Von Neumann's Two Quantum Entropies

Entropie ist das Maß für die Unordnung in einem System – der Grund, warum eine Tasse Kaffee abkühlt und warum ein zerbrochenes Glas niemals spontan wieder zusammenwächst. Seit über einem Jahrhundert versuchen Physiker zu verstehen, wie dieses vertraute, chaotische Verhalten aus den sauberen, präzisen Gesetzen entsteht, die einzelne Atome regieren. Als die Regeln der Quantenwelt zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts entdeckt wurden, entstand eine neue Frage: Wie definieren wir diese Unordnung für ein einzelnes Quantenteilchen? Die Antwort schien zunächst einfach zu sein, doch ein genauerer Blick offenbart, dass die Definition, die die meisten Wissenschaftler seit fast hundert Jahren verwenden, möglicherweise das völlig falsche Maß misst.

Im Jahr 1927 schlug der legendäre Physiker John von Neumann einen Weg vor, um die Entropie eines Quantensystems zu berechnen. Seine Formel, die heute als von-Neumann-Entropie bekannt ist, wurde zu einem Eckpfeiler der Quantenphysik. Sie funktioniert wunderbar, um zu beschreiben, wie verschiedene Teile eines Quantensystems miteinander verknüpft werden – ein Phänomen, das als Verschränkung bezeichnet wird. Dieselbe Formel weist jedoch einen seltsamen Fehler auf, wenn sie auf die Hitze und Unordnung eines realen Objekts angewendet wird. Wenn sich ein Quantensystem in einem „reinen“ Zustand befindet – einem Zustand, in dem es perfekt definiert und nicht mit etwas anderem vermischt ist – besagt diese berühmte Formel, dass seine Entropie exakt Null ist. Dies erzeugt ein Paradoxon. In der realen Welt wird selbst ein perfekt vorbereitetes Gas aus Atomen schließlich expandieren und sich vermischen, ein Prozess, der die Unordnung eindeutig erhöht. Doch laut der Formel von 1927 verändert ein reines Quantensystem seine Entropie nie; es bleibt auf ewig bei Null, ungeachtet dessen, wie sehr es sich ausbreitet oder vermischt.

Jahrzehnte später erkannte von Neumann dieses Problem und schlug eine andere Formel vor, um es zu beheben. Er führte eine zweite Art von Entropie ein, die wir als Wigner–von-Neumann-Entropie bezeichnen können. Im Gegensatz zur ersten Formel bleibt diese nicht bei reinen Zuständen bei Null. Stattdessen nimmt sie zu, während sich das System entwickelt, und erfasst die sehr reale, irreversible Ausbreitung von Teilchen, die wir in der Natur beobachten. Trotz der Tatsache, dass diese zweite Formel das bessere Werkzeug zur Beschreibung thermodynamischer Hitze und Unordnung ist, wurde sie weitgehend vergessen. Fast ein Jahrhundert lang nutzte die wissenschaftliche Gemeinschaft die Version von 1927 für fast alles und behandelte sie als universelles Maß für Quantenunordnung, während die Version von 1929 in den Archiven lag, ignoriert und ungeschätzt.

Ein aktuelles Paper des Physikers Biao Wu versucht, dieses historische Versäumnis zu korrigieren. Der Autor argumentiert, dass wir das falsche Werkzeug für die Aufgabe verwenden. Die Studie überprüft die Geschichte und die mathematischen Eigenschaften beider Formeln, um zu zeigen, dass sie für zwei völlig unterschiedliche Zwecke entworft wurden. Die Entropie von 1927 ist laut dem Autor kein Maß für thermodynamische Hitze überhaupt. Stattdessen ist sie ein präzises Maß für die Verschränkung, die unsichtbare Verbindung zwischen Quantenteilchen. Sie sagt uns, wie viel Information zwischen zwei Teilen eines Systems geteilt wird, aber sie sagt uns nichts über die Hitze oder Unordnung des Gesamtsystems.

Das Paper demonstriert, dass die Entropie von 1929 die wahre thermodynamische Entropie für Quantensysteme ist. Um dies zu beweisen, untersucht der Autor ein einfaches Szenario: ein Gas aus Teilchen, das auf einer Seite eines Behälters eingeschlossen ist und dann die Freiheit erhält, sich im gesamten Raum auszubreiten. Dies ist ein klassischer irreversibler Prozess, bei dem die Unordnung zunimmt. Die Formel von 1927 sieht diesen Prozess und meldet keine Veränderung, da der Quantenzustand des Gases rein bleibt und die Formel blind gegenüber der Ausbreitung ist. Im Gegensatz dazu registriert die Formel von 1929 korrekt eine Zunahme der Entropie und spiegelt so das Verhalten eines realen Gases wider. Sie berücksichtigt die Tatsache, dass wir, als makroskopische Beobachter, zwar den exakten Quantenzustand des Systems kennen mögen, aber nur eine begrenzte Anzahl von Eigenschaften wie Position und Impuls messen können. Die Formel von 1929 baut auf dieser Begrenzung auf und misst die Unordnung, die wir tatsächlich erfahren.

Eines der überzeugendsten Argumente in dem Paper ist, dass die Entropie von 1929 sich so verhält, wie es eine wahre thermodynamische Größe tun sollte: Sie ist extensiv. Das bedeutet, dass wenn man zwei separate Systeme kombiniert, die Gesamtentropie einfach die Summe ihrer individuellen Entropien ist. Die Formel von 1927 tut dies nicht immer, was ein wesentlicher Grund dafür ist, dass sie die Hitze und Unordnung einer großen Ansammlung von Atomen nicht repräsentieren kann. Der Autor geht auch darauf ein, warum die Formel von 1929 überhaupt vergessen wurde. Sie erforderte eine spezifische Art, die Quantenwelt in kleine, handhabbare Stücke zu unterteilen – eine Methode, die scheinbar schwierig zu berechnen und zu implementieren war. Moderne computergestützte Techniken haben diese technischen Hürden jedoch gelöst und machen es möglich, diese Entropie effizient zu berechnen.

Das Paper legt nahe, dass der Grund, warum die Formel von 1927 in der Vergangenheit so gut funktionierte, ein mathematischer Zufall war. In vielen gängigen Experimenten interagiert ein kleines System mit einer viel größeren Umgebung, etwa einem Wärmebad. In diesen spezifischen Situationen liefern die beiden Formeln zufällig das gleiche numerische Ergebnis. Dies führte dazu, dass Wissenschaftler glaubten, sie seien austauschbar. Die neue Analyse zeigt, dass diese Übereinstimmung ein Unfall der spezifischen Bedingungen ist und kein Zeichen dafür, dass die Formeln identisch sind. Wenn sich die Bedingungen ändern, wie im Beispiel des expandierenden Gases, driften die Formeln auseinander, und nur die Version von 1929 sagt die Wahrheit über die physische Welt.

Letztlich ist dieses Werk ein Aufruf, unser Denken über Quantenunordnung neu zu organisieren. Es schlägt eine klare Arbeitsteilung vor: Verwenden Sie die Formel von 1927, wenn Sie die mysteriösen Verbindungen zwischen Quantenteilchen verstehen wollen, und verwenden Sie die Formel von 1929, wenn Sie Hitze, Temperatur und den irreversiblen Fluss der Zeit verstehen wollen. Durch die Wiederbelebung der vergessenen Entropie von 1929 stellt das Paper die korrekte Verbindung zwischen der mikroskopischen Quantenwelt und der makroskopischen thermodynamischen Welt, in der wir leben, wieder her und stellt sicher, dass unsere mathematischen Werkzeuge der physikalischen Realität entsprechen, die sie beschreiben sollen.