Von Neumann's Two Quantum Entropies

엔트로피는 계의 무질서도를 나타내는 척도로, 커피가 식는 이유이자 깨진 유리가 스스로 다시 조립되지 않는 이유입니다. 1세기 넘게 물리학자들은 이 익숙하고도 무질서한 행동이 어떻게 개별 원자들을 지배하는 깨끗하고 정밀한 법칙으로부터 발생하는지를 이해하기 위해 노력해 왔습니다. 20세기 초 양자 세계의 규칙들이 발견되었을 때, 새로운 질문이 제기되었습니다. 단일 양자 입자에 대해 이 무질서도를 어떻게 정의할 것인가 하는 점이었습니다. 그 답은 처음에는 명쾌해 보였으나, 더 깊이 들여다보면 지난 거의 100년 동안 대부분의 과학자들이 사용해 온 정의가 완전히 잘못된 것을 측정하고 있을지도 모른다는 사실이 드러납니다.

1927년, 전설적인 물리학자 존 폰 노이만(John von Neumann)은 양자 계의 엔트로피를 계산하는 방법을 제안했습니다. 이제 '폰 노이만 엔트로피'로 알려진 그의 공식은 양자 물리학의 초석이 되었습니다. 이 공식은 양자 계의 서로 다른 부분들이 어떻게 연결되는지, 즉 '얽힘(entanglement)'이라 불리는 현상을 설명하는 데 매우 훌륭하게 작동합니다. 하지만 이 공식은 실제 세상의 열과 무질서에 적용될 때 기묘한 결함을 보입니다. 만약 양자 계가 '순수(pure)' 상태—즉, 다른 것과 섞이지 않고 완벽하게 정의된 상태—에 있다면, 이 유명한 공식은 그 엔트로피가 정확히 0이라고 말합니다. 이는 역설을 만들어냅니다. 현실 세계에서는 아무리 완벽하게 준비된 원자 가스라 할지라도 결국 퍼져나가고 섞이게 되며, 이는 분명히 무질서도를 증가시키는 과정입니다. 그러나 1927년의 공식에 따르면, 순수 양자 계는 엔트로피가 변하지 않으며, 얼마나 퍼지거나 섞이든 상관없이 영원히 0으로 유지됩니다.

수십 년 후, 1929년에 폰 노이만은 이 문제를 깨닫고 이를 해결하기 위한 다른 공식을 제안했습니다. 그는 우리가 '위그너-폰 노이만(Wigner–von Neumann) 엔트로피'라고 부를 수 있는 두 번째 유형의 엔트로피를 도입했습니다. 첫 번째 공식과 달리, 이 공식은 순수 상태에서도 0으로 머물지 않습니다. 대신, 시스템이 진화함에 따라 증가하며, 자연에서 우리가 목격하는 실재적이고 비가역적인 입자의 확산을 포착합니다. 그럼에도 불구하고, 이 두 번째 공식은 열역학적 열과 무질서를 설명하는 데 더 나은 도구임에도 불구하고 대체로 잊혔습니다. 거의 한 세기 동안 과학계는 1927년 버전을 거의 모든 곳에 사용하며 이를 양자 무질서의 보편적 척도로 취급해 왔고, 1929년 버전은 기록 보관소에 방치된 채 무시되고 과소평가되었습니다.

물리학자 비아오 우(Biao Wu)의 최근 논문은 이러한 역사적 과오를 바로잡고자 합니다. 저자는 우리가 적절한 도구를 잘못 사용하고 있다고 주장합니다. 이 연구는 두 공식의 역사와 수학적 성질을 검토하여, 두 공식이 완전히 다른 목적을 위해 설계되었음을 보여줍니다. 저자는 1927년 엔트로피가 열역학적 열을 측정하는 것이 아니라고 결론짓습니다. 대신, 그것은 양자 입자들 사이의 보이지 않는 연결인 '얽힘'을 측정하는 정밀한 척도입니다. 그것은 두 부분이 얼마나 많은 정보를 공유하는지는 알려주지만, 시스템 전체의 열이나 무질서에 대해서는 아무것도 알려주지 못합니다.

논문은 1929년 엔트로피가 양자 계를 위한 진정한 열역학적 엔트로피임을 입증합니다. 이를 증명하기 위해 저자는 용기의 한쪽에 갇혀 있던 입자 가스가 공간 전체로 퍼져나가는 단순한 시나리오를 조사합니다. 이는 무질서도가 증가하는 전형적인 비가역 과정입니다. 1927년 공식은 이 과정을 목격하고도 변화가 없다고 보고하는데, 이는 가스의 양자 상태가 순수하게 유지되기 때문에 그 확산 현상에 눈이 멀어 있기 때문입니다. 반면, 1929년 공식은 실제 가스의 거동을 반영하여 엔트로피의 증가를 정확하게 기록합니다. 이 공식은 우리가 가스의 정확한 양자 상태를 알고 있을지라도, 거시적 관찰자인 우리는 위치나 운동량과 같은 제한된 속성만을 측정할 수 있다는 사실을 고려합니다. 1929년 공식은 이러한 한계에 기반하여 우리가 실제로 경험하는 무질서도를 측정합니다.

이 논문에서 가장 설득력 있는 주장 중 하나는 1929년 엔로피가 진정한 열역학적 양이 마땅히 갖추어야 할 특성인 '크기 가법성(extensive)'을 가진다는 점입니다. 이는 두 개의 분리된 계를 결합했을 때, 전체 엔트로피가 각 개별 엔트로피의 합과 같음을 의미합니다. 1927년 공식은 항상 이를 따르지는 않으며, 이것이 왜 그 공식이 대규모 원자 집단의 열과 무질서를 나타낼 수 없는지에 대한 주요 이유가 됩니다. 저자는 또한 1929년 공식이 왜 잊혔는지에 대해서도 다룹니다. 이 공식은 양자 세계를 작고 관리 가능한 조각들로 나누는 특정한 방법이 필요했는데, 이 방식이 계산하고 구현하기 까다로워 보였기 때문입니다. 그러나 현대의 계산 기술은 이러한 기술적 장애물들을 해결하였으며, 이제 이 엔트로피를 효율적으로 계산하는 것이 가능해졌습니다.

논문은 1927년 공식이 과거에 잘 작동했던 이유가 수학적 우연 때문이라고 시사합니다. 많은 일반적인 실험 상황에서 작은 계가 열욕(heat bath)과 같은 훨씬 더 큰 환경과 상호작용하게 됩니다. 이러한 특정 상황에서는 두 공식이 우연히 동일한 수치적 결과를 나타냅니다. 이로 인해 과학자들은 두 공식이 서로 대체 가능하다는 믿음을 갖게 되었습니다. 새로운 분석에 따르면, 이러한 일치는 두 공식이 같다는 신호가 아니라 특정 조건에서의 우연한 일치입니다. 가스가 퍼지는 예시처럼 조건이 변하면 두 공식은 갈라지며, 오직 1929년 버전만이 물리적 세계에 대해 진실을 말합니다.

궁극적으로 이 연구는 우리가 양자 무질서를 생각하는 방식을 재편하라는 촉구입니다. 저자는 명확한 역할 분담을 제안합니다. 양자 입자들 사이의 신비로운 연결을 이해하고 싶다면 1927년 공식을 사용하고, 열, 온도, 그리고 시간의 비가역적 흐름을 이해하고 싶다면 1929년 공식을 사용하십시오. 잊혔던 1929년 엔트로피를 부활시킴으로써, 이 논문은 미시적인 양자 세계와 우리가 살아가는 거시적인 열역학적 세계 사이의 올바른 연결 고리를 복원하며, 우리의 수학적 도구가 묘사하고자 하는 물리적 실재와 일치하도록 보장합니다.