique.

L'auteur conclut que la reconnaissance de cette distinction clarifie l'origine microscopique de l'irréversibilité thermodynamique dans les systèmes quantiques et corrige une confusion séculaire entre les mesures d'intrication et les quantités thermodynamiques. Il note que le concept de définition de l'entropie via un ensemble spécifique de fonctions de base a été récemment redécouvert, apportant un soutien supplémentaire à son argument.

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